2026年人教版中考数学二轮复习：一元二次方程（含答案）

2026年中考数学二轮复习之一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2026 遂宁一模）设a，b是方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+b2的值为（　　）
A．4050 B．4054 C．﹣4054 D．﹣4046
2．（2026 泸县校级一模）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x+2＝0 B．x+y2＝﹣2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．x2＝7x
3．（2026 西安一模）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2026＝0的根，则a+b的值为（　　）
A．﹣2026 B．﹣2025 C．2026 D．2025
4．（2026 柳州一模）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2
5．（2026 柳州一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．144（1﹣x）2＝121 B．144（1+x）3＝121
C．144（1﹣2x）2＝121 D．144（1+2x）＝121
6．（2025秋 扬州期末）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定
7．（2026 遂宁一模）如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出2×3个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（　　）
A．x（x+9）＝190 B．x（x﹣8）＝190
C．（x+9）（x﹣9）＝190 D．x（x﹣9）＝190
8．（2026 遂宁一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　）
A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022
9．（2026 遂宁一模）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2026 遂宁一模）若方程（a﹣1）x|a|+1﹣x+2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 东城区期末）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ．
12．（2026 周至县一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为x，根据题意可列方程为　 　 ．
13．（2026 海沧区校级一模）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是 　 　 （写出一个符合条件的值即可）．
14．（2025 金凤区校级三模）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣9a+3b的值为 　 　 ．
15．（2025 西双版纳一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 黄石一模）已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）是否存在m的值，使得x1+x2﹣x1x2＝3，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
17．（2026 柳州一模）解方程．
（1）x2﹣3＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
18．（2026 西安校级一模）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的边AB的长．
19．（2026 泸县校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2﹣3x1x2＝9，求m的值．
20．（2025 嘉峪关校级二模）某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数y＝﹣10x+400．这种商品每周的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？
2026年中考数学二轮复习之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 遂宁一模）设a，b是方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+b2的值为（　　）
A．4050 B．4054 C．﹣4054 D．﹣4046
根与系数的关系．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
根据根与系数的关系得到a+b＝2，ab＝﹣2025，整体代入法求值即可．
【解答】解：由条件可知a+b＝2，ab＝﹣2025，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣2025）＝4054，
故选：B．
本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2026 泸县校级一模）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x+2＝0 B．x+y2＝﹣2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．x2＝7x
一元二次方程的定义．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A、3x+2＝0的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、x+y2＝﹣2有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、未知数的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、x2＝7x是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D．
本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握该知识点是关键．
3．（2026 西安一模）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2026＝0的根，则a+b的值为（　　）
A．﹣2026 B．﹣2025 C．2026 D．2025
一元二次方程的解．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
将x＝﹣1代入方程，即可求解．
【解答】解：由条件可知a+b﹣2026＝0，
∴a+b＝2026，
故选：C．
本题考查了一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入方程是解题的关键．
4．（2026 柳州一模）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2
一元二次方程的解．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：由条件可得1﹣3+m＝0，
即m＝2．
故选：D．
本题主要考查了方程的解的定义，熟练掌握该知识点是关键．
5．（2026 柳州一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．144（1﹣x）2＝121 B．144（1+x）3＝121
C．144（1﹣2x）2＝121 D．144（1+2x）＝121
由实际问题抽象出一元二次方程．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
每次降价后的价格是降价前价格的（1﹣x）倍，两次降价后为原价乘以（1﹣x）的平方，进而可列方程．
【解答】解：根据题意，第二次降价后售价为121元，
∴列方程为144（1﹣x）2＝121．
故选：A．
本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，理解连续两次降价的关系是关键．
6．（2025秋 扬州期末）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
根的判别式．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
把a＝2，b＝﹣3，c＝1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键．
7．（2026 遂宁一模）如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出2×3个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（　　）
A．x（x+9）＝190 B．x（x﹣8）＝190
C．（x+9）（x﹣9）＝190 D．x（x﹣9）＝190
由实际问题抽象出一元二次方程．
一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
由题意可知最小数为x﹣9，然后可列出方程进行求解．
【解答】解：由题意知，最小数为（x﹣7）﹣2＝x﹣9，则由“最小数与最大数x的积为190”得到：x（x﹣9）＝190．
故选：D．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意．
8．（2026 遂宁一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　）
A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022
一元二次方程的解．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
先将方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据x＝2024，从而进行计算即可解答．
【解答】解：a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2，
整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，
设x﹣2＝m，
∴am2+bm+2＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024，
∴x﹣2＝2024，
解得x＝2026，
∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一根为2026，
故选：A．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行是进行计算是解题的关键．
9．（2026 遂宁一模）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
根的判别式．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
设“□”表示的数为a，根据题意得出Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0，求解即可得到答案．
【解答】解：设“□”表示的数为a，
∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0，
解得：a≤4，
∴“□”的值可能为4，
故选：A．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根．
10．（2026 遂宁一模）若方程（a﹣1）x|a|+1﹣x+2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定
一元二次方程的定义；绝对值．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
根据一元二次方程的定义得出|a|+1＝2且a﹣1≠0，由此求出a的值即可．
【解答】解：若方程（a﹣1）x|a|+1﹣x+2＝0是关于x的一元二次方程，
则|a|+1＝2，
解得a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025秋 东城区期末）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ．
一元二次方程的解．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2026 周至县一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为x，根据题意可列方程为　1000（1+x）2＝1690　 ．
由实际问题抽象出一元二次方程．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1000（1+x）2＝1690．
从7月到9月销量增长两个月，根据月平均增长率公式列出一元二次方程．
【解答】解：根据题意可得：1000（1+x）2＝1690，
故答案为1000（1+x）2＝1690．
本题考查了一元二次方程的应用．根据题意找出等量关系是解题的关键．
13．（2026 海沧区校级一模）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是 　2（答案不唯一）　 （写出一个符合条件的值即可）．
根的判别式．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2（答案不唯一）．
根据关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，判断出Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故m可以取2，
故答案为：2（答案不唯一）．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程没有实数根它的判别式小于零是解决问题的关键．
14．（2025 金凤区校级三模）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣9a+3b的值为 　2019　 ．
一元二次方程的解．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2019
把x＝3代入方程求出3a﹣b＝2的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，
则原式＝2025﹣（9a﹣3b）＝2025﹣6＝2019，
故答案为：2019．
此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．（2025 西双版纳一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是c＜4　 ．
根的判别式．
一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】c＜4．
根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式Δ＞0即可求解．
【解答】解：由题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＞0，
解得：c＜4，
故答案为：c＜4．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 黄石一模）已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）是否存在m的值，使得x1+x2﹣x1x2＝3，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
根的判别式；根与系数的关系．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m≤1；
（2）存在，m＝﹣1．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝m，再由x1+x2﹣x1x2＝3，可得关于m的方程，即可．
【解答】解：（1）由条件可知Δ≥0，
∴（﹣2）2﹣4m≥0，
∴m≤1；
（2）存在．理由如下：
由条件可知x1+x2＝2，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝3，
∴2﹣m＝3，
解得m＝﹣1，
∵m≤1，
∴m＝﹣1．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
17．（2026 柳州一模）解方程．
（1）x2﹣3＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1），；
（2）x1＝5，x2＝﹣1．
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣3＝0，
x2＝3，
，
，；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1．
本题考查了解一元二次方程，实数的运算，关键是掌握一元二次方程的因式分解法和直接开平方法是解题的关键．
18．（2026 西安校级一模）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的边AB的长．
一元二次方程的应用．
一元二次方程及应用．
【答案】此时花圃的边AB的长为5米．
设花圃的边AB的长为r米，结合花圃的面积刚好为60平方米，得r（27﹣3r）＝60，解得r＝4或r＝5，即可作答．
【解答】解：设花圃的边AB的长为r米，
依题意，得BC＝25+1+1﹣3r＝27﹣3r，
∵花圃的面积刚好为60平方米，
∴r（27﹣3r）＝60，
解得r＝4或r＝5，
当r＝4时，则BC＝27﹣3×4＝15＞14（舍去）；
当r＝5时，则BC＝27﹣3×5＝12＜14，
∴此时花圃的边AB的长为5米．
本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，理解题意并列出式子是解题的关键．
19．（2026 泸县校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2﹣3x1x2＝9，求m的值．
根的判别式；根与系数的关系．
一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）m＝﹣2．
（1）只需要证明Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣1）＞0即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1，再根据x1+x2﹣3x1x2＝9建立方程（m+2）﹣3（m﹣1）＝9，解方程即可得到答案．
【解答】（1）证明：已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0，
∴Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣4m+4
＝m2+8，
∵m2≥0，
∴m2+8＞0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1，
∵x1+x2﹣3x1x2＝9，
∴（m+2）﹣3（m﹣1）＝9，
∴m＝﹣2．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握各知识点是解题的关键．
20．（2025 嘉峪关校级二模）某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数y＝﹣10x+400．这种商品每周的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；二次函数的应用．
一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）w＝﹣10x2+500x﹣4000；
（2）200．
（1）根据销售量、售价与销售利润之间的数量关系列出函数关系式即可求解；
（2）根据销售利润为2000元为等量关系列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000；
（2）根据题意得﹣10x2+500x﹣4000＝2000，
解得x1＝20，x2＝30，
由y＝﹣10x+400≥180，解得x≤22．
∴x＝20，当x＝20时，y＝﹣10×20+400＝200．
答：该商品每周的销售量是200件．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，明确题意，根据数量关系列出函数关系式及根据等量关系列出方程是解题的关键．