16.1 变量与函数 教学设计 华东师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 16.1 变量与函数 教学设计 华东师大版数学八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 92.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-05 00:00:00 | ||
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文档简介
课题 变量与函数
一、教学内容解析
函数是描述运动变化现象的重要数学模型．数学模型是联系数学知识和现实问题的桥梁，只有通过解决实际问题，才能显示出数学模型的应用价值．在学习了函数概念后，用函数概念研究现实问题，既可以深化对函数概念的理解，又能让学生体会函数模型的应用价值，发展分析问题和解决问题的能力．严格地讲，函数有三个基本要素：定义域、值域和对应关系．考虑到初中阶段学生的认知水平，对值域不作要求；对定义域只要求会确定简单函数以及由简单实际问题抽象出的简单函数的自变量的取值范围；对应关系也不作强调，而是用“函数值可以由自变量的值唯一确定”来说明．
函数有三种基本表示方法：解析法、列表法和图象法，本课只涉及解析法和列表法，图象法在后继学习中进行．
综上所述，确定本节课的教学重点：用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围．
二、教学目标设置
1.了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系．
2.能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围．
3.会初步分析简单实际问题中的函数关系，讨论变量的变化情况．
重难点
1.了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系．
2.能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围．
目标1要求学生知道什么叫函数解析式，什么是解析法和列表法；会写出简单实际问题的函数解析式，并通过列表计算函数值，知道列表也是表示函数关系的一种方法．
目标2要求学生在写出函数解析式后，会根据问题的实际意义确定自变量的取值范围．
目标3要求根据解析式或表格，已知自变量的值会求函数值，并初步分析随着自变量的值的增大，函数值是怎样变化的．
三、学情分析
通过第1节课的学习，学生初步能确定运动变化过程中的变量，知道什么是函数．在前面的学习中，学生知道，对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的函数值与之对应．但函数的自变量取值往往是有范围限制的，超出了一定的范围，函数就没有意义了，这在教学中还没有涉及．另外，函数概念有什么作用？怎么用函数解决实际问题？学生也不知道．面对一个具体的运动变化现象，怎样用函数概念进行描述和研究，学生没有见过，这是学习的难点．
四、教学策略分析
1.基于本课重难点，依据知识发展的过程和学生的认知规律，本课时设计了三个层次帮助学生逐步抽象概括出函数的概念.
⑴问题1和问题2让学生感受到在实际问题中，自变量的取值范围往往是有限制的，提出函数自变量的取值范围问题．
⑵例1用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的对应关系，是描述函数的常用方法，这样的式子叫函数解析式.
⑶例2介绍列表法表示函数关系，让学生再次体会函数模型的应用价值．
纠正了“能解析式表达的才是函数”，函数也可以用列表来表达，后面还要学习用图象来表示.
2.本节课采用复习提问、讨论交流、例题讲解、课后拓展.自主学习与合作学习，通过学习共同体对学生学习产生推动作用，在辨析中质疑、在交流中碰撞，实现师生智慧互激、共同发展.把课堂交给学生，不同认知基础的学生通过合理分组、明确分工、难度适中且可操作性的数学活动，都有学习机会和提升空间.
五、教学过程设计
（一）复习概念，提出问题
问题1 什么叫函数？请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t(单位：h)，行驶的路程为s(单位；km)；
(2)多边形的边数为n，内角和的度数为y．
师生活动：学生回顾函数的概念，列出函数式，教师板书．
追问：函数的定义：“某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x每取一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．”问题1(1)中，t取-2有实际意义吗？问题1(2)中，n取2有意义吗？
设计意图：在回顾知识、概念辨别中创设认知冲突，让学生感受到在实际问题中，自变量的取值范围往往是有限制的，提出函数自变量的取值范围问题．
（二）讨论交流，形成新知
师生活动：教师引导，以上例子说明，在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
问题2 你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？
(1)等腰三角形的周长为12，底边长为x，腰长为y，y随着x的变化而变化；
(2)把边长为10 cm的正方形纸板的4个角都截去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积V(单位：cm3)随x(单位：cm)的变化而变化．
师生活动：学生独立写出函数式和相应的自变量取值范围，教师引导学生并进行点评．重点关注确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．
设计意图：通过练习让学生初步学习如何确定自变量的取值范围．
（三）应用新知，解决问题
例1 一辆汽车油箱中现有汽油50 L，它在高速公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变．行驶了100 km时，油箱中剩下汽油40 L．假设油箱中剩下的油量为y(单位：L),已行驶的里程为x(单位：km)．
(1)在这个变化过程中，y是x的函数吗？
(2)能写出表示y与x的函数关系的式子吗？
(3)这个变化过程中，自变量x的取值范围是什么？
(4)汽车行驶了200 km时，油箱中还剩下多少汽油？行驶了320 km呢？
师生活动：教师引导学生用函数概念描述变化过程，并进行相互交流和点评．在此基础上给出函数解析式的概念：用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的对应关系，是描述函数的常用方法，这样的式子叫函数解析式，这种用解析式描述函数关系的方法叫解析式法．
设计意图：先让学生分析变化过程，判断y是x的函数；然后思考如何用含x的表达式表示y，进而写出表示变量之间关系的式子，并确定自变量的取值范围；在确定函数式后，求自变量确定后对应的函数值．通过这个过程，让学生体验函数模型的价值：根据部分对应值确定函数，把握变化规律，再根据规律确定新的自变量所对应的函数值．
例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用油的沸点温度(远高于100℃)，显然不能直接测量，于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s测量一次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
时间t/s 0 10 20 30
油温/℃ 10 25 40 55
他测量出把油烧沸腾所需要的时间是160 s，这样就可以确定该食用油的沸点温度．
他是怎样计算的呢？请按下面的问题进行思考．
(1)在这个测量过程中，锅中油的温度是加热时间t的函数吗？
(2)能写出 关于t的函数解析式吗？
(3)求这种食用油沸点的温度．
解：(1) 是t的函数；
(2)＝10＋1.5 t；
(3)当t＝160 s时，＝10＋1.5 t＝250(℃)．
追问1：这个问题中，我们是怎样间接测量出食用油沸点温度的？
师生活动：教师引导学生总结，当我们不能直接测量某些数据时，我们可以尝试研究该数据的变化规律，用函数知识解决问题．
追问2：这个问题中，你能发现可以用什么方式表示函数关系？
师生活动：教师引导学生总结，可以用列表方式和解析式表示，这种用自变量的值和函数值对应表格表示函数关系的方法叫列表法．
设计意图：介绍列表法表示函数关系，让学生再次体会函数模型的应用价值．
函数概念的发展历史
1.早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的.1673年，莱布尼兹首次使用“function” (函数)表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系.
2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数1718年约翰 贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示. 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”. 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰 贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰 贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义.
3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限. 1822年傅里叶(Fourier，法国，1768——1830)发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受.这就是人们常说的经典函数定义. 等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象.
4.现代函数概念──集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了. 1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元”.
设计意图:通过再现历史情境，使学生了解函数的发展与进步，是认识事物的必然选择，从而激发学生的学习兴趣.
（四）回顾小结，纳入知识体系
(1)什么叫函数？
(2)本课学习了哪些表示函数的方法？
(3)在实际问题中，函数自变量的取值范围往往是有限制的，怎样由实际问题确定抽象出的函数自变量的取值范围？
(五)布置作业
达标训练
1.下列图象中表示是的函数的有几个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3. 函数的自变量的取值范围是________.
4. 某自行车存车处星期天存车4000辆，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元．若普通车存车数为x，则存车总收入y（元）与x（辆）的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 .
5.求下列函数中自变量的取值范围．
⑴； ⑵； ⑶； ⑷.
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A. B. C. D.
综合应用
7.在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系:(假设都在弹性限度内)
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
(1)由表格知,弹簧原长为 cm,所挂物体每增加1 kg弹簧伸长 cm;
(2)请写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式;(不必写出自变量的取值范围)
(3)预测当所挂物体质量为10 kg时,弹簧长度是多少
(4)当弹簧长度为20 cm时,求所挂物体的质量.
8. “十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）直接写出剩余油量（升与行驶路程（千米）的关系式；当（千米）时，求剩余油量的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
一、教学内容解析
函数是描述运动变化现象的重要数学模型．数学模型是联系数学知识和现实问题的桥梁，只有通过解决实际问题，才能显示出数学模型的应用价值．在学习了函数概念后，用函数概念研究现实问题，既可以深化对函数概念的理解，又能让学生体会函数模型的应用价值，发展分析问题和解决问题的能力．严格地讲，函数有三个基本要素：定义域、值域和对应关系．考虑到初中阶段学生的认知水平，对值域不作要求；对定义域只要求会确定简单函数以及由简单实际问题抽象出的简单函数的自变量的取值范围；对应关系也不作强调，而是用“函数值可以由自变量的值唯一确定”来说明．
函数有三种基本表示方法：解析法、列表法和图象法，本课只涉及解析法和列表法，图象法在后继学习中进行．
综上所述，确定本节课的教学重点：用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围．
二、教学目标设置
1.了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系．
2.能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围．
3.会初步分析简单实际问题中的函数关系，讨论变量的变化情况．
重难点
1.了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系．
2.能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围．
目标1要求学生知道什么叫函数解析式，什么是解析法和列表法；会写出简单实际问题的函数解析式，并通过列表计算函数值，知道列表也是表示函数关系的一种方法．
目标2要求学生在写出函数解析式后，会根据问题的实际意义确定自变量的取值范围．
目标3要求根据解析式或表格，已知自变量的值会求函数值，并初步分析随着自变量的值的增大，函数值是怎样变化的．
三、学情分析
通过第1节课的学习，学生初步能确定运动变化过程中的变量，知道什么是函数．在前面的学习中，学生知道，对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的函数值与之对应．但函数的自变量取值往往是有范围限制的，超出了一定的范围，函数就没有意义了，这在教学中还没有涉及．另外，函数概念有什么作用？怎么用函数解决实际问题？学生也不知道．面对一个具体的运动变化现象，怎样用函数概念进行描述和研究，学生没有见过，这是学习的难点．
四、教学策略分析
1.基于本课重难点，依据知识发展的过程和学生的认知规律，本课时设计了三个层次帮助学生逐步抽象概括出函数的概念.
⑴问题1和问题2让学生感受到在实际问题中，自变量的取值范围往往是有限制的，提出函数自变量的取值范围问题．
⑵例1用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的对应关系，是描述函数的常用方法，这样的式子叫函数解析式.
⑶例2介绍列表法表示函数关系，让学生再次体会函数模型的应用价值．
纠正了“能解析式表达的才是函数”，函数也可以用列表来表达，后面还要学习用图象来表示.
2.本节课采用复习提问、讨论交流、例题讲解、课后拓展.自主学习与合作学习，通过学习共同体对学生学习产生推动作用，在辨析中质疑、在交流中碰撞，实现师生智慧互激、共同发展.把课堂交给学生，不同认知基础的学生通过合理分组、明确分工、难度适中且可操作性的数学活动，都有学习机会和提升空间.
五、教学过程设计
（一）复习概念，提出问题
问题1 什么叫函数？请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t(单位：h)，行驶的路程为s(单位；km)；
(2)多边形的边数为n，内角和的度数为y．
师生活动：学生回顾函数的概念，列出函数式，教师板书．
追问：函数的定义：“某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x每取一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．”问题1(1)中，t取-2有实际意义吗？问题1(2)中，n取2有意义吗？
设计意图：在回顾知识、概念辨别中创设认知冲突，让学生感受到在实际问题中，自变量的取值范围往往是有限制的，提出函数自变量的取值范围问题．
（二）讨论交流，形成新知
师生活动：教师引导，以上例子说明，在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
问题2 你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？
(1)等腰三角形的周长为12，底边长为x，腰长为y，y随着x的变化而变化；
(2)把边长为10 cm的正方形纸板的4个角都截去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积V(单位：cm3)随x(单位：cm)的变化而变化．
师生活动：学生独立写出函数式和相应的自变量取值范围，教师引导学生并进行点评．重点关注确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．
设计意图：通过练习让学生初步学习如何确定自变量的取值范围．
（三）应用新知，解决问题
例1 一辆汽车油箱中现有汽油50 L，它在高速公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变．行驶了100 km时，油箱中剩下汽油40 L．假设油箱中剩下的油量为y(单位：L),已行驶的里程为x(单位：km)．
(1)在这个变化过程中，y是x的函数吗？
(2)能写出表示y与x的函数关系的式子吗？
(3)这个变化过程中，自变量x的取值范围是什么？
(4)汽车行驶了200 km时，油箱中还剩下多少汽油？行驶了320 km呢？
师生活动：教师引导学生用函数概念描述变化过程，并进行相互交流和点评．在此基础上给出函数解析式的概念：用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的对应关系，是描述函数的常用方法，这样的式子叫函数解析式，这种用解析式描述函数关系的方法叫解析式法．
设计意图：先让学生分析变化过程，判断y是x的函数；然后思考如何用含x的表达式表示y，进而写出表示变量之间关系的式子，并确定自变量的取值范围；在确定函数式后，求自变量确定后对应的函数值．通过这个过程，让学生体验函数模型的价值：根据部分对应值确定函数，把握变化规律，再根据规律确定新的自变量所对应的函数值．
例2 小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用油的沸点温度(远高于100℃)，显然不能直接测量，于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s测量一次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
时间t/s 0 10 20 30
油温/℃ 10 25 40 55
他测量出把油烧沸腾所需要的时间是160 s，这样就可以确定该食用油的沸点温度．
他是怎样计算的呢？请按下面的问题进行思考．
(1)在这个测量过程中，锅中油的温度是加热时间t的函数吗？
(2)能写出 关于t的函数解析式吗？
(3)求这种食用油沸点的温度．
解：(1) 是t的函数；
(2)＝10＋1.5 t；
(3)当t＝160 s时，＝10＋1.5 t＝250(℃)．
追问1：这个问题中，我们是怎样间接测量出食用油沸点温度的？
师生活动：教师引导学生总结，当我们不能直接测量某些数据时，我们可以尝试研究该数据的变化规律，用函数知识解决问题．
追问2：这个问题中，你能发现可以用什么方式表示函数关系？
师生活动：教师引导学生总结，可以用列表方式和解析式表示，这种用自变量的值和函数值对应表格表示函数关系的方法叫列表法．
设计意图：介绍列表法表示函数关系，让学生再次体会函数模型的应用价值．
函数概念的发展历史
1.早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的.1673年，莱布尼兹首次使用“function” (函数)表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系.
2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数1718年约翰 贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示. 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”. 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰 贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰 贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义.
3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限. 1822年傅里叶(Fourier，法国，1768——1830)发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受.这就是人们常说的经典函数定义. 等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象.
4.现代函数概念──集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了. 1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元”.
设计意图:通过再现历史情境，使学生了解函数的发展与进步，是认识事物的必然选择，从而激发学生的学习兴趣.
（四）回顾小结，纳入知识体系
(1)什么叫函数？
(2)本课学习了哪些表示函数的方法？
(3)在实际问题中，函数自变量的取值范围往往是有限制的，怎样由实际问题确定抽象出的函数自变量的取值范围？
(五)布置作业
达标训练
1.下列图象中表示是的函数的有几个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3. 函数的自变量的取值范围是________.
4. 某自行车存车处星期天存车4000辆，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通车存车费是每辆一次0.20元．若普通车存车数为x，则存车总收入y（元）与x（辆）的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 .
5.求下列函数中自变量的取值范围．
⑴； ⑵； ⑶； ⑷.
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A. B. C. D.
综合应用
7.在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系:(假设都在弹性限度内)
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
(1)由表格知,弹簧原长为 cm,所挂物体每增加1 kg弹簧伸长 cm;
(2)请写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式;(不必写出自变量的取值范围)
(3)预测当所挂物体质量为10 kg时,弹簧长度是多少
(4)当弹簧长度为20 cm时,求所挂物体的质量.
8. “十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）直接写出剩余油量（升与行驶路程（千米）的关系式；当（千米）时，求剩余油量的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．