2026年中考数学压轴题专项训练：旋转问题（江苏专用）（含解析）

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2026年中考数学压轴题专项训练：旋转问题（江苏专用）
1．阅读：
材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在中，，点是边上的一点．
（1）已知．
①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值；
②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长；
（2）如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长．
2．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．
（1）【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
（2）【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是　 　．
（3）【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（4）【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为　 　海里．
3．阅读以下材料：
【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．
（1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积．
4．阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长．
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______．
【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小．
【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长．
5．
图1 图2 图3
（1）【阅读理解】如图1，等边内有一点，若，，，求的度数．
将绕顶点旋转至处，得，可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程．
（2）【基本运用】请你利用第（1）题的解答方法，解答问题：
如图2，中，，，，为上的点，且，，，求的长．
（3）【能力提升】如图3，在中，，，，点为内一点，连接，，，则的最小值是　 　．
6．阅读材料，并解决问题：
（1）方法指引
如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．
解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，是　 　三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出　 　°；
（2）知识迁移
已知如图②，中，，，E、F为BC上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点O为内一点，连接AO，BO，CO，且，求出的值．
7．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ▲ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
8．【模型呈现：材料阅读】
如图1，点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，AE，BD交于点F，对于上述问题，存在结论（不用证明）：
⑴△BCD≌△ACE．
⑵△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成．
（1）【模型改编：问题解决]
点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，ED＝EC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE，BD交于F，如图1：点B在直线CE上，
①求证：△BCD∽△ACE．
②求∠AFB的度数．
③如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．
补全图形，则∠AFB的度数为 ▲ ．
④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 ▲ ．（直接写结论）
（2）【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝2，AD＝ED＝2，DG＝6，连接AG，BF，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①，，
，
，，
即
在，中，
，
在中，，，
，
；
②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作如图所示
由①可知，
，，
，
在，中，
，
∴
，，
，
令，则，，
，
在中，，，
，
在，中
，
即，解得
．
（2）解：取中点，连接，作交延长线于点，如图所示，
是边的中点，
是的中位线，
，
，
即
，
，
在，中，
，
在中
，
，
，
，
．
2．【答案】（1）解：，理由如下，
如图所示，
∵，，
∴将绕点逆时针旋转得，与重合，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）
（3）解：仍然成立，理由如下，
如图所示，延长至点，使得，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴；
（4）210
3．【答案】解：（1），理由如下：如图1，
延长交于点H，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴ ，即；
（2），理由如图下：
如图2，
延长交于H，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，点D与点关于对称，
∴，即，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M，
∵四边形是菱形，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
4．【答案】解：阅读材料题：6；
【方法迁移】：
如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接；
由旋转的性质得：，，；
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴．
【能力拓展】：
如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F；
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，由勾股定理得；
∵，
则在中，由勾股定理得；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
5．【答案】（1）解：由旋转的性质可知，PA=3，PB=4，
，，，∠BAP=∠CAP'，
∵是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC，∠PAP'=∠PAC+∠CAP'，
，
为等边三角形，
∴，，
∵PC=5，
∴P'C2+P'P2=PC2=25，
是直角三角形，
∴∠PP'C=90°，
；
（2）解：如图2所示，把绕点逆时针旋转得到，
图2
由旋转的性质可知，，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）
6．【答案】（1）等边；150
（2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转90°得到，
由旋转的性质得，，，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
（3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转60°至处，连接，
∵，，，
∴，
则
∵绕点B顺时针方向旋转60°，得到，
∴，，，
则，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴C、O、、四点共线，
在中，，
∴．
7．【答案】（1）∵△ACP'≌△ABP，
∴AP'＝AP＝3、CP'＝BP＝4、∠AP'C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P'＝60°，
∴△AP P'为等边三角形，
P P'＝AP＝3，∠A P'P＝60°，
易证△P P'C为直角三角形，且∠P P'C＝90°，
∴∠APB＝∠AP'C＝∠A P'P+∠P P'C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，
由旋转的性质得，AE'＝AE，CE'＝BE，∠CAE'＝∠BAE，∠ACE'＝∠B，∠EAE'＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E'AF＝∠CAE'+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF，
在△EAF和△E'AF中，
∴△EAF≌△E'AF（SAS），
∴E'F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E'CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E'F2＝CE'2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B处，连接OO'，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A'O'B如图所示；
∠A'BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，
∴A'B＝AB＝2，BO＝BO'，A'O'＝AO，
∴△BOO'是等边三角形，
∴BO＝OO'，∠BOO'＝∠BO'O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO'＝∠BO'A'+∠BOO'＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A'、O'四点共线，
在Rt△A'BC中，A'C＝=，
∴OA+OB+OC＝A'O'+OO'+OC＝A'C＝．
8．【答案】（1）解：①∵AB＝AC，ED＝EC，∠BAC＝∠DEC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°-50°）÷2＝65°，∠EDC＝∠ECD＝（180°-50°）÷2＝65°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵∠ACE＝180°-∠ACB＝115°，∠BCD＝180°-∠ECD＝115°，
∴△BCD∽△ACE；
②由①知，△BCD∽△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴∠AFB＝∠DBC+∠CEA＝∠EAC+∠CEA＝∠ACB＝65°；
③补图如下：
；115°；
④90°-；
（2）解：连接BD、DF，
∵在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，DG＝3，
∴＝，
又∵∠BAD＝∠DGF＝90°，
∴△ADB∽△GDF，
∴∠ADB＝∠GDF，＝，
∵∠ADG＝∠GDF+∠ADF，∠BDF＝∠ADB+∠ADF，
∴∠ADG＝∠BDF，
∴△BDF∽△ADG，
∴＝，
∵AD＝，AB＝1，
∴BD＝＝2，
∴＝＝＝，
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