2026年数学中考专题训练-反比例函数（含解析）

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反比例函数
一、单选题
1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知图象的对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，点A和点B都在反比例函数的图象上，且线段过原点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，P是线段上的动点，连接．设的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
9．如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．反比例函数的图象如图所示，以下结论：
①常数；
②随的增大而减小；
③若，在图象上，则；
④若在图象上，则不一定在图象上．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
11．反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
12．如图，与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是 ．
13．已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为 ．
14．如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则 ．
15．如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为 ．
16．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，连接BO并延长，交双曲线的另一分支于点C，连接交y轴于点D．若点A的横坐标为，，则k的值是 ．
三、解答题
17．如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点．
(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接，，求的面积．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
19．已知：点、在反比例函数的图象上，直线经过点P、Q，且与x轴，y轴的交点分别为A、B两点．
(1)求直线的表达式；
(2)O为坐标原点，C在直线上且满足，点D在坐标平面内，顺次连接点O、B、C、D的四边形满足：，求D点坐标．
20．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）．
(1)求的值；
(2)求内整点的个数；
(3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D A B D B C C
1．A
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限；
若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
先根据确定反比例函数图象上点的横、纵坐标符号关系，再逐一分析选项判断正误．
【详解】解：∵点在反比例函数 （）的图象上
∴，即图象上任意点的横、纵坐标异号
分析A选项：若，当时，
，
则，
故A错误
分析B选项：若，当，且时，
，
则，故B错误
分析C选项：∵
∴与异号
又∵图象上点的横、纵坐标异号
∴与异号，
即，
故C正确
分析D选项：∵
∴与同号
又∵图象上点的横、纵坐标异号
∴与同号，
即，
故D错误．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题．
【详解】解：由题意知，
∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称，
∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称，
∵直线与双曲线的一个交点坐标为，
∴另一个交点的坐标为，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点P坐标，再利用待定系数法求解k值即可．
【详解】解：∵轴于点，且，
∴点P的纵坐标为4，
∵直线与双曲线交于点，
∴将代入中，得，解得，
∴点P坐标为，
将代入中，得，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：
A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则；
B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以；
C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以；
D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以．
∵，
∴A中阴影部分的面积最小．
故选：A．
6．B
【分析】先得到函数对称中心，代入直线方程得到a与b的关系式，再通过配方法求的最小值；
本题考查了反比例函数图象与性质，图象的中心对称，最值，熟练掌握中心对称是解题的关键．
【详解】解：∵
又∵的对称中心为，将其图象向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的图象
∴该函数图象的对称中心为
∵点在直线上
∴，即，
则
配方得：
∵
∴，
即的最小值为，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义．利用反比例函数中k的几何意义求出的面积，再根据线段过原点得到与、面积的关系，进而确定面积的取值范围．
【详解】解：设点A坐标为，
点A 在反比例函数的图象上，
．
点A和点B都在反比例函数的图象上，且线段过原点，
．
过点A作x轴的垂线，垂足为点C，
，．
，．
P是线段上的动点，
，即．
故选：D．
8．B
【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上的点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可．
【详解】解：如图，
∵点A、B是双曲线上的点，
，
即，
∴，
∵图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，
∴，
∴．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的性质得到在每一象限内，y随x的增大而减小，，则可对①②进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断．
【详解】解：观察图象得：函数图象位于第一、三象限，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，，故①②错误；
当时，，
当时，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴若在图象上，则一定在图象上，故④错误．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的求解，解决本题的关键是将点代入求解．
将点坐标代入函数解析式求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴将代入解析式，得．
故答案为：．
12．
【分析】先确定交点的横坐标分别为，2，再根据函数的增减性解答即可．
本题考查了反比例函数和直线交点的问题，函数的增减性，数形结合的思想，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
【详解】解：与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，
故，
解得，
故交点的横坐标分别为，2，
当时，
解得，
由，得，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了反比例函数的性质和定义，熟练掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键．
根据反比例函数的定义，指数需为，且系数需大于0以保证函数在每一象限内y随x的增大而减小．
【详解】解：由反比例函数的定义，得，
解得或，
∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小，
∴，
当时，，满足条件，
当时， ，不满足条件，
∴，
∴函数的表达式为．
故答案为：．
14．6
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得．
【详解】解：由题意知，，，
∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
15．
【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义求解即可，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键．
【详解】解：∵轴，轴，垂足分别为，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
16．3
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．先根据点A在直线上，点A的横坐标为，求得，再根据点A在双曲线上，求得，且，然后联立，根据直线与双曲线相交于A，B两点，求得点B的横坐标为，从而可求得点B的纵坐标，于是可得，设直线的解析式为，代入点的坐标求得直线的解析式，根据连接并延长，交双曲线的另一分支于点C，可求得点的横坐标为，从而可求得其纵坐标，于是可得，设直线的解析式为，将A、C两点坐标代入，从而可求得直线的解析式，进而求得D点的坐标，接着分别求得， ，从而可根据求得a，于是可求得k．
【详解】解：∵点A在直线上，点A的横坐标为，
∴，
∴，
∵点A在双曲线上，
∴，
∴，，
由，
∴，
∴，
∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴有两个不相等的实数根，其中一个根为，另一个根为点B的横坐标，
∵方程的两根之积为，
∴另一个根为，
∴点B的横坐标为，
∴点B的纵坐标为，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
∵连接并延长，交双曲线的另一分支于点C，
∴由，
得，
∴，
∴或，
∵，
∴点的横坐标为，
纵坐标为，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
取，则，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：3．
17．(1)，
(2)
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等．
（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点的坐标，然后根据即可以解决问题．
【详解】（1）解：将，代入，
得
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将代入，得，
∴反比例的解析式为；
（2）解：∵直线的解析式为与轴交点，
∴点的坐标为，
由，
解得或，
∴点的坐标为，
∴．
18．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方或二者交于一点，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
19．(1)
(2)点D的坐标为或
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质．
（1）根据反比例函数求出和，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据直线解析式求出和，设，根据相等线段和勾股定理列出方程求解得出，然后得出直线解析式为yx，设，最后利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得 ，
∴，
把代入，得，
∴，
，代入得，
解得，
即直线AB的表达式为；
（2）解：由（1）知，
当时，，
∴；
当时，，
解得，
∴；
∵C点在直线上，
∴设，
∵
∴由勾股定理得，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∵直线且过原点，
∴，
∴直线解析式为yx，
∴可设，
∵
∴由勾股定理得，
解得或，
∴满足条件的点D坐标是或．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点；
（3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解．
【详解】（1）解：∵经过点，
∴，
∴，
（2）解：对于双曲线 ，
当时，，
在直线上，当时，有整点个，
当时，，
在直线上，当时，有整点个，
当时，，
在直线上，当时，有整点2个，
当时，，
在直线上，当时，有整点2个，
当时，，
在直线上，当时，有整点1个，
当时，，
在直线上，当时，有整点1个，
当时，，
在直线上，当时，有整点1个，
当时，，
在直线上，当时，有整点1个，
当时，，
在直线上，当时，没有整点，
∴内整点的个数为个．
（3）解：如图，当时，区域内至少有个整点，
当时，，
解得：
内部（不包括边界）不超过个整点，．
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