2026年数学中考专题训练-锐角三角函数（含解析）

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锐角三角函数
一、单选题
1．在中，，若实数，是方程的两根，则（ ）
A．或 B． C． D．或
2．如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
3．如图，在中，是的高，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，，为的中点，于点，与相交于点，（ ）
A． B． C． D．
5．在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
9．如果是直角三角形的一个锐角，且的值是方程的一个根，那么三角形的另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．或者
二、填空题
10．如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬 ．
11．如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是 ．
12．如图，四边形中，，，，，是四边形边上一点，过点作于点，若，则的面积为
13．在中，，则的度数为 ．
14．如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，，则的长度为 ．
15．第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则 ．
16．如图，在中，，，是边上一点，过点作交于点，交于点，且，连接．
（1） ．
（2）的值为 ．
三、解答题
17．计算：
18．如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接．
(1)求证：；
(2)取边的中点，连接，求证：．
19．如图，在中，，过点、，与交于点，与相切于点，连接交于点．
(1)若，求的大小．
(2)若，，求的面积．
20．如图，已知中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．
(1)当时，求的长；
(2)当时值；
(3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积．
21．【问题背景】
如图1，在中，过点作直线 于点，沿直线将纸片剪开，得到和，如图2所示．
【动手操作】
现将三角形纸片和三角形纸片进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片置于三角形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交于点F，如图3所示；
②延长交线段于点，如图4所示；
【问题解决】
请解决下列问题：
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图3，若是的中点，求证：是等边三角形；
(3)如图4，若，求的值．
22．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用寒假时间进行测量活动．
活动主题 摩天轮每个座舱的运行速度
测量工具 测距仪、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某广场有一座摩天轮（如实物图），其轮盘呈圆形，其示意图如下： 为轮盘的圆心，是支撑架，是轮盘的最低点，垂直于地面，每个座舱（大小忽略不计）都在轮盘的圆周上匀速运行．
测绘过程与数据信息 ①在地面取一点，使得在同一条直线上，过点作，连接交于点； ②用测距仪测得的长为的长为； ③在点处用测角仪测得，在点处用测角仪测得； ④用计算器计算得：，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求轮盘最低点离地面的高度；
(2)若此摩天轮旋转一周需要26分钟，求此摩天轮每个座舱的运行速度．（结果保留）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C C D B D D D B
1．C
【分析】本题主要考查了直角三角形三角函数关系，一元二次方程根与系数的关系求解，先利用直角三角形两锐角互余得到，再结合同角三角函数平方关系，通过根与系数关系建立关于的方程，最后根据三角函数值的正负性筛选符合条件的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，在中，，
则，，
∴，
又∵，
∴，
∵，是方程的两根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系得：，，
∵，
将代入得：，
整理得：，
两边同乘（）：，
整理得：，
解得，
即或，
∵，，
∴，得，
∴，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，过点作于点，先根据求，再根据求，在中利用勾股定理即可．
【详解】解：过点作于点，
则，
，，
，
，
，
．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴
解得：，
∴，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，推导得到，根据即可得出结果．
【详解】解：∵为BC的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
5．B
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
先明确题目中的直角三角形模型，已知角的正弦值和对边的长度，利用正弦函数的定义对边斜边来计算斜边的长度．
【详解】解：∵在中，，，，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，关键是利用圆周角定理进行角的转换；连接，由，在直角三角形中求即可．
【详解】解：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D ．
7．D
【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，网格中求三角形的面积，根据网格的特点和勾股定理可求出的长和的面积，利用等面积法求出的长，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图，过点B作于点D，
由网格的特点和勾股定理可得，，，，
∴，即
∴，
∴，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据，得到四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知，再根据，即可得出结果．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
由题意：，
∴；
故选： D．
9．B
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值及直角三角形的性质．先求出方程的根，再由的值判断出的度数，由直角三角形的特点求出三角形的另一个锐角的度数即可．
【详解】解：∵解方程，
配方得，
∴，
∵是直角三角形的锐角，，
∴，
∴，
∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角的度数为．
故选：B．
10．100
【分析】本题考查了解直角三角形的应用及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意画出示意图，再根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半进行解答即可．
【详解】解：作示意图如下：
由题意得，，
∴，
故答案为：100．
11．
【分析】本题考查了菱形的性质和锐角三角函数的知识；通过菱形对角线的性质得出的长度，再通过的正弦值得出菱形边长，勾股定理求得，进而可得的长，再根据菱形的面积即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，与交于点，
与互相垂直平分，
，
，
，
．
菱形的面积为
故答案为：．
12．、或
【分析】先通过面积法求出点到的距离，与已知比较，确定点可能与重合，或在、边上；再分三种情况，利用等腰三角形三线合一和相似三角形性质求出的长度，最后根据三角形面积公式计算的面积．
【详解】解：在中，
∵，，，
∴，
．
．
设点到的距离为，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴点与点重合或在、边上．
如图，过点作于，
∵，，
∴，
∴．
当点与点重合时，如图，
在中，
∵，，
∴，
．
②当点在边上时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
③当点在边上时，如图，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
，
．
故答案为：、或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握面积法求点到直线的距离和相似三角形的性质是解题的关键．
13．/75度
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值和偶次方的非负性、三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可得，，则可得，，再根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴在中，．
故答案为：．
14．10
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键．
过点作，垂足为，先求出，进而求出，可得出结论．
【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，
在中，，，
，，
，，
，
．
故答案为：10．
15．
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值．
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）先根据，，得出，再根据平行线的判定与性质，得出，则有，进一步得出，从而，最后利用，即可得出答案；
（2）先利用角平分线的性质得出，再利用勾股定理得出，进一步得出，，最后代入即可求解．
【详解】解：（1），，
，
．
于点，交于点，
，
，，，
，
，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
（2），，
，
．
由（1）可知，，
平分．
又于点，于点，
，，
，
，
，
，
，
．
，
．
故答案为：．
17．4
【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键．先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解．
【详解】解：
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，得到，结合点是边的中点，得到，最后结合，即可得证；
（2）由（1）可知，得到，，再证明，推出，然后证明，得到，最后利用，即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
点是边的中点，即，
，
又∵，
；
（2）证明：如图2，
由（1）知：，
，，
，
，
，
又，
∵，
，
点是边的中点，点是边的中点，
，
在中，，即，
．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，等边对等角，解直角三角形，熟练掌握以上知识点灵活证明三角形相似是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点．关键是通过连接圆心与切点，利用切线性质得到垂直关系，再结合平行线性质和圆周角定理求解角度，利用锐角三角函数计算边长和面积．
（1）连接，由切线性质得，结合得，从而得到与相等，再用圆周角定理求；
（2）先由的值求出的度数，进而得到的度数，结合得到，从而推出，得到，再在中求出的长度，得到的长度，最后在中求出的长度，进而计算的面积．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵与⊙相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由圆周角定理得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过F作，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得，，设，则，可得，所以，求出x值，再利用勾股定理求出即可；
（2）同（1）思路，证，即可得解；
（3）分两种情况讨论，为直角或为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可．
【详解】（1）解：过F作，垂足为点H，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，即，
，
设，则，,
，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过F作，垂足为点H，
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①当时，如图，
此时，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∴，
；
②当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
同理，得，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
解得，
∴
；
综上，四边形的面积为或．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的判定，解直角三角形．
（1）根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解；
（2）根据题意得出，进而证明垂直平分，得出，根据平行线分线段成比例，中位线的性质可得，即可得出，进而求得，即可得证；
（3）设，，根据已知得出，根据得出，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴
（2）证明：∵
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴，
∴
∵是的中点，
∴
∴
∴垂直平分，
∴，
∵
∴
又∵
∴
在中，
∴
∴是等边三角形，
（3）解：如图，
设，，
∵，
∴，则，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴
22．(1)轮盘最低点离地面的高度为
(2)此摩天轮每个座舱的运行速度为
【分析】该题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的周长，解题的关键是解直角三角形．
（1）根据等腰三角形的性质得出，在中，解直角三角形求出即可．
（2）设，在中，表示出，求出，再求出此摩天轮旋转一周的路径长，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，，，，
，
在中，，
则轮盘最低点离地面的高度为．
（2）解：由题意得：，，，，
设，
在中，，
解得：，
，
则，
又，
，
则此摩天轮每个座舱的运行速度为．
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