《学霸笔记 同步精讲》第7章 随机变量及其分布 7.3.1 离散型随机变量的均值（课件）高中数学人教A版选择性必修3

(共42张PPT)
7.3.1　离散型随机变量的均值
第七章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会求离散型随机变量的均值.
2.掌握两点分布的均值.
3.能够利用离散型随机变量的均值,解决一些相关问题.
4.通过本节课学习,培养利用数学模型分析、解决实际问题的能力.
自主预习 新知导学
离散型随机变量的均值
1.有12个西瓜,已知其中重5 kg的有4个,重6 kg的有3个,重7 kg的有5个.
(1)任取1个西瓜,用X(单位:kg)表示这个西瓜的重量,试想X的可能取值有哪些
(2)X取上述值时对应的概率分别是多少
(3)如何求这些西瓜的平均重量
2.(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
(2)一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
(3)一般地,下面的结论成立:
E(aX+b)=aE(X)+b .
3.(1)已知Y的分布列为
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
(2)由已知得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.
答案:(1)D　(2)A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( × )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平.( × )
(3)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
两点分布的均值
【例1】 某运动员投篮命中率为p=0.6,求投篮1次命中次数X的均值.
解:投篮1次,命中次数X的分布列如下表:
因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p=0.6.
X 0 1
P 0.4 0.6
1.两点分布的特点:
(1)一次试验的结果要么发生要么不发生.
(2)随机变量的取值为0,1.
(3)试验次数一般只有一次试验.
2.如果随机变量X服从两点分布,那么随机变量X的均值E(X)=p.
熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.
【变式训练1】 在两点分布中,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,则E(X)=　　　　.
解析:因为P(X=1)+P(X=0)=1,
又因为P(X=1)-P(X=0)=0.2,
解得P(X=1)=0.6,
所以E(X)=0.6.
答案:0.6
探究二
离散型随机变量均值公式及性质
【例2】 已知随机变量X的分布列如下表:
(1)求m的值;
(2)求E(X);
(3)若Y=2X-3,求E(Y).
与离散型随机变量性质有关的问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数.一般先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键先由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y).
【变式训练2】 已知随机变量X的分布列如下表:
答案:B
探究三
离散型随机变量的均值
【例3】 某汽车4S店在一次汽车促销活动中,让每位参与者从盒子中任取一个由0~9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字).若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除,则可以享受5万元的优惠;若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除,则可以享受3万元的优惠;其他结果享受1万元的优惠.
(1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”;
(2)若小明参加了这次汽车促销活动,求他得到的优惠金额X(单位:万元)的分布列及均值E(X).
解:(1)个位数字为4的“三位递减数”有984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共10个.
(2)由题意知,不同的“三位递减数”共有 =120(个).
小明得到的优惠金额X的可能取值为5,3,1.
当X=5时,三个数字之和可能为20,10,当三个数字之和为20时,有983,974,965,875,共4个“三位递减数”;
当三个数字之和为10时,有910,820,730,640,721,631,541,532,共8个“三位递减数”,
求离散型随机变量均值的步骤
(1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X所有可能的取值;
(2)求概率:求X取每个值的概率;
(3)写分布列:写出X的分布列;
(4)求均值:由均值的定义求出E(X).
其中写出随机变量的分布列是求解随机变量均值的关键所在.
【变式训练3】 在甲、乙等六个单位参加的一次庆祝国庆演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,现采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:
(1)甲、乙两个单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两个单位之间的演出单位个数X的分布列与均值.
探究四
均值的实际应用
【例4】 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的分期付款期数X的分布列为
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.Y(单位:元)表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A“购买该商品的3名顾客中,至少有1名采用1期付款”的概率P(A);
(2)求Y的分布列及均值E(Y).
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
解:(1)由事件A表示“购买该商品的3名顾客中至少有1名采用1期付款”知,事件 表示“购买该商品的3名顾客中无人采用1期付款”.
P( )=(1-0.4)3=0.216,
则P(A)=1-P( )=1-0.216=0.784.
(2)Y的可能取值为200,250,300,且P(Y=200)=P(X=1)=0.4,
P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,
P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2.
因此Y的分布列为
故E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.
Y 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
1.实际生活中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的选择、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行预测.
2.概率模型的解答步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.
(3)根据实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
【变式训练4】 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求生产1件产品的平均利润(即X的均值);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求生产1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x,其中0则此时1件产品的平均利润为
E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x.
依题意,得E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
易错辨析
不能准确理解题意致错
【典例】 根据统计,一年中,一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.000 1,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者交保险费100元,若在一年之内,万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>100),问a如何确定,可使保险公司期望获利
错解:设保险公司获利为X元,则X的分布列如下表:
所以E(X)=100×0.999 9+(-a)×0.000 1=99.99-0.000 1a.
由E(X)>0,得100故当100X 100 -a
P 0.999 9 0.000 1
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:由于没有理解题意而把随机变量的取值弄错了,而当该家庭失窃时,保险公司需赔偿a元,但是已收取了100元,故其损失为(a-100)元.
正解:设保险公司获利为X元,则X的分布列如下表:
所以E(X)=100×0.999 9+(-a+100)×0.000 1=100-0.000 1a.
由E(X)>0,得a<1 000 000,又a>100,
故当100X 100 -a+100
P 0.999 9 0.000 1
对于以实际问题为背景的应用题,解题时要准确理解题意,明确各量之间的关系,避免出现错误.
【变式训练】 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的均值.
解:(1)设事件A1=“第2局结果为甲胜”,A2=“第3局甲参加比赛,结果为甲负”,A=“第4局甲当裁判”,则A=A1A2.
因为A1与A2相互独立,所以P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= .
(2)X的可能取值为0,1,2.
设A3=“第3局乙和丙比赛,结果为乙胜丙”,B1=“第1局结果为乙胜丙”,B2=“第2局乙和甲比赛,结果为乙胜甲”,B3=“第3局乙参加比赛,结果为乙负”,
随堂练习
1.随机变量X的分布列为
则X的均值是(　　)
A.2 B.2.1
C.2.3 D.随m的变化而变化
解析:因为0.2+0.5+m=1,所以m=0.3.
所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.
答案:B
X 1 2 3
P 0.2 0.5 m
2.某射手射击所得环数Y的分布列如下表:
已知Y的均值E(Y)=8.9,则y的值为　　　　　.
答案:0.4
Y 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
3.已知随机变量X的分布列为
Y=2X+5,则E(Y)=　　　　　.
4.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取1节电池检验,直到取到好电池为止,求:
(1)抽取次数X的分布列;
(2)抽取次数X的均值.