《学霸笔记 同步精讲》第7章 随机变量及其分布 7.4.1 二项分布（课件）高中数学人教A版选择性必修3

(共51张PPT)
7.4.1　二项分布
第七章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解n重伯努利试验的意义.
2.理解二项分布.
3.能利用伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.
4.充分体会知识的发现过程,并渗透由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法,培养数学建模能力.
自主预习 新知导学
一、n重伯努利试验
1.要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验.
(1)试想每次试验的前提是什么
(2)试验结果有哪些
(3)各次试验的结果有无影响
提示:(1)条件相同.
(2)两个可能结果:正面朝上或反面朝上.
(3)无,即各次试验的结果相互独立.
2.(1)我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为
n重伯努利试验.
(3)n重伯努利试验具有如下共同特征:
①同一个伯努利试验重复做n次;
②各次试验的结果相互独立.
3.下列试验中是n重伯努利试验的是(　　)
A.依次抛掷4枚质地不同的硬币,3次正面向上
B.某射击运动员击中目标的概率是0.9,他连续射击10次,击中7次
C.口袋中装有质地、大小相同的5个红球和和4个黑球,依次从中抽取5个球,恰好取出3个红球
D.甲、乙两个篮球运动员各罚球一次,甲进球而乙没有进球
解析:对于A项,由于质地不同,所以向上的概率不确定,不是n重伯努利试验;对于C项,依次抽取,各次试验之间相互影响,不是n重伯努利试验;D项也不符合n重伯努利试验的条件,只有B项符合.
答案:B
二、二项分布
1.在体育课上,某同学做投篮训练,他连续投篮3次,每次投篮的命中率都是0.8,用Ai(i=1,2,3)表示第i次投篮命中这件事,用B1表示仅投中1次这件事.
(1)试用Ai表示B1.
(2)试求P(B1).
(3)用Bk表示投中k(k=0,1,2,3)次这件事,试求P(B2)和P(B3).
(4)由以上问题的结果你能得出什么结论
提示:(1)B1=(A1)∪(A2)∪(A3).
(2)因为P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.8,且A1A2A3两两互斥,
所以P(B1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=0.8×0.22+0.8×0.22+0.8×0.22=3×0.8×0.22=0.096.
(3)P(B2)=3×0.82×0.2=0.384,P(B3)=0.83=0.512.
(4)结论:P(Bk)=×0.8k×0.23-k,k=0,1,2,3.
2.(1)一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X=k)= pk(1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p) .
(2)一般地,可以证明:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).
3.(1)种植某种树苗,成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约是(　　)
A.0.33 B.0.07 C.0.54 D.0.45
(2)如果X~B(20,p),当p= 且P(X=k)取得最大值时,k=　　　　　.
解析:(1)设A=“树苗成活”,则P(A)=0.9.用X表示事件A发生的次数,则X~B(5,0.9).恰好成活4棵等价于X=4,于是P(X=4)= ×0.94×0.1≈0.33.
故当k=10时,P(X=k)取得最大值.
答案:(1)A　(2)10
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的.( √ )
(2)n重伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果.( √ )
(3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
n重伯努利试验的概率问题
【例1】 甲、乙两射击运动员各射击一次,击中目标的概率分别是
假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.求:
(1)甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)甲、乙各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
(2)设A2=“甲射击2次,恰有2次击中目标”,B2=“乙射击2次,恰有1次击中目标”,则“甲、乙各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次”就是事件A2B2.
例1中条件不变,求甲、乙各射击2次,甲未击中目标、乙击中目标2次的
概率.
n重伯努利试验概率求解的三个步骤
(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验.
(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件的概率加法公式计算.
【变式训练1】 某小组有6名工作人员,他们相互独立借助互联网开展工作,已知每人上网的概率都是0.5.
(1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3
解:用X表示同时上网的人数,则X~B(6,0.5).于是X的分布列为
(1)至少3人同时上网,这件事包括3人、4人、5人或6人同时上网,设“至少3人同时上网”为事件A,则P(A)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
(2)由(1)知,至少3人同时上网的概率大于0.3,
设事件B表示至少4人同时上网,则
故至少5人同时上网的概率小于0.3.
探究二
二项分布及其应用
【例2】 一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中需要经过6个有红绿灯的路口,假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 ,设X为这名学生在途中遇到的红灯次数,求X的分布列.
1.一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下
(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p.
(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性.
(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p).
2.二项分布实际应用问题的解题思路
(1)根据题意设出随机变量.
(2)分析出随机变量服从二项分布.
(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率).
(4)写出二项分布的分布列.
【变式训练2】 某中学学生心理咨询中心的服务电话接通率为 ,某班3名同学商定某天分别就同一问题询问该服务中心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列.
探究三
二项分布的均值与方差
A.10 B.30 C.15 D.5
(2)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=　　　　　.
1.本例题(1)条件不变,则E(3Y+2)=　　　　　.
答案:7
2.本例题(2)改为随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,则二项分布的参数n,p的值分别为　　　　　.
答案:6,0.4
对于二项分布的均值与方差,关键是通过题设确定随机变量服从二项分布,然后直接运用公式计算.
【变式训练3】 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=　　　　　.
解析:因为X~B(100,0.02),
所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
答案:1.96
探究四
n重伯努利试验与二项分布综合应用
【例4】 某工厂生产的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前都要对产品做检验,若检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从一箱产品中任取20件做检验,再根据此次检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品做检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的均值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品做检验
解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18(0因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]
=2p(1-p)17(1-10p).
令f'(p)=0,得p=0.1或p=1(舍)或p=0(舍).
当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0,f(p)在区间(0,0.1)内单调递增;
当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0,f(p)在区间(0.1,1)内单调递减.
所以当p=p0=0.1时,f(p)取得最大值.
(2)由(1)知,p=0.1.
①设Y表示该箱余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,
即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果对这箱余下的产品做检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400,故应该对这箱余下的产品做检验.
对于概率问题的综合问题求解策略
首先,要准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验这四类事件中的某一种;
其次,要判断事件是A∪B还是AB,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式;
最后,选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n重伯努利试验的概率公式求解.
【变式训练4】 某次英语竞赛有100道单项选择题,每题4个选项,选对得1分,否则得0分.学生甲会其中的20道,学生乙会其中的80道,不会的均随机选择.求甲、乙在这次英语竞赛中得分的均值.
解:设甲和乙不会的题的得分分别为随机变量X和Y.
由题意知X~B(80,0.25),Y~B(20,0.25),
故E(X)=80×0.25=20,E(Y)=20×0.25=5.
于是E(X+20)=E(X)+20=40,
E(Y+80)=E(Y)+80=85.
故甲、乙在这次英语竞赛中得分的均值分别为40分和85分.
易错辨析
事件关系判断不准确致错
【典例】 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 .现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(2)记X为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,
求X的分布列.
错解:(1)设“第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程”分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.
由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:(1)对事件关系判断不明确,3人选择项目所属类别互不相同的事件AiBjCk(i,j,k互不相同)共有 =6种情形,误认为只有A1B2C3发生,导致计数错误.
(2)正确.在第(2)问中,将X对Y转化,找到X=3-Y的关系,利用二项分布间接求得X的分布列,避免了直接求P(X=k)(k=0,1,2,3)的繁杂计算.
1.准确理解事件特征,理清事件间的关系,强化事件关系判断的训练,努力减少此类错误的发生.
2.针对第(2)问,要注意合理分类与转化,利用二项分布简化事件概率的计算.
【变式训练】 在未来3天中,某气象台预报某地每天天气的准确率为0.8,则在未来3天中,
(1)至少有2天预报准确的概率是多少
(2)至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少
随堂练习
1.任意抛掷3枚质地均匀的硬币,恰有2枚正面朝上的概率为(　　)
答案:B
答案:A
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则D(ξ)=(　　)
答案:A
4.某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为　　　　.