20.1 一次函数 课件(共33张PPT)2025-2026学年数学冀教版八年级下册

(共33张PPT)
20.1 一次函数
第二十章 一次函数
20.1 课时1 正比例函数
第二十章 一次函数
理解正比例函数的概念；能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系.
能够利用正比例函数解决简单的数学问题.
我们在小学就认识了成正比例的量，即当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量.
小明骑自行车去上学,行驶时间和路程之间的关系如下表:
问题1：小明行驶的路程和时间成正比例吗 为什么
时间/min 1 2 3 4 5 ... 17.5
路程/km 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ... 3.5
问题2：如果用s表示路程,用t表示时间,你能写出它们之间的函数关系式吗
通过计算我们发现，无论时间如何变化，路程与对应时间的比值始终是 0.2，这个比值是恒定不变的，所以得出结论：小明行驶的路程和时间是成正比例的量.
.
路程与时间的比值是 0.2，可以用数学式子来表示这个关系：，
将这个式子变形，可以得到路程关于时间的函数关系式：
活动1 探究正比例函数的定义
1. 小亮每小时读20页书.若读书时间用字母t(h)表示,读过书的页数用字母m(页)表示,则用t表示m的函数表达式为　　　　 .
2. 小明去给学校运动会买奖品,每支铅笔0.5元.若购买铅笔的数量用n(支)表示,花钱的总数用w(元)表示,则用n表示w的函数表达式为　　　　 .
3. 某工程队维修一段公路的路面，每小时维修路面的长度为.若维修时间用表示，维修路面的长度用表示，则用表示的函数表达式为 .
y=30x
w=0.5n
m=20t
思考：这些函数有什么共同点？
都能写成y=kx的形式. 其中，k为常数，且k≠0.
一般地，我们把形如 y=kx (k为常数,且k≠0)的函数,叫作正比例函数.其中，非0常数 k 叫作比例系数.
注意：一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，还要使实际问题有意义.
4.下列函数中,哪些是正比例函数 请指出其中正比例函数的比例系数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解:(1),(3),(5),(6)是正比例函数,比例系数分别是3,, π, .
(2)和(4)不是正比例函数.
判断一个函数是否为正比例函数的方法：看两个变量的比是不是常数,即函数是不是形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数.
已知正比例函数，当自变量x等于－4时，函数y的值等于2.
（1）求正比例函数的表达式和自变量的取值范围.
（2）求当x=6时函数y的值.
解：(1)设正比例函数的表达式是,
把 , 代入上式，
得 ，解得，
所求的正比例函数的表达式是(x 为任何实数).
(2)当 时, .
设
代
求
写
活动2 求正比例函数的表达式
能否先求出比例系数k呢？
1. 确定正比例函数的表达式，就是确定正比例函数表达式y＝kx (k≠0)
中常数k 的值.
2. 求正比例函数表达式的步骤：
(1)设：设出正比例函数表达式y＝kx；
(2)代：将已知条件代入函数表达式；
(3)求：求出k 的值；
(4)还原：写出正比例函数表达式.
5.有一块10公顷的成熟麦田,用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割.
解：（1）y=0.5x.
（2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x，
解得x=20，即收割完这块麦田需要20 h.
答:(1)y与x之间的函数关系式为 y=0.5x.
(2)收割完这块麦田需要20 h.
（1）求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式.
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
1. 下列函数中，是正比例函数的是( )
A.y=x+2
B.y=
C.y=
D.y=+2
B
2. 若函数y＝□x＋ 是正比例函数，则下列说法正确的是（　B　）
A. □是0， 不是0
B. □不是0， 是0
C. □和 均不是0
D. □和 均是0
B
解析：正比例函数的形式为，所以，.
3. 已知函数是正比例函数，则常数m=________.
2
4. 若关于x的函数，则常数m=________.
5. 已知y是x的正比例函数，且当x=-2是，y=6.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当x=5时，求y的值.
解：(1)∵是x的正比例函数，∴设y=kx.
∵当时，，∴，解得.
∴y与x之间的函数表达式为.
（2）把代入，得
正比例函数
概念
判断
求表达式
看两个变量的比是不是常数,即函数是不是形如y＝kx
形如 y=kx (k为常数,且k≠0)的函数,叫作正比例函数
设y＝kx；将已知条件代入函数表达式；求出k 的值；写出正比例函数表达式.
20.1 课时2 一次函数
第二十章 一次函数
理解一次函数的概念，以及一次函数与正比例函数之间的关系.
能根据已知条件确定一次函数的表达式，能利用一次函数解决简单的问题.
由上表我们可以写出摄氏温度值和华氏温度两种温度计量之间关系的函数表达式，设摄氏温度为x ℃,华氏温度为y ℉ ，y=1.8x+32.
摄氏温度/ C 0 10 20 30 40 50
华氏温度/ F 32 50 68 86 104 122
思考：这个函数与我们所学的正比例函数有何不同 它又是什么函数呢
y=18-0.1t.
一支长为18 cm 的蜡烛，点燃后每分钟缩短0.1 cm. 设点燃后蜡烛燃烧的时间为t(min)，蜡烛的长度为y(cm).
问题1：写出y与t之间的函数关系式.
燃烧后蜡烛的长度=原来蜡烛的长度-已经燃烧的长度
问题2：写出t的取值范围.
问题3：对比正比例函数，它们的表达式在形式上有什么相同点与不点.
由(1)知，y与t之间的函数关系式为y=18-0.1t.
∵y≥0，即18-0.1t≥0，∴t≤180.
又∵t≥0，∴t的取值范围为0≤t≤180.
相同点：自变量的次数都是1；
不同点：正比例函数表达式的常数项为0，这个函数的表达式常数项不为0.
活动1 探究一次函数的定义
1.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，用h减常数105，所得的差就是G的值.求用h表示G的函数表达式.
G=h－105.
2.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴，每月1.6元/m2；有车位的再交车位管理费，每月80元.设有车位的房主的住房面积为x m2，每月应缴物业管理费与车位管理费的总和为y元，求用x表示y的函数表达式.
y=1.6x+80.
3.从A城市向B城市行驶的某高速列车，先用10 min行驶了15 km后，又将速度提升到300 km/h，并按这个速度匀速驶向B城市.设列车从A城市出发后行驶的时间为t(h)(t > h)，行驶的路程为s(km)，求用t表示s的函数表达式.
这些函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和.
交流讨论：在上面的问题中，我们分别得到了函数表达式： y=18-0.1t，G=h－105，y=1.6x+80，y=300t－35.这些函数表达式的形式有什么共同点？
一般地,我们把形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数，叫作一次函数.
对于一次函数y=kx+b，当b=0时，它就是正比例函数y=kx.
所以，正比例函数y=kx（k≠0）是特殊的一次函数.
4.下列函数，哪些是一次函数 请指出一次函数中的k和b的值.
(1)y=3x+6；　
(4)；
(2)；　
(3)；　
(5)；　
(6)；　
解： (1)(2)(4)(5)是一次函数.
(1)；(2)k=,b=2;
(4); (5)k=-2,b=.
如图，△ABC是边长为x的等边三角形,AD⊥BC，垂足为D. 设AD=h，△ABC的面积为S.
问题2：当时，求x的面积.
问题3：求S与x之间的函数关系式，S是x的一次函数吗
问题1：h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗 如果是一次函数,请指出相应的k与b的值.
活动2 确定应用问题中的一次函数表达式
(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，所以，. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得
, 即.
所以h是x的一次函数，且，.
如图，△ABC是边长为x的等边三角形,AD⊥BC，垂足为D. 设AD=h，△ABC的面积为S.
问题1：h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗 如果是一次函数,请指出相应的k与b的值.
(2)当时，有. 解得 .
(3)因为，即，
所以S 不是x 的一次函数.
如图，△ABC是边长为x的等边三角形,AD⊥BC，垂足为D. 设AD=h，△ABC的面积为S.
注意：当解决实际应用题时，我们应依据已知中的基本数量列出等量关系(类似列方程解应用题)，再整理成y＝kx＋b (k，b是常数，k≠0)的形式.
问题2：当时，求x的面积.
问题3：求S与x之间的函数关系式.S是x的一次函数吗
1. 函数是关于x的一次函数，则m,n应满足的条件是 ( )
A.且
B. 且
C.且
D. 且
A
2. 下列说法正确的是( )
A.y=kx+b一定是一次函数
B.(为常数，)不是正比例函数
C.正比例函数一定是一次函数
D. 一次函数一定是正比例函数
C
3. 把一次函数写成的形式，则______，______.
当时，______；当时，______；
3
-5
-11
4. 已知函数.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)由题意可知，当，即时，
y是x的一次函数.
(2)由题意可知，当且，
即时，y是x的正比例函数.
5. 将长为30 cm 、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设 x 张（ x 为大于1的整数）白纸粘合后的总长度为 y cm ，写出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x =20时 y 的值.
解：由题意，得
，
所以当时，.
一次函数
定义
求表达式
一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫作一次函数.正比例函数是特殊的一次函数
依据已知中的基本数量列出等量关系(类似列方程解应用题)，再整理成y＝kx＋b (k,b是常数，k≠0)的形式.