《学霸笔记 同步精讲》第7章 随机变量及其分布 7.4.2 超几何分布（课件）高中数学人教A版选择性必修3

(共35张PPT)
7.4.2　超几何分布
第七章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解超几何分布的定义,明确超几何分布与二项分布的区别与联系.
2.能运用超几何分布解决一些实际问题.
3.提升数学抽象、数学建模等核心素养,培养用概率语言和模型解决实际问题的能力.
自主预习 新知导学
超几何分布
1.已知4枚骰子中有2枚质地不均匀,某人从中任取2枚,请问
(1)取出的2枚骰子中有1枚质地不均匀的概率是多少 有2枚质地不均匀的概率是多少
(2)取出的2枚骰子中有质地不均匀的骰子的概率是多少
3.(1)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A.将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部,记选出女生的人数为X
C.某射击爱好者的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
D.盒中有大小、质地完全相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
(2)有9张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中任取3张,设Y表示抽出的3张卡片中标有数字是偶数的个数,则P(Y=1)=　　　　,E(Y)=　　　　.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)从4名男演员和3名女演员中随机选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.( √ )
(2)从2本物理书、5本数学书以及3本英语书中随机抽出3本,记抽出的数学书为X本,则X服从超几何分布.( √ )
(3)一个箱子中有大小、质地完全相同的6个白球,8个红球,从中随机有放回地摸出4个球作为样本,用X表示样本中白球的个数,则X服从超几何分布.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
对超几何分布的理解
【例1】 下列问题中,相应随机变量服从超几何分布的是(　　)
A.抛掷三枚质地均匀的骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数X
B.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子数X
C.盒子中有大小、质地完全相同的红球3个,黄球4个,蓝球5个,从中不放回地任取3个球,其中不是红球的个数X
D.有100个蓝牙耳机未经检测,抽取10个送检,检验结果为不合格的蓝牙耳机的个数X
解析:A,B选项中随机变量服从二项分布;C选项符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量X表示抽取n个样本中某类样本被抽取的个数,是超几何分布;D选项中没有给出不合格品的个数,无法计算X的概率分布,所以不属于超几何分布问题.
答案:C
对超几何分布的三点说明
(1)超几何分布的模型是不放回抽样.
(2)超几何分布中的参数是M,N,n(M,N,n∈N*).
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生的有关概率问题等,这些问题往往由差异明显的两部分组成.
【变式训练1】一批产品中有13件正品、2件次品,从中不放回地任取3件,求取出次品数X的分布列.
探究二
超几何分布
【例2】 在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有1张一等奖奖券,可获价值50元的奖品,有3张二等奖奖券,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.
解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
【变式训练2】一个不透明的袋中装有6个质地、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号分别为1,2,3;黑球有2个,编号分别为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机取出3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
探究三
二项分布与超几何分布
【例3】 一个不透明的袋子中装有60个大小、质地完全相同的球,其中有20个黄球、40个白球,从中随机地摸出10个球作为样本,用X表示样本中黄球的个数.
(1)有放回地摸球,求X的分布列;
(2)不放回地摸球,求X的分布列.
二项分布和超几何分布都可以描述从N件产品中随机抽取的n件产品中次品数的分布规律(n,N∈N*),并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似.
A.1 B.2或8 C.2 D.8
(2)某选手投球击中目标的概率为p=0.8,且每次投球的结果相互独立.求:
①投球一次,击中次数X的均值和方差;
②重复投球10次,击中次数Y的均值和方差.
(2)解:①X的分布列为
因为X服从两点分布,所以E(X)=0.8,D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16.
②由题意知,击中次数Y服从二项分布B(10,0.8).
故E(Y)=np=10×0.8=8,
D(Y)=10×0.8×0.2=1.6.
X 0 1
P 0.2 0.8
规范解答
超几何分布的综合应用
【典例】 已知一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观、大小完全相同.从中随机取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与均值.
1.超几何分布是概率分布的一种形式,一定要读懂题意,注意公式中字母的取值范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
2.在超几何分布中,只要知道M,N,n(注意这三个参数的含义),就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k),从而求出X的分布列、数学期望、方差等.
【变式训练】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:g),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求抽取的40件产品中重量超过505 g的产品数量;
(2)从抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505 g的产品数量,求Y的分布列.
解:(1)根据题中频率分布直方图可知,重量超过505 g的产品数量为40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12.
随堂练习
答案:C
2.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则E(X)=(　　)
答案:D
3.一个不透明的袋中有大小、质地完全相同的4个红球,3个黑球,从中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为随机变量Y,则P(Y≤6)=　　　　　.
4.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生、4名女生,从中随机选出4人参加学校的数学竞赛,用X表示选出的男生人数,求X的分布列.