2026年中考数学压轴题专项训练：相交线与平行线（江苏专用）（含解析）

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2026年中考数学压轴题专项训练：相交线与平行线（江苏专用）
1．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
2．已知直线AB//CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F.
（1）【阅读理解】
如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD，求证；PE⊥PF.请在下面的括号里填写相应的依据.
解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD.
∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（　　）.
∵AB//CD，
∴2x+2y= 180°（　　）
∴x+y=90°.
又∵x+y+∠P=180°，
∴90°+∠P=180°
∴∠P=90°，即EP⊥PF.
（2）【推广应用】
如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH，若∠P=54°、∠GQF=70°，请模仿（1）设元的方法，求∠EGH和∠EFH的度数.
（3）[拓展提升]
如图3，点G在线段EF上，点H是直线 CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，设∠EGH=m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数.
3．如图
【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
【类比应用】可以运用以上结论解答下列问题：
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
（3）【拓展应用】
如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
4．阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，．求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，
∴______，______．
∵．
∴．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图，已知，求的度数．
深化拓展：
（3）如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请求出的度数．（用含的代数式表示）
5．请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．
6．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
（3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数．
7．【阅读】如图1，光线从空气中射入玻璃砖时，光线的传播方向发生了改变，即玻璃砖中的光线与原来空气中的光线不在同一条直线上，这是光线在玻璃砖中的折射现象．
【探究】为了探究光折射时的特点，科学实验小组将一束光斜射到一块玻璃砖的上表面上的点处，并在下表面（）的点处射出，于点，如图2所示，图中所有的点都在同一平面内，查问相关科学知识，得到．
（1）若，，求光的传播方向改变了多少度；
（2）请判断射入光线与射出光线是否平行，并说明理由；
（3）已知光线与的夹角为35°，如图3所示．若射出光线与光线垂直，则的度数为　 　．
8．在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为f．
【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
已知，，，，，当时，求证：．
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
同理可得，
∴，即①______，
∴②______，∴，∴，即．
请结合上述材料，解决以下问题：
（1）在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________；
（2）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含的代数式表示）；
（3）如图3，在中，，平分并交边于点D，设，求的值(用含n的代数式表示)．
答案解析部分
1．【答案】解：过点N作NH⊥MM'于点H，
∴∠NHM=90°，∠CMH=α
∴∠NMH+∠MNH=90°
∵，
∴∠CMN=90°，
∴∠CMH+∠NMH=90°
∴∠MNH=∠MNH=α
∴在Rt△MHN中，
∴；
答：HN的长度为mcosα；
（2）作N'D∥MN交MM'于点D，
∵，
∴∠N'M'D=α，DN'⊥M'N'，
∴在Rt△DM'N'中，
∴，，
∴OD=OM'-DM'=27-8=19，
∵N'D∥MN，
∴△DON'∽△MON，
∴，
∴MN=7DN'=7×7=49.
2．【答案】（1）解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD.
∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（角平分线的定义）.
∵AB//CD，
∴2x+2y= 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴x+y=90°.
又∵x+y+∠P=180°，
∴90°+∠P=180°
∴∠P=90°，即EP⊥PF.
（2）解：GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH
∴可设∠EGP=∠PGH=x，∠EFP=∠PFH=y
解得
∴∠EGP=∠PGH=16°.
∴∠EFP=∠PFH=38°
∴∠EGH= 32°，∠EFH=76°.
（3）解：当点H在点F的右边时，如图所示，
设∠GFP=∠PFH=x，∠GHP=∠PHD=y.
∴，整理得.
∴
.
当点H在点F的左边时，如图所示，
∵FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，
∴可设∠EFP=∠PFH=a，∠GHP=∠PHD-b，
∴∠EGH=∠GFH+∠GHF = 2a + 2b = m°
∴a+b=m°
∴∠P+∠PHF+∠PFH=180°，
∴∠P=180°-(∠PHF+∠PFH)=180°-(a-m°+b)=180°-m°。
∴∠FPH=90°-m°或∠FPH=180°-m°
3．【答案】（1）解：如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．
4．【答案】（1），；（2） （3）或
5．【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°；
6．【答案】（1）证明：如图，过作直线，
而，
，
，，
，
即；
如图，过作直线，
而，
，
，，
；
（2）解：如图，延长，交于点，过作，
而，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
由的结论可得：，，
和分别平分和，
，，
，
，
，
.
7．【答案】（1）解：，即光的传播方向改变了28°；
（2）解：射入光线与射出光线平行；
理由：，．
又，，
即，；
（3）55°
8．【答案】（1）相似三角形的性质
（2）①，②
（3）
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