23.3 一次函数与方程、不等式 教学设计 初中数学人教版（2024）八年级下册

一次函数与方程、不等式
一、教学内容解析
内容解析
函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型.用函数的观点看方程（组）与不等式，学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通.本节课是在学完一次函数之后，对一次函数与方程，方程组，不等式的关系进行探究，学生在探究过程中进一步体验数形结合的思想方法和运动变化的观点，同时为高中利用二次函数解一元二次不等式的学习作铺垫.
二、教学目标设置
1.目标：
⑴理解一次函数与相应的一元一次方程、一元一次不等式之间的关系；理解一次函数与二元一次方程（组）的解之间的关系。
⑵会利用“数”和“形”相结合的方法处理一次函数与方程，不等式的问题。
重难点：
⑴理解一次函数与相应的一元一次方程、一元一次不等式之间的关系；理解一次函数与二元一次方程（组）的解之间的关系。
⑵会利用“数”和“形”相结合的方法处理一次函数与方程，不等式的问题。
2.目标解析：
⑴达成目标⑴的标志是：在具体情境中通过列解析式，列方程，作函数图像，求方程的解的一系列过程，体验一次函数与相应的一元一次方程、一元一次不等式之间的关系；理解一次函数与二元一次方程（组）的解之间的关系.
⑵达成目标⑵的标志是：在解决相关问题时既会列出解析式，方程（组），不等式。又能通过函数图像的直观性配合分析解决问题.
所以本节课教学重点：一次函数与方程（组）、一元一次不等式之间的关系.
三、学情分析
八年级的学生已经分别学习过一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型.但没有建立这些知识之间的有效联系，不知道方程（组），不等式模型与函数模型的联系，不知道方程（组）、不等式模型与函数模型的联系。因此，在教学中要突破用函数的观点理解二元一次方程，把方程的解（x,y）看作是一对变量x与y，从图像的角度看，要把解（x,y）看作函数图像上点的坐标，把一次函数图像上的点的坐标与方程（组）的解建立联系这一难点.
四、教学策略分析
本节课，我准备用“探索发现、合作探究、引导归纳、巩固练习”的模式展开.引导学生从已有的知识经验出发，提出问题，让学生自己动手操作，发现问题，
解决问题，而归纳出解决问题的一般方法。在教学中鼓励学生积极合作，充分交流，制造良好的学习氛围.本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理一元一次方程与一次函数的关系．并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．
所以本节课教学难点：把一次函数图像上点的坐标与方程的解建立联系.
五、教学过程设计
(一)创设情景 引入课题
1.知识回顾：
（1）一次函数的定义？
（2）一次函数的性质？
（3）如何用两点法画一次函数的图像。
2.引出课题，明确学习内容和目标
设计意图：知识回顾，引入课题.
(二)自主探究 合作交流 建构新知
1.提出问题
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y（m）与气球上升时间 x（min）的函数关系．
2.二元一次方程与一次函数有什么关系？
设计意图：明确，理解一次函数与二元一次方程关系.
3．拓展问题：什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？你能从数和形两方面分别加以研究吗？
从数的角度看：解方程组
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
二元一次方程组的解就是相应的 两个一次函数图象的交点坐标．
设计意图：明确，理解一次函数与二元一次方程组的关系.
4.用一用
例1.下面三个方程有什么共同特点？你能从函数
的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3； （2）2x+1=0； （3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函 数值为k 时对应的自变量的值．
设计意图：培养合作交流的意识，从同伴那里听到不同见解.理解一次函数与一元一次方程组的关系
例2.下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行
解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2；
（2）3x+2＜0；
（3）3x+2＜-1．
结论：不等式的解集就是使函数 的函数值大于的对应的自变量取值范围；
　　不等式的解集就是使函数 的函数值小于的对应的自变量取值范围．
5.想一想：
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
设计意图：理解一次函数与一元一次不等式组的关系.
(三)巩固训练
1.利用图象解方程组
2.学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．根据图象解答：
(1)乙复印社的每月承包费是多少？
(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？
设计意图：巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透解决问题的思想方法.
3.新龟兔赛跑:兔子失败后吸取了教训，分析了失败的原因是因为自己太轻敌，太骄傲了，准备争口气回来.这次举行的是100米赛跑，兔子让乌龟先跑30米，然后自己才开始跑，已知乌龟每分钟跑10米，兔子每分钟跑15米，（列出函数关系式，作出函数图象，观察函数图象）回答下列问题：
⑴何时乌龟跑在兔子前面？
⑵何时兔子跑在乌龟前面？
⑶兔子是否能追上乌龟？什么时候？
⑷谁先跑过10米？
设计意图：通过寓言故事，突出本节课的教学重点和难点，同时激发了学生的学习兴趣.
(四)反思小结
这节课我们主要学习了
解决问题中，我们应用了哪些方法？
本节知识有哪些运用？
你还有哪些收获？还有什么疑惑？
设计意图：总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.
(五)布置作业
达标训练
1.若一次函数y＝ax+b（a，b是常数），x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
则方程ax+b＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣1 D．x＝1
2. 已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列判断中不正确的是（ ）
A．方程kx+b＝0的解是x＝0 B．k＞0，b＞0
C．当x＜﹣3时，y＜0 D．y随x的增大而增大
3. 用图象法解二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
4. 如图，直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），则关于x的不等式ax+b＞mx+n的解集为_______.
5.如图，直线y＝x+4分别交x、y轴于A、B两点，M是AB的中点，将△AOM沿OM翻折，点A落在点C处．（1）求点A、B的坐标；（2）求直线BC的解析式.
综合应用
6.在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝2x+1
⑴若将直线l1平移，使之经过点（1，﹣5），求平移后直线的解析式；
⑵若直线l2：y＝x+m与直线l1的交点在第二象限，求m的取值范围；
⑶如图，直线y＝x+b与直线y＝nx+2n（n≠0）的交点的横坐标为﹣5，求关于x的不等式组0＜nx+2n＜x+b的解集．