广西南宁市第二中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

南宁二中 2025—2026 学年度下学期高二开学考试 数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知函数 在点 处的切线方程为 ,则 ( )
A. -5 B. -3 C. 3 D. 5
3. 已知双曲线 的离心率为 3,则双曲线 的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
4. 已知圆 与圆 交于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
6. 美加墨足球世界杯将于 2026 年 6 月至 7 月在美国、加拿大、墨西哥的 16 座城市举行, 将是首次有 48 支球队参赛的世界杯. 现在要从 五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若 只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 60 种 D. 120 种
7. 设 是向量,则 “ ” 是 “ 或 ” 的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 ，则 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组样本数据为7,1,3,4,5,1,5,6,则下列说法中正确的是 ( )
A. 这组数据的极差是 5 B. 这组数据的中位数是 4.5
C. 这组数据的第 80 百分位数是 5.5 D. 这组数据的方差是 4.25
10. 已知 为坐标原点,椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在 上, ,且 为 上一个动点,则 ( )
A.
B. 的长轴长为 4
C. 的最小值为
D. 的最大值是
11. 已知函数 ,将 的图象上所有点向左平移 个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到函数 的图象. 若 为偶函数,且最小正周期为 ,则( )
A. 图象关于点 对称 B. 图象在 上单调递增
C. 在 上有且仅有 3 个解
D. 在 上有且仅有 3 个极大值点
四、解答题:本题共 5 小题, 共 15 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
12. 已知等差数列 中， ， ，则 _____.
13. 若复数 满足 ，则 的最大值为_____.
14. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 是 中点，动点 在底面 内(不包括边界)，使四面体 体积为 ，则 的最小值是_____.
三、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 ,若 ,点 在斜率是 2 的直线上.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
16. 记 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 是 的中线，且 ， 的面积为 ，求 的周长.
17. 如图，在三棱柱 中， ，四边形 为菱形， ， .
(1)证明: .
(2)已知平面 平面 ，求二面角 的正弦值.
18. 已知抛物线 的焦点 和椭圆 的右焦点重合,直线 过点 交抛物线于 两点.
(1)若直线 的倾斜角为 ，求 的长；
(2)若直线 交 轴于点 ，且 ， ，试求 的值.
19. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 的导函数为 ，若 有两个不相同的零点 ， .
① 求实数 的取值范围；
② 证明: .
1. C
在数轴上分别标出集合 所表示的范围,如图所示,
由图可知, .
故选: C.
2. A
因为函数 在点 处的切线方程为 ,
所以 ,且 ,所以 ,
所以 .
故选: A.
3. A
双曲线 的渐近线方程为 ,
因为双曲线 的离心率为 3,即 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以双曲线 的渐近线方程为 ,
故选: A
4. A
圆 ,即 的圆心 ,半径 ;
圆 ,即 的圆心 ,半径 , 而 ,则两圆相交,其公共弦所在方程为 ,
点 到 的距离 ,
所以 .
故选: A
5. C
对于 ,由 ,得 或 与 相交,故 错误;
对于 ,若 则 与 可能是异面直线、也可能是相交直线,也可能是平行直线, 所以 B 错误;
对于 ,若 ,由线面垂直的性质定理知 ,所以 正确;
对于 ,若 ,则 与 可能相交,也可能平行,所以 错误.
故选: C.
6. B
根据题意可分为两种情况: 两人都被选中和 两人中只有一人被选中.
① 当 两人都被选中时，不同的选派方案有 种；
② 当 两人中只有一人被选中时，不同的选派方案有 种. 所以不同的选派方案有 种.
故选: B.
7. B
因为 ,可得 ,即 ,
可知 等价于 ,
若 或 ,可得 ,即 ,可知必要性成立;
若 ,即 ,无法得出 或 ,
例如 ,满足 ,但 且 ,可知充分性不成立;
综上所述,“ ” 是 “ 或 ” 的必要不充分条件.
故选: B.
8. B
令 ,可得 ,
当 时, 恒成立,
所以 在 上单调递减,
所以 ,
即 ,可得 ,
所以 ,
所以 ,
即 .
所以 .
故选: B.
9. BD
根据题意,把数据从小到大排序,可得1,1,3,4,5,5,6,7,共有 8 个数,
对于 ,这组样本数据的极差为 ,所以 错误
对于 ,根据数据中位数的定义,可得样本数据的中位数为 ,所以 正确;
对于 ,由 ,所以样本数据的第 80 百分位数为数据的第 7 个数,
即第 80 百分位数为 6 , 所以 C 错误;
对于 ,由平均数的计算公式,可得 ,
所以方差为: ,所以 D 正确.
故选: BD.
10. ABD
设 ,因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,解得 , A 正确.
因为点 在 上,所以 解得 则 的长轴长为 正确.
的最小值为 , C 错误.
因为 ,
当且仅当 共线时等号成立,所以 的最大值为 正确.
故选: ABD
11. ACD
依题意,易得 ,
因为 的最小正周期为 ,所以 ,
则 ,又 为偶函数,所以 , 又 ,令 ,可得 .
所以 .
对于 A: 因为 ,所以 的图象关于点 对称,故 A 正确;
对于 : 当 时, ,因为 在 上不单调,所以 在 不单调,故 错;
对于 ,
当 时, ,
所以 ,或 ,或 ,从而 ,或 ,或 . 故 正确;
对于 : 当 时, ,
所以当 ,或 ,或 , 有最大值即极大值,
从而, 有三个极大值点: ,或 ,或 . 故 正确
故选: ACD.
12. 99
解: 等差数列 中, 成等差数列,
,又 ,
,
解得: ,
故答案为 99 .
13. 2
设复数 ,
因为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 时, 最大为 2 .
故答案为: 2 .
14.
由已知得四面体 体积 ,
所以 ,设 到 的距离为 ,则 ,
解得 ,所以 在底面 内(不包括边界)与 平行且距离为 的线段 上, 要使 的最小,则此时 是过 作 的垂线的垂足.
点 到 的距离为 ，所以 ，
此时 .
故答案为 .
15.
(2)
(1) 由点 在斜率是 2 的直线上得: , 即 ,所以数列 是首项为 ,公差为 2 的等差数列,
所以 .
(2)由(1)知: ，
所以 .
16.
(2)
(1) ,
由正弦定理得 ,
,
,
,
. 即 ,
.
,即 .
(2) 由题意得 ，
.
是 的中线，
,
,
,
由余弦定理得 ,
.
的周长为 .
17. (1)证明见解析;
(2) .
(1)
设 为 的中点,连接 ,
因为 ，所以 ，
因为四边形 为菱形， ，所以 为等边三角形，则 ，
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 平面 平面 ,
,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,所以四边形 为菱形,即 .
(2)
因为平面 平面 ,且平面 平面 平面
所以 平面 ;
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,设 .
则 ,
可得 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,可得 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,可得 .
，故二面角 的正弦值为 .
18.(1)8 ；(2)-1 .
解: (1) 据已知得椭圆 的右焦点为 ,
故抛物线 的方程为 ,
直线 的倾斜角为 ,
于是 得到 ,即 ,
设 ,
.
( 2 )根据题意知斜率必存在，于是设方程为 ，点 坐标为 ， 为 与抛物线 的交点, ,
得到 ,
,
,
,
.
19.(1)见解析(2)①(0， )，②见解析
(1) 的定义域为 ,且 .
当 时， 成立，所以 在 为增函数；
当 时,
(i) 当 时, ,所以 在 上为增函数;
(ii) 当 时, ,所以 在 上为减函数.
(2)①由(1)知，当 时， 至多一个零点，不合题意；
当 时， 的最小值为 ，
依题意知 ,解得 .
一方面,由于 在 为增函数,且函数 的图象在 上不间断.
所以 在 上有唯一的一个零点.
另一方面,因为 ,所以 .
,令 ,
当 时, ,
所以
又 在 为减函数,且函数 的图象在 上不间断.
所以 在 有唯一的一个零点.
综上,实数 的取值范围是 .
② 设 .
又 则 .
下面证明 .
不妨设 ,由①知 .
要证 ,即证 .
因为 在 上为减函数,
所以只要证 .
又 ,即证 .
设函数 .
所以 ,所以 在 为增函数.
所以 ,所以 成立.
从而 成立.
所以 ,即 成立.