2026年数学中考专题训练-相似（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
相似
一、单选题
1．数学文化 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，要使“馬”“車”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，根据“馬走日”的规则，“馬”应落在（ ）
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
2．已知，则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，，则的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．如图所示，在的方格纸上有和，它们的顶点都在格点上，和分别是它们的高，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形的边长为6，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，分别交于点，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，作图如下：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，与交于，与的延长线交于，如图．已知，，下列结论错误的是（ ）
A．平分 B．
C．与是位似图形 D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数位于第一象限的图象上，，点是的重心，点也恰好在反比例函数的图象上，连接，延长与相交于点，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，，，连接，的角平分线交于点E，现把绕点B逆时针旋转，记旋转后的为，当射线和射线都与线段相交时，设交点分别F，G，若为等腰三角形，则线段长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，点是边的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，则 ，线段的长为 ．
10．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么 ．
11．坐标平面上横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知点，点，O为坐标原点，在第一象限内取一整点C，使O，B，C三点所构成的三角形与相似．那么C点不同的位置一共有 处．
12．如图，已知点O是等腰直角三角形的重心，过点O作于点D，于点E，则的值是 ．
13．如图，菱形中对角线与相交于点，将菱形绕点逆时针旋转，每次旋转，若，则旋转次后，点的坐标是 ．
14．如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线翻折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点E，F，D在同一条直线上，则 ．
15．一题多解 小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图所示，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间充当标杆， 两人适当调整自己的位置． 当楼的顶部 ，小颖的头部 及小亮的眼睛 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 两处，然后测出两人之间的距离 ，小颖与教学楼之间的距离 （点 在同一条直线上），小颖的身高 ，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 ． 则根据以上测量数据求出教学楼的高度为 ．
16．如图，在正方形中，对角线、相交于点，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④若正方形边长为，则四边形的面积为，其中正确的结论有 （填写正确的序号）．
三、解答题
17．如图，在中，，，以点为中心将顺时针旋转一定的角度，得到，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
18．如图，在△中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点．
(1)①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②证明：．
(2)若，，求的长．
19．如图1，已知为等边三角形，点D、E分别在边、上，且，与相交于点O．
(1)证明：；
(2)如图2，若，求的值；
(3)若，直接写出的值（用含m的代数式表示）
20．在平行四边形中，，点分别为上的两点．
(1)如图1，若，且，求证：；
(2)如图2，，求证：；
(3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含的代数式表示）．
21．聪明好学的晨晨看到一本课外书上有个重要补充：
角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．于是他和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D，求证：．”
可是他们依然找不到证明方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是打开思路．
【问题初探】
（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明；
【现学现用】借助角平分线定理解决如下问题：
（2）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度；
【问题解决】
（3）如图③，已知反比例函数，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A A D A D
1．B
【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
确定“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【详解】解：“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；
“車”“炮”之间的距离为1，“炮”和②之间的距离为，“車”和②之间的距离为，
∵
∴“馬”应该落在②的位置，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．
根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论．
【详解】解：A、由得，故选项符合题意；
B、由得，故选项不符合题意；
C、由得，故选项不符合题意；
D、由得，故选项不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，通过比例关系求线段即可．　
【详解】解：，，
，
，
，
．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，牢牢掌握判定定理和性质定理是解题的关键.
写出三角形对应边的比值判断是否满足对应边成比例即可.
【详解】解：由格点图可知，，，，，，，
∴，
∴．
∴．
∴．
即．
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质．
过点F作于点T，由正方形的性质和已知条件可得，由勾股定理可得，由旋转的性质可得；证明，可得，则；证明，可得，则；证明，可得，则．
【详解】解：如图所示，过点F作于点T，
∵四边形是边长为6的正方形，
∴，
∵，
∴；
在中，由勾股定理得；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，位似图形的定义．根据作图，即可判断A选项，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质即可得出，即可判断B，根据得出，得出，即与是关于的位似图形，根据相似三角形的性质，得出，即可求解．
【详解】解：由作法得平分，所以A选项正确，不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，所以B选项正确，不符合题意；
∵
∴
∴
又∵与相交于一点，
∴与是位似图形
，所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、等腰三角形性质、勾股定理，掌握反比例函数的图象和性质以及三角形重心的性质是解题的关键．由题意得点、关于直线对称，由可得的重心在直线上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，即可得到答案．
【详解】解：设点，，
由得：
整理得：
∵，
∴，
∴，，
∴点、关于直线对称，
∵，点是的重心，
∴的重心在直线上，
∴点在直线上，
联立，解得或，
∵点在第一象限，
∴，
∴，
∵点是的重心，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，解得，
∴，
故选：D．
8．D
【分析】过点G作，交于点H，证明，设，则，，
列比例式，解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】解：，，根据勾股定理，得，
由，得，
解得；
故，
过点G作，交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
故选：D．
9．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，灵活运用等腰三角形三线合一及相似三角形的性质是解题的关键，先求出的高，计算其面积，再通过相似三角形对应边成比例求出线段的长．
【详解】解：过点作，
，
是的中点，
，
在中，
，
，
过点作，
，
，
，
又是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：，．
10．/
【分析】本题考查了黄金分割、矩形的性质以及正方形的性质．由黄金矩形的定义得，，再由正方形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：∵矩形为黄金矩形，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
11．3
【分析】本题考查了相似三角形的判定、坐标与图形性质，根据相似三角形的判定即可找到符合条件的点C．
【详解】解：∵点，点，
∴，，，
当点C为时，，
∴，
∴．
当点为时，则，
∴，
∴，
当点为时，则，
∵，
∴，
综上所述：当点C为或或时，以O，B，C三点所构成的三角形与相似，
综上，点C的位置有(4,3)、(5,5)、(1,1)共3处，
故答案为：3．
12．/
【分析】本题考查了重心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明A、O、D在同一条直线上，是等腰直角三角形，设，则，求得，据此求解即可．
【详解】解：作于点，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∵点O是等腰直角三角形的重心，
∴点O在上，且点D与点重合，
∴A、O、D在同一条直线上，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】求出点D的坐标，菱形每次逆时针旋转，相当于对点D每次逆时针旋转，根据周期性，即可求出旋转次后点D的坐标．
【详解】解：如下图所示，作轴交于x轴点E，作轴交于x轴点F，
∵四边形是菱形，
，点D是的中点，，．
．
轴，
．
．
，
点B的坐标为，．
轴交于x轴点E，作轴交于x轴点F，
.
点D是的中点，
点D的坐标为， ．
菱形每次逆时针旋转，相当于对点D每次逆时针旋转．
旋转1次坐标为，
旋转2次坐标为，
旋转3次坐标为，
旋转4次坐标为，
旋转5次坐标为，
旋转6次坐标为，
坐标的变化具有周期性，
，
旋转次后，点D的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质、规律型、平行线段成比例等知识点，求出点D的坐标，再根据其周期性变化求出坐标是解本题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．设，，则，根据矩形性质得，，进而得，由翻折性质得，由此得，则，进而得，证明△和△相似得，即，由此得，据此可得的值．
【详解】解：设，，
，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折性质得：，，
，
，
，
，
△，
，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
，
故答案为：．
15．13
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用．解题关键是构造相似三角形，将实际测量的线段长度转化为相似三角形的对应边．过作的平行线交于，交于，由相似三角形的判定定理得出 ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论．
【详解】解：过作的平行线交于，交于．
由已知可得，，，．
又 ，
．
，即 ，
解得．
．
教学楼的高度为．
16．②③
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．根据过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，可知①错误；过点作，可证，根据全等三角形的性质可得，由正方形的性质可知，根据平行线分线段成比例定理可得②正确；连接，可知是的中位线，利用中位线定理可得，可证三角形相似，利用相似三角形的性质可证，可得③正确；根据三角形面积公式可得四边形的面积为，故④错误．
【详解】解：四边形是正方形，
，
与不重合，
错误，
故①错误；
如下图所示，过点作，
四边形是正方形，
，
设，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
故②正确；
如下图所示，连接，
四边形是正方形，
，
点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
又，
，
，
故③正确；
正方形边长为，
正方形的面积为，
，
，
，，
，
四边形的面积为，
故④错误；
综上所述，正确的结论有②③．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理．
（1）由旋转的性质得到：，进而得出，结合，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出，根据是等腰直角三角形，得出，即可得出，代入，即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得到：，
，，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
18．(1)①见解析 ；②见解析
(2)
【分析】（1）①根据过直线上点作已知直线的垂线的方法作图即可；
②连接，由直径所对圆周角为直角得到，根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，，由此即可求解；
（2）连接，，可得，，由为中点，为中点，得到，可证，得到，由此即可求解．
【详解】（1）①解：过点作的切线，如图即为所求；
②证明：在中，，以中点为圆心，长为半径作，如图，连接，
，，
，
与相切，
，
，
，即．
（2）解：是的直径，，，如图，连接，，
，
，
，，
为中点，
为中点，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆与三角形的综合，掌握尺规作垂线的方法，圆的切线的性质，直径所对圆周角为直角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识，数形结合分析是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，推出，即可证明；
（2）通过作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用全等得到线段相等，再结合相似三角形的性质建立比例关系求解；
（3）类比（2）的思路，通过作平行线，结合相似三角形的性质和线段比例关系推导．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过点D作交于M．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴即，
设，，则，即，
解得（舍去负根），
∴，即；
（3）解：过点D作交于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，
整理得，
解得（舍去负根），
∴，即．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)．
【分析】本题考查三角形相似的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
（1）利用证明；
（2）在的延长线上取点M，使，证明，即可求解；
（3）延长至N，使，证明，得到，再由，得到，由此可求．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）证明：在的延长线上取点M，使，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长至N，使，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（1）证明见解析；（2）或；（3）
【分析】（1）根据题目所给的思路进行证明即可；
（2）由折叠的性质可得，由角平分线定理得到，，设，再分当和时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则，进而求出，得到，则由角平分线定理得到；由反比例函数的对称性可得，则，证明，得到，，证明，得到，可设，则，求出（负值舍去），得到，则．
【详解】解：（1）如图所示，过点B作交延长线于点E，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由折叠的性质可得，
∴，，
∴；
设，
当时，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当时，同理可得，
解得（负值舍去），
∴
综上所述，的长为或；b
（3）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由反比例函数的对称性可得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴可设，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)