20.4 一次函数的应用 课件(共45张PPT)2025-2026学年数学冀教版八年级下册

(共45张PPT)
20.4 一次函数的应用
第二十章 一次函数
20.4 课时1 一次函数的应用
第二十章 一次函数
能根据题目条件确定正比函数或一次函数关系式.
能把实际问题抽象成一次函数模型，解决相关问题.
一辆客车，准乘20人（包括一名司机和一名乘务员）.这辆客车由A地驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人.
活动1 从文字信息中探究一次函数的应用
问题1：(1)这个问题中的变量是什么？
票价总收入和客车运营盈利是变量.
(2)这个问题中有什么数量关系？
客车运营盈利=票价总收入－运营总成本.
(3)如果设乘客人数为x时,客车运营盈利y元，求y与x之间的函数关系式.
y与x之间的函数关系式为y=25x－180.
用关系式法求表达式
一辆客车，准乘20人（包括一名司机和一名乘务员）.这辆客车由A地驶到B地，运营总成本为180元，乘客票价为25元/人.
问题2：当客车运营盈利120元时,求乘客人数.
当客车运营盈利120元时,有120=25x－180,解得x=12.
要想使客车运营盈利超过170元,只要使25x－180>170即可.
解得x>14.所以，乘客人数至少为15.
问题3：要想使客车运营盈利超过170元,则乘客人数至少为多少
由问题1知，客车运营盈利y与乘客人数x之间的函数关系式为y=25x－180，尝试解决下列问题:
把函数的问题转化成方程、不等式解决.转化的数学思想
利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题.常见类型如下：
1.题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解；
2.题目中没有给出一次函数的解析式，需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题.
某种称量体重的台秤,最大称量是150 kg.称体重时,体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角y(°)有如下一些对应数值:
活动2 从图表信息中探究一次函数的应用
x/kg 0 15 40 55 60
y/° 0 36 96 132 144
y
15
30
45
60
x
36
72
108
144
O
75
问题1：请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图象.
问题2：求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
问题3：当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置 当体重为50 kg时,台秤的指针转过的角度是多少度
由表格给出的数据结合图象可以看出,体重为0 kg时,台秤指针指向0°,每增加5 kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°,所以y是x的正比例函数. 根据已知条件可得
().
要注意结合实际，确定自变量的取值范围.
问题2：求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
x/kg 0 15 40 55 60
y/° 0 36 96 132 144
y
15
30
45
60
x
36
72
108
144
O
75
问题3：当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置 当体重为50 kg时,台秤的指针转过的角度是多少度
解：当y=180时，.
解得x=75.
当x=50时，.
解得y=120.
即当体重为75 kg时，台秤的指针恰好转180°的位置；当体重为50 kg时，台秤的指针转过的角度是120°.
已知y的值求x的值
已知x的值求y的值
()
要求某一函数值的对应的自变量的值时，就是解该函数值所对应的自变量的方程
一次函数模型要点：
1.学会读表：①看明白x与y之间的对应关系；②从表格中看出y对于x是“匀速”变化的，从而确定是一次函数.
2.可以用待定系数法确定该一次函数表达式.
3.一次函数表达式确定后，
由自变量的值求其对应的函数值，就是求“代数值的值”;
由函数值求对应到它的自变量的值，就是要解方程.
注意：应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义.
1.秤是我国传统的计重工具，其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与秤钩所挂物重x(kg)之间满足一次函数关系. 若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm，挂1 kg重物时秤砣到秤纽的水平距离为8 cm，则当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时，秤钩所挂物重为多少千克？
解：设秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与秤钩所挂物重x(kg)之间的函数关系式为y=kx+2.5，将x=1,y=8代入，得8=k+2.5，解得k=，所以该函数的关系式为 .
当秤砣到秤纽的水平距离为30cm时，有30=5.5x+2.5，解得x=5，即秤钩所挂物重为5kg.
2.春节来临之际，某超市购进一批春联进行销售，经调查发现：在一段时间内，某种春联的日销售量y（副）与售价x（元/副）成一次函数关系，其部分对应值如表所示，请根据表中信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当日销售量为66副时，求这种春联每副的售价为多少元？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把（12，60）和（15，54）代入得 解得
所以，y与x之间的函数关系式为y=-2x+84 .
(2)当y=66时，-2x+84=66，解得x=9. 即这种春联每副的售价为9元．
类型
文字表述型
图表信息型
关键
找到两个变量之间的数量关系,建立一次函数模型
一次函数的应用
20.4 课时2 一次函数的应用
第二十章 一次函数
能利用一次函数的图象分析、解决简单的实际问题，发展几何直观.
初步体会函数与方程的联系.
活动1 从图象中获取信息探究一次函数的应用
1.某航班托运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(kg)之间的关系如图所示.
问题1：求y与x之间的函数关系式.
问题2：依据（1）中求得的函数关系式，确定该航班可以免费携带行李的质量最多是多少千克.
由（1）知.
当=0时，得
所以，该航班可以免费携带行李的质量是20 kg.
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
∵点(4，400)，(50，600)在该函数的图象上，
∴ 解得
∴y与x之间的函数关系式为.
此时y为多少？
2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40 km / h 的速度匀速行驶. 已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.
问题1：求直线l的函数表达式.
问题2：警车加满油时，邮箱中的油量是多少升？
问题3：已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10 L，则其巡逻的最远路程是多少千米？
2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40 km / h 的速度匀速行驶. 已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.
问题1：求直线l的函数表达式.
设直线l的函数表达式为y=kx+b.
∵点(1，56)，(4，44)在该函数的图象上，
∴ 解得
∴.
2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40 km / h 的速度匀速行驶. 已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.
问题2：警车加满油时，邮箱中的油量是多少升？
在函数中，因为=0时，y=60，
所以警车加满油时，邮箱中的油量是60L.
2.一森林警察驾驶警车沿公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以40 km / h 的速度匀速行驶. 已知警车加满油后，油箱内的余油量y（L)与时间x(h)之间的关系图象是如图所示的直线l的一部分.
问题3：已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10 L，则其巡逻的最远路程是多少千米？
若警车返回加油站时油箱中的余油量为10L，则警车往返的耗油量为50L，单程行驶的耗油量为×50=25（L）.警车行驶最远时，邮箱中的余油量为60-25=35（L）.
将y=35代入中，得
解得x=6.25.
而6.25×40=250（km）.
所以，警车巡逻的最远路程是250 km.
交流讨论：1.第2题中的函数图象与x轴是否相交？说说理由.
不相交. 当函数图象与x轴相交时，则余油量为0，但是题目中要求警车按原路返回加油站时邮箱中的余油量不少于10L，所以函数图象不能与x轴相交.
2.设一次函数
请用k，b表示这两点的坐标，并指出这两点的坐标具有什么特点.
P(-
，且两个坐标都可以用k，b进行表示.
利用一次函数图象解决实际问题的方法：
1.先看横轴、纵轴分别代表什么变量，从x轴或y轴的实际意义去理解函数图象；再看图象与两坐标轴的交点的实际意义.
2.分析已知条件，通过作 x轴或y轴的垂线，在图象上找对一个的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值.
3.利用数形结合思想：
将“数”转化为“形”
由“形”定“数”
活动2 认识分段函数及其图象
某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用.
问题1：若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是多少元
问题1：观察图象可知，当乘客的乘车里程x≤3时，
打车的费用均为 8元，所以若某乘客的乘车里程为2.5 km，则他需要付的打车费是8元.
问题2：当x≥3时，求y与x之间的函数关系式.
问题3：若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程.
某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用.
问题2：当x≥3时，求y与x之间的函数关系式.
当x≥3时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
∵点(3，8)，(5，12)在该函数的图象上，
∴ 解得
∴当x≥3时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2.
某市出租车的计费方法如图所示，x(km)表示出租车行驶的里程，y(元)表示打车的费用.
问题3：若某乘客一次打车付费36元，求这位乘客的乘车里程.
∵32元＞8元，∴当y=32时，32=2x+2，解得x=15.
所以，这位乘客的乘车里程是15 km.
思考：上述问题中的函数由几段组成？你能写出该函数的函数关系式吗？
由两段组成，一条水平线段和一条射线.
注意写出自变量的取值范围
分两段讨论：
当0＜x≤3时，y=8；当x≥3时，y=2x+2.所以，
1.分段函数要根据自变量的取值范围分段描述.
2.分段函数是一个函数而不是多个函数，求出的分段函数解析式必须写出自变量的取值范围.
1.小王从家骑车到公园，她到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)的关系如图所示.
(1)写出小王到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)之间的函数关系式.
(2)小王从家到公园用了多长时间？
(3)出发8min后，小王离公园还有多远？
解：(1)设小王到公园的距离y(km)与骑行时间x(min)之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，将(0,15)，(10,10)代入，得b=15，10k+b=10，解得k=，所以该函数的关系式为 .
(2)将y=0代入，得x=30，即小王从家到公园用了30min.
(3)将x=8代入，得y=×8+15=11，即小王离公园还有11km.
2.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起开始的4 min 内只进水不出水，在随后的8 min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量 y(单位： L )与时间 x(单位： min)之间的关系如图，则第8 min时容器内的水量为多少？
解：当时，设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
∵点(4,20)，(12,30)在该函数的图象上，∴ 解得
即当时，y关于x的函数关系式为.
当x=8时，y=×8+15=25. 即第8min时容器内的水量为25L.
3.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数解析式.
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费.
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
解：（1）y关于x的函数解析式为：
(0≤x≤8)
(x＞8)
（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8.
答：应缴水费为15.8元.
3.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数解析式.
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费.
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
（3）∵1.3×8=10.4<26.6，
∴该用户用水量超过8立方米.
∴2.7x-11.2=26.6，解得x=14.
答：该户这月用水量为14立方米.
3.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数解析式.
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费.
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
类型
图象型
分段函数
关键
读懂函数图象表示的实际意义
一次函数的应用
20.4 课时3 一次函数的应用
第二十章 一次函数
理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.
学会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式的求解问题.
甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25 km/h.
由公式s=vt,得
①甲离开出发地的路程y甲与x的函数关系式为y甲=10x.
自变量x的取值范围为x≥0.
②乙离开出发地的路程y乙与x的函数关系式为y乙=25(x-3),即y乙=25x-75.自变量x的取值范围为x≥3.
问题1：设甲离开出发地的时间为x(h)，求:
①甲离开出发地的路程y甲(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
②乙离开出发地的路程y乙(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
问题2：在同一平面直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图象,并结合实际问题,解释两图象交点的意义.
甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25 km/h.
①甲离开出发地的路程y甲(km)与x(h)之间的函数关系式：y甲=10x（x≥0）
②乙离开出发地的路程y乙(km)与x(h)之间的函数关系式：y乙=25x-75（x≥3）
问题2：在同一平面直角坐标系中，画出问题1中两个函数的图象,并结合实际问题,解释两图象交点的意义.
问题1中两个函数的图象如图所示.
两个函数图象的交点坐标是(5，50)，即甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲).此时,两人距离出发地50 km.
思考：对于题中甲、乙行驶的情况,你能借助图片解释“乙出发多长时间后可以超过甲”这一问题吗 还有其他方法解答这个问题吗
图象法：由图可知，当x>5时，乙的函数图象在甲的图象之上，说明乙超过了甲，此时乙出发2 h.
代数法：由题意，可得25x-75>10x，解得x>5，所以5小时后乙可以超过甲，此时乙出发2 h.
y甲=10x（x≥0）
y乙=25x-75（x≥3）
有些一元一次方程和一元一次不等式问题,可以借助一次函数来考虑.借助一次函数的图象,往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象.
某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.
解:(1)租用甲家房屋时，y甲=3000x；
租用乙家房屋时，y乙=2000x+40000.
问题1：设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元，分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式.
问题2：根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算.
解法1:
①要使y甲=y乙,就是要使3000x=2000x+40000,解得x=40,即当x=40时,无论租用哪一家，租金都相同.
②要使y甲>y乙,就是要使3000x>2000x+40000,解得x>40,即当x>40时,租乙家的房屋更合算.
③要使y甲某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.
问题2：根据求出的两个函数表达式（y甲=3000x；y乙=2000x+40000），试判断租用哪家的房屋更合算.
解法2:
在同一平面直角坐标系中，分别画出：
y甲=3000x ，y乙=2000x+40000这两个函数的图象.
观察图象可知，当租用40个月时，甲、乙两家的租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算；当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算.
某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.
问题2：根据求出的两个函数表达式（y甲=3000x；y乙=2000x+40000），试判断租用哪家的房屋更合算.
一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系：
1.从“数”看一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2
(1)函数值y1=y2时x的值 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解；
(2)函数值y1＞y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集；
(3)函数值y1＜y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集.
2.从“形”看一次函数y1=k1x+b1（直线l1），y2=k2x+b2（直线l2）
(1)直线l1与l2 交点的横坐标 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解；
(2)直线l1在l2 上方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集；
(3)直线l1在l2 下方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集.
1.某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲，乙两家出租车公司．甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元．乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1 km按1 km计算）．设该单位用车里程为x km,租用甲公司客车的费用为y1元，租用乙公司客车的费用为y2元．
（1）y1与x的函数关系式为 ；y2与x的函数关系式为 ；
（2）假设该单位用车里程为30 km,你建议租用哪家公司的客车？请说明理由．
（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？
y1=15x
y2=10x+200
解：（2）由题意，结合（1）可知，当x=30时，y1=15×30=450，
y2=10×30+200=500，∵500＞450，∴建议租用甲公司的客车.
（3）由题意，结合（1），令y1=y2，∴15x=10x+200，∴x=40．
答：当用车里程为40千米时，两家出租车公司的费用相同．
2.在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲、乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示,当甲车出发　　　　h时,两车相距350 km.
解析:由题意,得AC=BC=240 km,甲的速度为240÷4=60(km/h),乙的速度为240÷3=80(km/h).设甲出发x h时,甲、乙相距350 km,由题意,得60x+80(x-1)+350=240×2,解得x= ,即甲车出发 h时,两车相距350 km.
3.一次越野跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1400米,小明、小刚所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图所示,则这次越野跑的全程为　 　米.
2200
解析:设小明的速度为a米/秒,小刚的速度为b米/秒.
由题意,得
解得
∴这次越野跑的全程为1600+300×2=2200(米).
一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系：
1.从“数”看一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2
(1)函数值y1=y2时x的值 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解；
(2)函数值y1＞y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集；
(3)函数值y1＜y2时x的值 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集.
2.从“形”看一次函数y1=k1x+b1（直线l1），y2=k2x+b2（直线l2）
(1)直线l1与l2 交点的横坐标 一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解；
(2)直线l1在l2 上方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集；
(3)直线l1在l2 下方部分的点的横坐标 一元一次不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集.