初中数学人教版八年级下册23.2 正比例函数 教学设计

正比例函数
一、教学内容解析
本节课是在学习了正比例函数的概念后，研究其图象及性质．
描点法是画陌生函数图象的通法，在用描点法画函数图象过程中，体现着函数的解析式法、列表法与图象法的联系．
在确认正比例函数图象为一条直线后，可以根据两点确定一条直线而得到的简单画法——两点法．因为正比例函数经过(0，0)和(1，k)，所以可以经过这两点画直线得到正比例函数的图象，当然也可以经过原点和图象上的任意一点画直线得到正比例函数图象，这恰好与由一对对应值确定一个正比例函数的事实相吻合．
正比例函数的图象及性质主要研究的是图象的形状、位置与增减性．在正比例函数的图象及其性质研究中，蕴涵了数形结合思想、分类讨论思想和观察、表征、归纳等数学认知活动．因此，本课的教学重点是用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．
二、教学目标设置
1．目标
(1)会画正比例函数的图象．
(2)能根据正比例函数的图象和表达式y＝kx(k≠0)理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性．
(3)通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观．
重难点
(1)会画正比例函数的图象．
(2)能根据正比例函数的图象和表达式y＝kx(k≠0)理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性．
2．目标解析
(1)面对一个陌生的初等函数，画图观察和归纳是认识函数性质的基本方法．在观察了用描点法画出的正比例函数图象后，发现它是一条直线，再根据两点确定一条直线获得正比例函数图象的两点法画图，两点法画正比例函数的图象是适合于正比例函数的简单画法．要求学生能熟练应用两点法画出一个具体的正比例函数的图象．
(2)结合图象理解正比例函数图象在k＞0和k＜0时的图象特征与性质，具体表现为：①针对具体的正比例函数，能画出(并想象出)图象，正确理解函数图象所经过的象限与增减性；②k的符号变化是导致函数图象(直线)所经过的象限与增减性变化的唯一因素．
(3)体会数形结合思想，要求学生感受到“以形表示数，以数解释形”，这种用坐标法建立数和形联系是数形结合的重要方法；发展数学感知能力，要求学生能通过图象的直观观察发现其特征；发展数学表征能力，要求学生会用图象描述关系，用变量解释图形特征；发展数学概括能力，要求学生能在教师的引导下自己概括出正比例函数的图象性质．
三、学情分析
学生通过函数的概念、函数的表示法的学习，初步体会了函数研究方法，通过函数图象的学习，知道了用描点法可以直观地表示一个函数，从而进一步探究变量的变化规律和变化趋势．正比例函数图象的位置与增减性都只受到一个系数k的影响．把图象特征解析为变量之间的对应关系和变化情况，需要观察图象，以图象上的点的运动为切入点，以对图象上点的坐标之间的对应关系和变化规律解释为中介，最终解释为变量的对应关系和变化情况，而研究正比例函数的变化过程和变化情况，需要两次概括，第一次概括是在k为具体数值时，随着自变量的值的增大，函数值如何变化；第二次概括是当k的正负号变化时，对应函数的增减性如何变化．这两次概括过程需要较强的数学概括能力，学生会遇到较大困难．
综上所述，本课的难点是：对函数图象及其变化的变量意义的解释．
四、教学策略分析
为了让学生更直观地理解正比例函数的图象及性质与系数k的关系，可以利用几何画板制作动画，展示当k固定时，函数值是怎样随着自变量的增大而变化的；当k的值变化时，是怎样影响函数的增减性的，帮助学生理解比例系数k与函数图象性质之间的关系．
画函数图象，研究其性质，同时，正比例函数的研究步骤和方法，适用于一次函数、二次函数和反比例函数等后继学习的函数模型.从本内容学习中获得学习具体一类函数的经验，对学生来说有较大的难度.需要教师的概括性指导，并在今后学习中一以贯之.
本课的教学方法：探索归纳、启发式讲练结合.
五、教学过程设计
(一)回顾旧知，提出问题
问题1　上节课，我们学习了正比例函数，那么什么是正比例函数？你能写两个具体的正比例函数吗？
师生活动：学生写出两个正比例函数解析式(同桌互相检验)，教师也在黑板上写，如
y＝2x，y＝，让学生判断．
设计意图：回顾正比例函数概念,并为画正比例函数的图象提供具体函数(最好与教科书中的函数不同)．
问题2　正比例函数有怎样的性质呢？我们可以通过画函数图象更直观地来得出函数所具有的性质呢？
师生活动：教师引导学生说出画函数图象的方法(描点法)．
设计意图：引导学生回顾画函数图象的一般方法(描点法)．
(二)合作交流，探究性质
1．画图观察，研究正比例函数图象形状．
问题3　让我们从具体正比例函数y＝2x的性质研究开始，先要画函数的图象，怎样画？
师生活动：在学生说出画图象的步骤(列表、描点、连线)后，先让学生独立画图，最后教师在黑板上画图．
设计意图：让学生复习描点法画函数图象的步骤、方法．
问题4　对所画的函数图象，你有哪些直观的感觉，请说说．
师生活动：学生作答，教师给予评价，引导．
设计意图：给出一个开放性问题，为引出函数图象特征与性质作铺垫．
问题5　用描点法画出正比例函数y＝的图象，它的图象与y＝2x的图象有什么相同点？
设计意图：增加相似性样例，进行样例类比，为归纳k＞0时的图象性质作铺垫．
追问1：对一般正比例函数y＝kx，当k＞0时，它的图象形状是什么？位置怎样？
师生活动：教师用几何画板动态演示k＞0时正比例函数的图象形状位置(如图1)．教师引导学生说出这些直线都经过原点和第一、三第象限．
设计意图：探究得出正比例函数图象在k＞0时是一条直线，感受从“特殊”到“一般”的思考过程，体验数形结合的思想．
图1
追问2：在k＞0的情况下，图象是左低右高还是左高右低？对应地，当自变量的值增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？
师生活动：教师利用几何何画板动态演示，如图1，当k＞0时，图象上一点从左往右移动时，对应的x在不断地增大，y也不断地增大，进而可引导学生得出结论当k＞0时，函数y＝kx的图象是经过第一、第三象限的一条直线，从左往右上升，即y随x的增大而增大．
设计意图：通过动画演示，帮助学生理解当k＞0时函数的增减性．
问题6　当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象特征及性质又怎样呢？请各小组画出函数y＝－3x和y＝－1.5x的图象，进行小组合作研究．
师生活动：教师引导学生通过画图象，再用几何画板动态演示k＜0时正比例函数的图象形状位置，让学生独立研究正比例函数y＝kx(k＜0)的图象和性质．
设计意图：引导学生类比k＞0的情况，独立研究当k＜0时正比例函数y＝kx的图象和性质．
问题7　我们知道，正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们也知道，两点确定一条直线．现在，我们有画正比例函数图象的简便画法了吗？
师生活动：教师引导学生思考得到，过原点和(1，k)画直线即可，也可以过原点和另外一点画直线．
设计意图：总结用两点法画正比例函数的图象，让学生理解这种简便画法的合理性．
(三)初步应用，巩固知识
1．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1)y＝； (2)y＝－3x．
2．在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx(k＜0)的图象的大致位置只可能是( )．
A． B． C． D．
3．对于正比例函数y＝kx，当x增大时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( )．
A．k＜0 B．k≤0 C．k＞0 D．k≥0
师生活动：学生独立完成练习并进行相互交流评价．
设计意图：及时巩固正比例函数的图象和性质．
(四)综合应用，深化理解
四个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象如图2．
图2
(1)比较k1，k2的大小；
(2)比较k3，k4的大小；
(3)比较k1，k2，k3，k4的大小．
设计意图：帮助学生理解k值的变化对正比例函数图象性质的影响．
(四)回顾总结，分享收获
教师提出下列问题帮助学生回顾课堂收获，通过相互交流分享观点；
1．本节课，我们研究了什么，得到了哪些成果？
2．正比例函数的图象及性质怎样？
3．我们是怎样进行研究的？
4．正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？
师生活动：教师在学生交流的基础上概括：研究正比例函数，通过“画图象，看图象，想性质”的步骤成功地发现了正比例函数的性质．在探究性质的过程中，“以形表示数，以数解释形”的思想得到成功运用，这种探究函数性质的步骤和数形结合的思想，在今后其它函数的学习中仍然很有用．
设计意图：让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过交流互相分享、互相启发．教师通过概括性引导提升学生对正比例函数性质的认识，概括研究函数的一般方法．
(五)布置作业
达标训练
1. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象的大体位置是　　
A． B. C. D.
2. 已知函数y=（m+1） 是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　）
3.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①②③，将，，从小到大排列为　　
A． B． C． D．
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
3. 若正比例函数，若图象经过第一，三象限，则　　.
4. 在正比例函数中，若 随x的增大而减小，则　　
5.已知直线经过点、，当时，有，则m的取值范围是______．
6. 在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象.
（1） （2）（3） （4）．
综合应用
7. 定义运算“※”为：※
（1）计算：3※4；
（2）画出函数※的图象．
8. 已知与成正比例函数关系，且当时，．
（1）写出与之间的函数解析式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值；
（3）若的取值范围为，求的取值范围．