初中数学人教版八年级下册23.2 正比例函数 教学设计

正比例函数
一、教学内容解析
一次函数是最简单的函数模型之一，正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积.
小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数三用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型.正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y=kx（k是常数）的函数叫正比例函数.概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念.这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到.
基于以上分析，确定本课的教学重点：正比例函数的概念.
二、教学目标设置
1．目标
(1)理解正比例函数的概念；
(2)经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力．
重难点
(1)理解正比例函数的概念；
(2)经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力．
2．目标解析
⑴目标⑴要求知道正比例函数的解析式特征，知道正比例函数与正比例的关系，会判断一个函数是否为正比例函数.
⑵目标⑵要求能独立地写出运动变化过程中的函数解析式，通过归纳一类函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念.
三、学情分析
1.正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后的第一种具体函数模型，对于学生知识水平来说，他们能够判断两个变量是否存在函数关系.在得出正比例函数概念时，需要观察函数解析式，归纳其共同特点，得到正比例函数的概念.学生在进行这种归纳推理时会遇到一定的困难.
2.学生在小学学过成正比例的两个量，通过列表探索过程成正比例关系的两个量之间的关系，知道两个量成正比例关系的条件是它们的比始终是一个固定不变的量（常量）..初中阶段，在学习了函数概念后，用函数的观点研究正比例关系，把成正比例的两个量纳入到函数概念体系，写出其函数解析式，从本内容学习中获得学习具体一类函数的经验，对学生来说有较大的难度.需要教师的概括性指导，并在今后学习中一以贯之.
基于以上分析，确定本课的教学难点：理解正比例函数的概念，体会具体函数模型研究的一般方法.
四、教学策略分析
探索正比例函数的概念会涉及到小学学过的正比例，通过列一些两个变量的关系，观察其共同特点，归纳出正比例函数的概念.
教学方法：观察法、类比法、探索归纳、启发式讲练结合.
五、教学过程设计
(一)情境引入，初步感知
引言：上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法，从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数——一次函数，本节课先研究特殊的一次函数——正比例函数.
设计意图：让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想。
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1 100km的南京南站？
师生活动:教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间”．
对问题（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度300km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内？
设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明.
对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题：
追问1　这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由。
追问2 请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？
设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究兴趣．对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程.
追问3 对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？
师生活动: 追问2学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问3分小组分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，然后全班交流．
对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经过了南京南站的？
师生活动:教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量t=2.5时的函数值，得出列车出发2.5小时的行程，再与两站的实际距离比较，对实际问题的作出解答．
设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数.
二、类比思考，概括共性
问题2　思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长l随半径的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．
师生活动：学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式．
追问：这些函数解析式有哪些共同特征？
师生活动：引导学生类比问题1的分析方法，对4个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流．
设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力. 通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备.
(三)归纳抽象，建立概念
问题3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的一般形式？一般形式中各字母的意义是什么？
师生活动：教师引导学生归纳出这些函数的一般形式，即都可以写成（是常数，≠0）的形式．
追问1：函数（是常数，≠0）中，对于自变量和函数的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明这两个变量之间有怎样的关系？
追问2：如果给这样的函数取一个名称，你觉得应该叫什么函数比较合适？
师生活动：师生共同归纳出正比例函数的概念．
一般地，形如（是常数，≠0）的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
设计意图：让学生根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质属性的能力．知道一般形式中各字母的意义．知道自变量系数的限制条件为≠0.
中国古代数学中的正比例
在我国，比例的概念在先秦已出现.《算数书》中有关比例的算题要占到所有算题的一半，涉及到的知识有正比例、反比例、配比例、连比例、复比例.可见，现代数学的比例类型已经全部包含在内.《墨子·杂守》中有一道题就是比例的复杂运算问题，得出的连比例是36:24：18：14又4/10：12=5:3又1/3：2又1/2：2:1又2/3.《九章算术》的“粟米”“衰分”“均输”各章中，也记载有各种形式的比例问题，已经形成了比较完整的体系.
设计意图:通过再现历史情境，使学生了解中国古代数学中的正比例函，从而激发学生的学习兴趣.
(四)辨析应用　深化认知
问题4 （1）请你举出几个y是x的正比例函数的解析式；
（2）完成教科书第87页练习1，补充问题：如果是，请指出比例系数是多少？
（3）完成教科书第87页练习2．
师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价．
设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数.
(五)反思小结
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）正比例函数概念中对比例系数k有怎样的限制条件？
（3）学习正比例函数的概念经历了怎样的过程？
(六)布置作业
达标训练
1.下列函数中，是的正比例函数的是　　
A． B． C． D．
2. 函数是正比例函数，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C． D．2
3. 已知y与x成正比例，如果时，，那么时，_____．
4. 已知一次函数是正比例函数，那么_____________.
5. 列式表示下列问题中的与的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
(1)正方形的边长为cm，周长为y cm；
(2)某人一年内的月平均收入为元，他这年(12个月)的总收入为y元；
(3)一个长方体的长为2 cm，宽为1.5 cm，高为 cm，体积为y cm ．
6.已知与成正比例函数，当时，．求：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求当时的函数值.
综合应用
7.已知与成正比例函数关系，且当时，．
（1）写出与之间的函数解析式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值；
（3）若的取值范围为，求的取值范围．