2026年中考数学压轴题专项训练：图形的相似（江苏专用）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学压轴题专项训练：图形的相似（江苏专用）（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-05 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年中考数学压轴题专项训练：图形的相似（江苏专用）
1．【综合与实践】
【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性．
素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点．
素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形．
【特例感知】
（1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）；
（2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________；
【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：
第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，；
第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处；
第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形．
小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形．
【问题解决】
（3）请你证明小军的上述结论是否正确；
（4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明．
2．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
3．阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边．
如图1，当，时，，________
若，时，________，________．
【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长到点，使，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长．
4．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
（1）情况①中的依据指： ；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么
5．【阅读理解】
定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）；
（2），为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为．
①若，求的长；
②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．阅读以下材料：
【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．
（1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积．
7．【阅读材料】
配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．
例如：求代数式的最值．
解：因为
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
所以当时，代数式取得最小值3．
再如：求代数式的最值．
解：因为
所以当时，代数式取得最大值．
（1）【材料理解】
时，代数式的最 “大”或“小” 值为 ．
（2）【类比应用】
试判断关于的一元二次方程实数根的情况，并说明理由．
（3）【迁移应用】
如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积；
②运用“配方法”求的最大值．
8．阅读理解：
如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：．
拓展应用：
（1）如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排 0 1 2 3 …
隔板长度/厘米 160 __________ 80 …
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________
答案解析部分
1．【答案】解：（1）（1）如图，
∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋，
∴，，
∴，，
∵误差在范围内符合题意，
∴选择范围为：，
∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果；
（2）；
（3）小军的结论正确，理由如下：
∵由对折可得：四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∴，，
∴，
∴矩形为黄金矩形；
（4）∵正方形，，
∴正方形的面积为，
∵矩形，，
∴，
∴矩形的面积为，
∴．
2．【答案】解：过点N作NH⊥MM'于点H，
∴∠NHM=90°，∠CMH=α
∴∠NMH+∠MNH=90°
∵，
∴∠CMN=90°，
∴∠CMH+∠NMH=90°
∴∠MNH=∠MNH=α
∴在Rt△MHN中，
∴；
答：HN的长度为mcosα；
（2）作N'D∥MN交MM'于点D，
∵，
∴∠N'M'D=α，DN'⊥M'N'，
∴在Rt△DM'N'中，
∴，，
∴OD=OM'-DM'=27-8=19，
∵N'D∥MN，
∴△DON'∽△MON，
∴，
∴MN=7DN'=7×7=49.
3．【答案】解：任务1：性质探究：如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边．
当，时，，
则，此时，，
则，；
当，时，，
则，此时，，
则，．
性质猜想：，，之间的数量关系为．
故答案为：2；1；；
任务2：如图2，延长到点，使．
．
．
，
．
又，
．
，
即．
，
即；
任务3：∵
∴，
∵，
∴，
∴是“倍角三角形”，
，
∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，设，
∴，，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
的长为6．
4．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）证明：过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，
则，，
∴，
∴BF·AD·EC=BD·AE·FC，
即
（3）25：16
5．【答案】（1）
（2）①；②
6．【答案】解：（1），理由如下：如图1，
延长交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴ ，即；
（2），理由如图下：
如图2，
延长交于H，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，点D与点关于对称，
∴，即，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
7．【答案】（1），大，；（2）两个不相等的实数根，（3）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
8．【答案】（1）正方形的边长为
（2）①；；②最多可以摆放38瓶葡萄酒
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2026年中考数学压轴题专项训练：图形的相似（江苏专用）
1．【综合与实践】
【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性．
素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点．
素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形．
【特例感知】
（1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）；
（2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________；
【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：
第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，；
第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处；
第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形．
小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形．
【问题解决】
（3）请你证明小军的上述结论是否正确；
（4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明．
2．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
3．阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边．
如图1，当，时，，________
若，时，________，________．
【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长到点，使，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长．
4．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
（1）情况①中的依据指： ；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么
5．【阅读理解】
定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）；
（2），为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为．
①若，求的长；
②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．阅读以下材料：
【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．
（1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积．
7．【阅读材料】
配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．
例如：求代数式的最值．
解：因为
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
所以当时，代数式取得最小值3．
再如：求代数式的最值．
解：因为
所以当时，代数式取得最大值．
（1）【材料理解】
时，代数式的最 “大”或“小” 值为 ．
（2）【类比应用】
试判断关于的一元二次方程实数根的情况，并说明理由．
（3）【迁移应用】
如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积；
②运用“配方法”求的最大值．
8．阅读理解：
如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：．
拓展应用：
（1）如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排 0 1 2 3 …
隔板长度/厘米 160 __________ 80 …
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________
答案解析部分
1．【答案】解：（1）（1）如图，
∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋，
∴，，
∴，，
∵误差在范围内符合题意，
∴选择范围为：，
∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果；
（2）；
（3）小军的结论正确，理由如下：
∵由对折可得：四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∴，，
∴，
∴矩形为黄金矩形；
（4）∵正方形，，
∴正方形的面积为，
∵矩形，，
∴，
∴矩形的面积为，
∴．
2．【答案】解：过点N作NH⊥MM'于点H，
∴∠NHM=90°，∠CMH=α
∴∠NMH+∠MNH=90°
∵，
∴∠CMN=90°，
∴∠CMH+∠NMH=90°
∴∠MNH=∠MNH=α
∴在Rt△MHN中，
∴；
答：HN的长度为mcosα；
（2）作N'D∥MN交MM'于点D，
∵，
∴∠N'M'D=α，DN'⊥M'N'，
∴在Rt△DM'N'中，
∴，，
∴OD=OM'-DM'=27-8=19，
∵N'D∥MN，
∴△DON'∽△MON，
∴，
∴MN=7DN'=7×7=49.
3．【答案】解：任务1：性质探究：如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边．
当，时，，
则，此时，，
则，；
当，时，，
则，此时，，
则，．
性质猜想：，，之间的数量关系为．
故答案为：2；1；；
任务2：如图2，延长到点，使．
．
．
，
．
又，
．
，
即．
，
即；
任务3：∵
∴，
∵，
∴，
∴是“倍角三角形”，
，
∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，设，
∴，，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
的长为6．
4．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）证明：过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，
则，，
∴，
∴BF·AD·EC=BD·AE·FC，
即
（3）25：16
5．【答案】（1）
（2）①；②
6．【答案】解：（1），理由如下：如图1，
延长交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴ ，即；
（2），理由如图下：
如图2，
延长交于H，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，点D与点关于对称，
∴，即，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
7．【答案】（1），大，；（2）两个不相等的实数根，（3）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
8．【答案】（1）正方形的边长为
（2）①；；②最多可以摆放38瓶葡萄酒
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