2026年中考数学压轴题专项训练：锐角三角函数（江苏专用）（含解析）

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2026年中考数学压轴题专项训练：锐角三角函数（江苏专用）
1．（1）阅读理解
如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌ ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为 ；
（2）类比探究
如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；
（3）拓展应用
如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．
2．【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，
∴，
∴．
同理可得，，
即．
由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．
又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得．
由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．
如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里．
（1）求的面积；
（2）求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）
3．阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长．
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______．
【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小．
【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长．
4．如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为：
，，，．
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．
（1）若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______；
（2）若角的终边与直线重合，则______；
（3）若角是钝角，其终边上一点，且，则______；
（4）若，求的取值范围．
5．【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）．
【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由．
【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求．
【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，）
6．阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
7．阅读资料：
如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为 ．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．
8．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：；
；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底距离7米的处，测得塔顶的仰角为，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，
答案解析部分
1．【答案】（1）AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝；（3）BD＝2或2
2．【答案】（1）
（2）
3．【答案】解：阅读材料题：6；
【方法迁移】：
如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接；
由旋转的性质得：，，；
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴．
【能力拓展】：
如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F；
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，由勾股定理得；
∵，
则在中，由勾股定理得；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
4．【答案】（1）它们的相反数取负值的是；
（2）或；
（3）；
（4）解：若，设，则，
当时，，
当时，根据三角形的两边之和大于第三边，则，
∴
∴，
∴；
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
．
5．【答案】【探究活动】：，；
【初步应用】：
∵，，，，
∴，
∴，
∴；
【综合应用】：
如图，
由题意得：，，，，
∴，
∵，
∴，，
设楼，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴楼高度约为．
6．【答案】（1）证明：如图2，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图3，过点作于点，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．

7．【答案】问题拓展：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2
综合应用：综合应用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．
在△POB和△PAB中，
，
∴△POB≌△PAB，
∴∠POB=∠PAB．
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴∠POB=90°，
∴∠PAB=90°，
∴AB是⊙P的切线；
②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．
当点Q在线段BP中点时，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=BQ=AQ．
此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．
∵∠POB=90°，OA⊥PB，
∴∠OBP=90°-∠DOB=∠POA，
∴tan∠OBP==tan∠POA=．
∵P点坐标为（0，6），
∴OP=6，OB=OP=8．
过点Q作QH⊥OB于H，如图3，
则有∠QHB=∠POB=90°，
∴QH∥PO，
∴△BHQ∽△BOP，
∴，
∴QH=OP=3，BH=OB=4，
∴OH=8-4=4，
∴点Q的坐标为（4，3），
∴OQ==5，
∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程为（x-4）2+（y-3）2=25
8．【答案】（1）解：；
（2）解：在中，，，米，
．
，
米，
（米．
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．
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