2026年中考数学压轴题专项训练：四边形（江苏专用）（含解析）

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2026年中考数学压轴题专项训练：四边形（江苏专用）
1．【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
2．阅读与理解：
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处；即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，一又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.
【感悟与应用】
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，试判断CD和BD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=25，AD=12，DC=BC=17，求AB的长.
（3）【拓展提高】
如图（c），在四边形ABDF中，∠B=∠F=90°，∠BCA=∠AEF，∠D-∠BAC=90°，若CD=4，AC=5，AE=6，求四边形ABDF的边DE的长.
3． 【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.费马曾写信请托里拆利解答如下问题：如图R5-5①，给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P 的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马一托里拆利点.
【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点
A 逆时针旋转 60°得到△AP'C'，连结 PP'，
∴∠PAP'=60°，AP=AP'，PC=P'C'，
∴△APP'为等边三角形，∴AP=PP'，
点 C'可看成是点 C 绕点 A 逆时针旋转 60°而得的定点，BC为定长，
∴当 B，P，P'，C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.
（1）观察图②中∠APB，∠BPC和∠APC，试猜想这三个角的大小关系；
（2）【类比探究】如图③，在 Rt△ABC内部有一动点 P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结PA，PB，PC，若 BC=2，求 PA+PB+PC的最小值；
（3）【拓展应用】如图④，已知正方形AB-CD内一动点 P 到A，B，C三点的距离之和的最小值为 求此正方形的边长.
4．（1）阅读理解
如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌ ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为 ；
（2）类比探究
如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；
（3）拓展应用
如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．
5．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
（1）如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　；
（2）知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
（3）如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
（4）如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
6．【问题呈现】阅读材料1：若四边形内存在一点到四个顶点的距离相等，我们把这个点叫做四边形的“开心点”．
阅读材料2：关于的一元二次方程，如果，，满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”．
【问题解决】（1）在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形这四种四边形中，一定存在“开心点”的四边形的是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
（2）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根；
【问题应用】（3）如图，已知四边形存在“开心点”，且到四个顶点的距离为，，，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”．
①求证：；
②直接写出的长（用，的式子表示）．
7．阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”．
（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____）
（2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____）
问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程．
证明：分别过点，作于点，于点，得到图，
，又，
（_____），．
，
，
即．
延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：．
结论应用：
（1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ．
（2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ．
8．阅读以下材料：
【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．
（1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】（1）①45；②；
解：．
证明如下：如图2，在上截取，连接，
在和中，，
，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
∴。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
。
2．【答案】（1）解：BD=2CD，理由如下：
如图，
在中，，
∴，
∵ AD平分，
∴，
∴即.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
在上截取，连接，
∵ AC平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等腰三角形.
过Ｃ作于Ｈ，则，
设，则，
在和中，
∵
∴解得，
∴ BＧ=16.
∴ AB=AE+BE=12+16=28.
∴AB的长为28.
（3）解：如图，
把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，
∴，，，，，，，
，
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ DE的长为.
3．【答案】（1）解：∵△APP'是等边三角形，
∴∠APP'=∠AP'P=60°.
∵B，P，P'，C'四点在同一直线上，
∴∠APB = 180°-∠APP'=120°，∠AP'C'=180°-∠AP'P=120°.
由旋转得∠APC=∠AP'C'=120°，
∴ ∠BPC = 360° -∠APB -∠APC=120°，
∴∠APB=∠BPC=∠APC
（2）解：如图，将△ABP绕点 B 逆时针旋转60°得 到 △A'BP'， 连结PP'，AA'.
当 C，P，P'，A'四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小，此时 PA+PB+PC=A'C.
由旋转得A'B=AB，∠ABA'=60°，
∴△ABA'是等边三角形，
∴∠BAA'=60°，AA'=AB.
∵∠BAC=30°，∴∠A'AC=90°.
∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
在Rt△A'AC 中，
∴PA+PB+PC 的最小值为2
（3）解：如图，将△ABP 绕点 B 逆时针旋转60°得到△A'BP'，连结 PP'.
当C，P，P'，A'四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小，此时
过点 A'作A'E⊥CB 交CB 的延长线于点E.
由旋转得
∴
又∵，
∴
设正方形 ABCD 的边长为2x，则 ，
∴
在 Rt△A'EC中，
即
解得 (舍去)，
∴BC=2.
故此正方形的边长为2
4．【答案】（1）AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝；（3）BD＝2或2
5．【答案】（1）150°
（2）解：证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB'P'，连结PP'，
∵△APB≌△AB'P'，
∴AP=AP'，PB=PB'，AB=AB'，
∵∠PAP'=∠BAB'=60°，
∴△APP'和△ABB'均为等边三角形，
∴PP'=AP，
∵，
∴点C，点P，点P'，点B'四点共线时，最小=CB'，
∴点P在CB'上，
∴过的费马点．
（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP'B'，连结BB'，PP'，
∴△APB≌△AP'B'，
∴AP'=AP，AB'=AB，
∵∠PAP'=∠BAB'=60°，
∴△APP'和△ABB'均为等边三角形，
∴PP'=AP，BB'=AB，∠ABB'=60°，
∵
∴点C，点P，点P'，点B'四点共线时，最小=CB'，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB'=AB=2，
∵∠CBB'=∠ABC+∠ABB'=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB'中，B'C=
∴最小=CB'=；
（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE'B'，连结EE'，BB'，过点B'作B'F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE'B'，
∴BE=B'E'，CE=CE'，CB=CB'，
∵∠ECE'=∠BCB'=60°，
∴△ECE'与△BCB'均为等边三角形，
∴EE'=EC，BB'=BC，∠B'BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E'，点B'四点共线时，最小=AB'，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB'=180°-∠ABC-∠CBB'=180°-90°-60°=30°，
∵B'F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB'=，
∴最小=AB'=．
6．【答案】（1）D；
（2）证明：
是关于的“2倍—勾系方程”，
，
，即，
关于的“2倍—勾系方程”必有实数根；
（3）
①证明：
作于，延长交于，连接，，如图：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵关于的方程是“2倍—勾系方程”，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②.
7．【答案】阅读理解：（）；（）；
问题提出：，；
延伸探究：证明：过作于，过作交的延长线于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
结论应用：（）；（）．
8．【答案】解：（1），理由如下：如图1，
延长交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴ ，即；
（2），理由如图下：
如图2，
延长交于H，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，点D与点关于对称，
∴，即，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
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