20.4 一次函数的应用 教学设计 初中数学冀教版（2024）八年级下册

一次函数的应用
一、教学内容解析
内容解析：
本课是在学习了函数概念，一次函数有关知识后，通过学生熟悉的宽带上网收费方式的选择让学生体会费用随时间的变化关系是一次函数的关系，确定实际数据整理成函数模型，即建立数学模型，从而利用函数图象求数学模型的解，实现利用数学知识解决实际问题的方法，明确给出多种方案，选择最佳方案.
教学重难点：应用一次函数模型解决选择方案问题.
二、教学目标设置
1.目标：
（1）会用一次函数知识解决选择方案问题，体会函数模型思想；
（2）能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；
（3）能进行解决问题过程的反思，解决总结问题的方法.
2.目标解析
（1）要求根据问题情境建立一次函数模型，用一次函数的图象和性质解决问题，从而感受到函数模型的应用价值.
（2）要求能从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系既可以用函数的图象表示，也可以用方程和不等式表示，构建不同的模型，用不同的方法解决问题.
三、学情分析
学生以前习惯于用方程和不等式来解决问题，遇到本节课的“问题”时，必然会首先想到方程和不等式，如何引导学生想到还可以利用“函数”来解决问题，并逐渐地形成习惯，这必然会成为近一段时间的教学难点.以前学生也有通过画图或列表来理解题意的经验，但那只是在理解题意阶段，在解决问题的核心部分，如何将“图形”的特征和实际问题结合在一起，并利用图象来解决问题，对于八年级的学生来说依然是个难题.此外，班级部分学生基础较弱，因此，设置的问题难度不能太大，同时也应该给学生留出足够的时间让他们去思考去交流讨论.
四、教学策略分析
八年级学生已经学会了用方程和不等式来解决生活中的简单实际问题，但是综合应用知识的能力有待于加强.特别是本节内容具有较强实际背景，分析实际背景中所包含的变量及对应关系较复杂，分析起来显得理不清头绪，易迷失解决问题的方向，时间一长就不愿意去尝试了，在这方面要给他们创造机会，降低问题的坡度，使他们比较容易获得成功，体验成功的乐趣，激发学习的兴趣.本课是学生熟悉的宽带上网收费方式的选择问题，如何选择，用什么方式选择很重要，特别是是如何从数学的角度去分析。从实际生活情景和简单问题中引导学生自主探索、合作交流来探索发现一元一次不等式与一元一次方程，一次函数的内在联系，鼓励学生运用新思维，既从“形”的角度解决旧知，增强学生数形结合的意识.
教学难点：分析实际问题背景中所包含的变量与对应关系建立函数
模型,解决实际问题,从而使选择方案优化.
五、教学过程设计
(一)情景引入
为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的生活费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的。若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y（元），则y（元）和x（小时）之间的函数图象如图所示。 问题：根据图象你能得到哪些信息？
设计意图:由一次函数图象入手，通过设置符合学生现实的问题，让学生经历观察思考，发现问题，得到结论等思维过程，由活动开始找准学生思维的起点，唤醒学生的思维，激发学生学习的兴趣。学生从不同的角度思考问题，激发学生的深度思考
(二)自主学习、合作探究
下表给出了A、B、C三种上宽带网的收费方式.
收费方式 月使用费∕元 包时上网时间∕h 超时费∕(元∕min)
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
选取哪种方式能节省上网费？
根据问题中的内容，思考下列问题：
问题1：选择哪种方式上网的依据是什么？哪种方式上网费用是会变化的？哪种方式上网费用不变？
师生活动：学生独立思考解决问题。
设计意图：以学生为主体，关注学生独立活动所能达到的解决问题水平，学生可能发展水平，教学以寻找节省上网费的最佳方案为核心，让学生明确问题的目标。
问题2：方式C上网费是多少钱？方式A，B中上网费由哪几部分组成？你能用适当的方法表示出方式A,B的上网费用吗？设上网时间为xh，A,B,C三种方式的收费y1,y2,y3各怎样表示？（注意考虑自变量x的取值范围）
师生活动：学生思考后，小组合作交流得出结论，教师适当引导评价。
设计意图：让学生感知问题的整体结构和数量关系，感知上网费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究对象，教师引导学生最终把问题转化为一次函数问题。
问题3：你能把上面的问题描述为函数问题吗？
师生活动：学生讨论后建立函数模型，把实际问题转化成函数问题.
设计意图：让学生在感知问题，分析问题的基础上建立一次函数模型，把实际问题转化成一次函数问题.
问题4:用什么方法比较y1,y2,y3的大小？
师生活动：学生独立思考，有的学生会提出用方程或不等式来解决，但分组讨论后学生会发现用方程或不等式解决比较麻烦，此时教师可以引导学生用函数图象来分析问题。
设计意图：上述分段函数问题，需要在画出函数图象观察图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生感受函数图像与方程，不等式数形结合的方法。让学生经历寻找最佳方案的过程，学生学寻找方法、学研究问题的一般方法，学感受的数学知识，方法间存在的本质联系，推动学生的思维发展，学会从多角度思考问题.
归纳：数学建模的基本步骤：
（1）阅读理解，审清题意.
（2）简化问题，建立数学模型.
（3）用数学方法解决数学问题.
（4）根据实际情况检验数学结果.
设计意图：提高学生反思过程的针对性，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义.
(三)应用新知,解决问题
问题：A、B两个商场平时以同样价格出售相同的商品，在五一期间让利酬宾。A商场所有商品8折出售，B商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写 出y关于x 的函数解析式;
（2）五一期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
设计意图：解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为问题的教学模型。学生利用数形结合的思想解决问题，学会从知识到方法的迁移，发展了学生的创造性思维.
(四)小结：师生共同总结“方案选择”问题的解题思路
实际问题 抽象概括 函数模型
实际问题的解 还原说明 函数模型的解
设计意图：提高学生反思过程的针对性，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义.
(五)布置作业
达标训练
1.如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系；l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．根据图象判断，该公司盈利时，销售量（ ）
A．小于12件 B．等于12件 C．大于12件 D．不低于12件
2. 如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m），关于上升时间x（单位：min）的函数图象．有下列结论：
当x＝10时，两个探测气球位于同一高度 ②当x＞10时，乙气球位置高；
③当0≤x＜10时，甲气球位置高.其中，正确结论的个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3. 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象，下列说法：①买2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时选乙家的产品合算；
③买3件时选甲家的产品合算；④买1件时，售价约为3元．其中正确的说法是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③
4. 某通信公司提供了两种移动电话收费方式：
方式1：收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格计费：
方式2：收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．下列结论：①如图描述的是方式1的收费方法；②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；③若月通信费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；④若方式1比方式2的通信费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．其中正确结论的序号是 　 　．
5. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每幅球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品打九折销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽
毛球；在A城市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y1（元）．在B城市购买羽毛球拍和羽毛球的
费用为y2（元）：请解答下列问题：
（1）分别写出y1、y2与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只有一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
综合应用
6.甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元
/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，
其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/ kg.设小王在同一个批发店一次
购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg 30 50 150 …
甲批发店花费/元 　 　 300 　 　 …
乙批发店花费/元 　 　 350 　 　 …
（2）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为　 　kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的　 　批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的　 　批发店购买数量多．
设计意图：通过生活中的实际问题，让学生经历动手操作，观察思考，发现结论等思维过程，利用数学模型的思想方法解决实际问题.
课题19一次函数复习教学设计（第11课时）
一、教学内容解析
1.内容
本课的内容是人教版八年级下册第19章复习课，是对本章关于一次函数重点内容的复习
2.内容解析
本课是在学习完函数的概念及其表示法，学习了一次函数的有关知识后，进行的全章内容的回顾与复习活动，整理全章的知识结构，巩固用待定系数法求一次函数解析式，概括函数研究的思想方法：抽象的思想、模型的思想、对应的思想、数形结合的思想.
通过本课的学习使学生巩固一次函数图象的画法和一次函数的性质，并对一次函数进行拓展，是今后继续学习其它函数的基础，本章起着承上启下的作用.本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.
综上所述，本节课的教学重点是：
⑴巩固一次函数概念，图像及性质；
⑵掌握待定系数法求函数解析式；
⑶学会应用数形结合思想分析数学问题，解决数学问题.
二、教学目标设置
1.目标
1. 目标
⑴整理本章学习内容，建立相关知识之间的联系；
⑵能用待定系数法求一次函数的解析式；
⑶能用数形结合思想解决数学问题.
2.目标解析
目标⑴要求学生在复习巩固的过程中，进一步理解知识，促进认知结构的完善，进一步体验研究函数的基本思路.
目标⑵要求学生明确一次函数一般解析式y=k x +b(k、b为常数，k≠0)，会用待定系数法即根据已知条件列关于常数k、b的方程组，从而求解一次函数的解析式.
目标⑶要求学生感受到“以图表示数，以数解释形”，并在这种用图形表示数学对象的过程中发展数学直观能力，发展数学感知能力，要求学生能通过图象的直观观察发现其特征；发展数学表征能力，要求学生会用图像描述变量之间的对应关系，用变量的变化规律解释图形的特征.
三、学情分析
本节课主要是复习巩固一次函数的图象与性质，是在学完一次函数之后，并初步了解了如何研究一个具体函数的图象与性质的基础上进行的。原有知识与经验对本节课的学习有着积极的促进作用，在复习巩固的过程中，学生进一步理解知识，促进认知结构的完善，进一步体验研究函数的基本思路。
本章内容所讨论的对象是函数，函数的表示法之一是图象法，这种表示方法将数量关系直观化，形象化，从而可以数形结合的研究问题。本章多处涉及到数形结合的研究方法，发挥数与形两个方面共同研究问题，分析问题和解决问题的优势是必要且可能的.通过本章内容的学习，学生不仅要知道一次函数的基本知识，更要不断的体会函数图象的作用与数形结合的方法，为今后进一步的学习打下牢固的基础.
基于以上分析，本节课的教学难点是：如何应用数形结合思想分析解决数学问题.
四、教学策略分析
在这节课之前，我已经让全班同学拟定复习计划，很多同学在计划中都会提出自己的重点和难点.根据学生反馈的情况，在课堂上，通过向学生展示我对本单元的归纳，培养学生自己动脑，自己归纳总结的能力，从而掌握一种良好的复习方法.由于是复习课，我采用边将边练和问题教学的方式.
五、教学过程设计
（一）课前回顾一次函数概念，图象及性质
1.一次函数的概念：
一般地，形如为常数，)的函数，叫做是的一次函数.
特别的，当时，函数)叫做是的正比例函数.
2.一次函数图象与性质:
当k>0 时， 若b>0，则图象过 象限；
若b=0，则图象过 象限；
若b<0，则图象过 象限；
此时，一次函数y随x的增大而_________.
当k<0时， 若b>0，则图象过 象限；
若b=0，则图象过 象限；
若b<0，则图象过 象限；
此时，一次函数y随x的增大而_________.
3.课前小练习:
⑴下列函数中,哪些是一次函数
①；②；③；④
根据下列一次函数图象，在下面空格填上“>,=,<”
设计意图: 课前巩固学生对一次函数基础知识的掌握，便于复习课的高效，顺利进行.
（二）从实际问题看函数，回顾函数概念
例1.小聪上午8:00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中.小聪离家的路程s（km）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）小聪去超市途中的速度是多少？回家途中的速度是多少？
（2）小聪在超市逗留了多少时间？
（3）用恰当的方式表示路程s与时间t之间的关系。
（4）小聪在来去途中，离家1km处的时间是几时几分？
设计意图:通过实际问题，让学生体会函数源于生活实际.并让学生体会函数中变化与对应思想，函数模型思想.
（三）合作交流，巩固函数图象与性质
例2.已知一次函数,
（1）你会画这个函数的图象吗？
（2）当-1≤x<3时,你知道y的取值范围吗？
设计意图:通过画函数图象，提升对一次函数图象性质的认知.
例3、已知一次函数, 当-1≤x≤3时,有2≤y≤10，求该函数解析式.
设计意图:通过函数性质分析，提升对一次函数图象性质的认知.并巩固用待定系数法求解析式.
（四）综合运用，深化理解
例4.如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是______.
设计意图:引导学生体会函数中与的对应关系，并让学生体会在函数中用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次不等式之间的联系.
变式训练：直线经过，两点，则不等式的解集为 ．
设计意图:强化学生对函数中数形结合思想的理解及应用.
（五）小结
参考下列问题，回顾本节课所讲内容.通过交流，构建知识框架.
1.这节课你学到那些知识呢？
2.常用那些数学思想与方法研究函数？
设计意图:让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识与方法角度总结自己的收获，并通过交流与分享，相互启发。提升对一次函数知识的认识与整理.
（六）思维强化训练
例5.点在第一象限,且x + y=8,点A的坐标为（6,0）,设△OPA的面积为S.
（1）用含x的解析式表示S,写出x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为18时，求点P的坐标；
（3）当PA=PO时，求△OPA的面积.
设计意图:引导学生再次体会函数概念中的对应关系.并让学生体会用函数观点、数形结合思想解决数学问题.
例6.如图所示，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线，，相交，其中.则图中阴影部分的面积是（ ）
A.12.5 B.25 C. D.
设计意图:让学生体会数形结合思想在解决数学问题中的妙用，拓展学生的思维面.
例7.已知，为正实数，且满足一次函数的关系，求的最小值.
设计意图:让学生体会数形结合思想在解决数学问题中的妙用，拓展学生的思维面.
(七)布置作业
1、下列各坐标系中的曲线中，表示y 是x 的函数的是（　　）．
2.函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
3.关于的函数是一次函数，则m=____ .
4.已知与成正比例，且时，，那么与之间的函数关系式为______________.
5.如图，直线与轴交与点（1,0）与轴交于点（0，- 2），则的根为
（ )
A.x=-2 B.x=0 C. x=1 D. x=-1
6.已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 .
7.若一次函数的图象平行于y= -2x的图象且经过点（0，4）， 求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积.
8.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元的设计费；
乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费.
（1）什么情况下选择甲公司比较合算？
（2）什么情况下选择乙公司比较合算？
（3）什么情况下两家的收费相同？
9.如图(1) ，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿BC、CD、DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为x，△ABP的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 (2)，则△ABC 的面积是（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
10.一次函数y=ax+b经过点（1，2）、点（-1，6），求：
（1）这个一次函数的解析式；
（2）直线与两坐标轴围成的面积；
（3）如果正比例函数 与该一次函数的交点为P,求点P坐标和两直线与x轴围成的三角形面积；
（4）如果正比例函数与该一次函数和x轴围成的三角形面积为2，求正比例函数的解析式.