湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期数学开学摸底检测试题（含解析）

高二开学摸底检测
数学分值: 150 分 时间: 120 分钟
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每小题四个选项中只有一 项符合题目要求.
1. 已知双曲线 的实轴长为 6,则该双曲线的离心率
A. B.
C. D.
2. 当 取不同实数时,直线 恒过一个定点，这个定点是( )
A. B.
C. D.
3. 已知直线 与圆 相交于 两点,若 ,则 的值为 ( )
A. B.
C. D.
4. 圆 与圆 的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知正项等比数列 中， ， 为 的前 项和， ，则 ( )
A. 7 B. 9 C. 15 D. 20
7. 已知等差数列 的前 8 项和为 ,则 的公差为 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
8. 已知圆 ,动点 为圆 上任意一点,则 的垂直平分线与 的交点 的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
二、选择题, 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中,
有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知平面 过点 ，其法向量为 ，则下列各点在平面 内的有( )
A. B. C. D.
10. 下列条件中,使点 与 三点一定共面的是 ( )
A. B.
C. D.
11. (多选) 已知点 在抛物线 上,抛物线的焦点为 ,延长 与抛物线相交于另一点 为坐标原点,则下列结论中正确的是 ( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 抛物线的焦点坐标为
C. 点 的坐标为
D. 的面积为 8
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 经过抛物线 的焦点，则 _____.
13. 已知椭圆 的左顶点与左焦点分别为点 ,下顶点为点 ,且 的面积等于 ，则椭圆 的离心率为_____.
14. 已知数列 的前 项和为 ,则 的通项公式为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在平行四边形 中, ,点 是线段 的中点.
(1)求直线 的方程；
(2)求过点 且与直线 垂直的直线.
16. 已知等差数列 中， .
(1)求 的值；
(2)若数列 满足: ，证明:数列 是等差数列.
17. 如图,在四棱柱 中,底面 是正方形，侧面 是矩形, .
(1)证明: ；
(2)若三棱锥 的体积为 3，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和,求使得 的 的最小值.
19. 已知椭圆 的离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)记坐标原点为 ，过点 的直线与 交于 两点，若 ，求 的面积.
1. C
由 可得 ,故 ,焦点在 轴上,
故实轴为 ,
因此双曲线为 ,
故离心率为 ,
故选: C
2. B
将直线方程化为 , ,解得 ,故直线过定点 .
故选: B.
3. D
由 得圆的标准方程为 ,
所以该圆的圆心坐标为 ,半径 ,
又直线 与圆 相交所得的弦 ,
则圆心到直线的距离 ,
即 ,解得 .
故选: D.
4. D
圆 的标准方程为 ,
圆心为 ,半径为 ,
圆 ,圆心为 ,半径为 ,则 , ,
故圆 和圆 的位置关系是外离.
故选: D.
5. B
等比数列 中, 成等比数列,
,
令 ,得 ,
,
故选: B
6. C
设等比数列 的公比为 ,依题意有 ,又 ,
当 时, ,故舍去,
当 时,因为 ,则 ,
化简得 ,即 且 ,
故 ,
故选: C.
7. B
依题意 ,即 ,
假设等差数列 的首项为 ,公差为 ,
则 ,解得 ,
故选: B.
8. C
的垂直平分线与 的交点 ,所以 ,则
,
故 的轨迹是以 为焦点,长轴长为 8 的椭圆,所以, ,
,点 的轨迹方程是
故选:
9. AD
对于 ,设 ,则 ,因为 , 所以点 在平面 内,故 正确;
对于 ,设 ,则 ,因为 ,
所以点 不在平面 内,故 错误;
对于 ,设 ,则 ,
因为 ,
所以点 不在平面 内,故 C 错误;
对于 ,设 ,则 ,
因为 ,
所以点 在平面 内,故 正确.
故选: AD.
10.
对于 ,
,
,
故 ,故 共线,故 共面;
或由 得: 为共面向量,故 共面;
对于 B: ,故 共面;
对于 : 由 ,所以点 与 三点不共面.
对于 D: 由 ,得 ,而 ,所以点 与 三点不共面.
故选: AB.
11. ABD
将 代入抛物线方程可得 ,
因此抛物线方程为 ,
所以准线方程为 ,焦点坐标为 ,故 正确;
易知 轴,所以 ,故 错误;
又因为 ,所以 ，故 D 正确.
故选: ABD
12. 16
因为抛物线 ,
所以抛物线焦点为 ,
所以 ,
解得 .
故答案为: 16
13.
设椭圆 的半焦距为 ,由题意可知 ,
因为 ,则 ,
两边平方得 ,则 ,
整理可得 ,所以椭圆 的离心率 .
故答案为: .
14.
由已知当 时,
,
又 时, ,
故 的通项公式为 ,
故答案为: .
15. ;
(2) .
(1)在平行四边形 中， ， ， ，则 ， 则点 ,
直线 的斜率 ,则有 ,即 , 所以直线 的方程是 .
(2)依题意，点 ，则直线 的斜率 ，
因此过点 且与直线 垂直的直线斜率为 ,方程为 ,即
所以所求方程是 .
16. (1)12
(2)证明见解析
(1)
;
(2)由(1)可知
,
数列 是等差数列,首项是 1,公差是 2 .
17. (1)证明见解析
(2)
(1)因为底面 为正方形和侧面 是矩形，
所以 ,
又 平面 ,所以 平面 .
又 平面 ,
所以 .
(2)过点 作 于 ，因为 ，
由(1)得 平面 ，
又 平面 ,所以 ,
又 平面 ,
所以 平面 .
过点 作 交 于 ,
以 为原点,以 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设 ,因为 平面 ,
所以由三棱锥 的体积为 3,得三棱锥 的体积为 3,
即三棱锥 的体积为 3，即 ，得 .
由 ,
得 ,
则 ,
.
设平面 的法向量为 ,
由 ,可得 ,
令 ,可得 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,
由 ,可得 ,
令 ,可得 ,
所以 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 .
18.
(2)4
(1) 由于 ,
故 解得
所以 .
(2)由(1)知 ，所以 ，
则数列 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列；
所以 .
由 ,得 ,
即 ,
则 ,或 ,
又因为 ,所以 的最小值为 4 .
19.
(2)
(1) 不妨记 的半焦距为 ,则 ,解得 , 故 的方程为 .
(2)当直线 的斜率为 0 时， ，不合题意，舍去；
当直线 的斜率不为 0 时,记 ,联立 ,
消去 可得 ,显然 ,设 ,
则 ,
于是,
即 ,可得 (舍) 或 ,故 ,
故 ，故 到 的距离 ，
故 的面积 .