【中考快车道】人教版中考数学复习第15课时　等腰三角形

(共25张PPT)
第15课时　等腰三角形
第四章
2026
内容索引
01
基础自主导学
02
规律方法探究
基础自主导学
考点一　等腰三角形
1.等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴.
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成
“等角对等边”).
考点二　等边三角形的性质与判定
1.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;(2)等边三角形的三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.
2.等边三角形的判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
考点三　线段的垂直平分线
1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
3.判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.
考点四　角平分线的性质及判定
1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.
3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等.
规律方法探究
命题点1
等腰三角形的性质与判定
【例1】 如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD= ,求AD的长.
(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴AD=BD.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠CBE.
又∠CDA=∠BDF=90°,
∴△ADC≌△BDF,
∴AC=BF.
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=EC,
即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)解:∵△ADC≌△BDF,
命题点2
等边三角形的性质与判定
【例2】 已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法.
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,
AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,
∴△ABE≌△CAD.
(2)解:∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
变式训练如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵点D是AC边上的中点,
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.
又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,
∴∠CED=30°.∴∠CBD=∠CED=30°.
∴BD=DE.
命题点3
线段的垂直平分线
【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
分析:(1)由对称性可知,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐标;(2)由线段的垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由线段的垂直平分线的判定,可确定l上的另一点.
(1)如图①,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐标;
(2)如图②,若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处,l与BF的交点为Q,若点Q的坐标是(3,2),求直线l对应函数的解析式.若点Q的坐标是(4,2),你能确定直线l对应函数的解析式吗 若能,求出其解析式;若不能,请说明理由.
解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5.
∴点D的坐标为(3,0).
(2)过点Q作QM⊥x轴于点M.
当点Q的坐标为(3,2)时,
如题图,OM=3,MA=2,QM为△FAB的中位线,∴FM=2,即FA=4.而AB=4,
FA=AB,而l为线段BF的垂直平分线,
∴点A在直线l上.∴直线l对应函数的解析式为y=-x+5.
当点Q的坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,
∴CF=CB.
∵直线l为线段BF的垂直平分线,
∴点C在直线l上.
命题点4
角平分线的性质和判定
【例4】 如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD,
求证:(1)DF=DE;
(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证△BDF与△CDE全等得到DF=DE,再由两直角三角形全等的判定条件“HL”,证明Rt△ADF与Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC.
证明:(1)∵CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,
∴∠BFD=∠CED=90°.
又∠BDF=∠CDE,BD=CD,
∴△BDF≌△CDE(AAS),
∴DF=DE.
(2)在Rt△ADF和Rt△ADE中,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴∠FAD=∠EAD,
即AD平分∠BAC.