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人教版2024 八年级下册
第十九章 二次根式
单元测试·提升卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 17
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 求二次根式的值
2 0.85 求二次根式中的参数；利用二次根式的性质化简
3 0.75 异分母分式加减法；二次根式的加减运算；约分
4 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法；二次根式的除法
5 0.65 运用平方差公式进行运算；有理数的定义；二次根式的乘法；二次根式的除法
6 0.65 二次根式的乘除混合运算
7 0.65 二次根式的乘法
8 0.65 二次根式有意义的条件
9 0.65 二次根式的应用
10 0.65 二次根式的应用
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 二次根式的应用
12 0.85 二次根式的混合运算；数字类规律探索
13 0.75 求二次根式中的参数
14 0.65 二次根式的应用；数字类规律探索
15 0.65 最简二次根式的判断
16 0.64 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 二次根式的乘除混合运算
18 0.75 零指数幂；运用平方差公式进行运算；二次根式的混合运算
19 0.65 分式化简求值；利用二次根式的性质化简
20 0.65 二次根式的应用；实数的大小比较
21 0.65 二次根式的应用；二次根式的混合运算
22 0.65 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法
23 0.65 利用二次根式的性质化简
24 0.4 二次根式的应用；分式化简求值；通过对完全平方公式变形求值2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知是整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列运算成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果，那么下面各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）．
A．3 B．2张 C．1张 D．0张
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
9．摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：）
A． B． C． D．
10．如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．海伦-秦九韶公式：三角形的面积，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三角形三边的长，p表示周长的一半，即．已知在中，，，，则可利用公式计算的面积为 ．
12．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式 ．
13．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ．
14．观察下列各式：
，，，
请利用你所发现的规律，
计算，
其结果为 ．
15．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个．
16．等式成立的条件是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：．
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
19．已知，求的值．
20．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
例如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．
例如：比较和的大小．
解：，
(1)二次根式进行“分子有理化”；
(2)比较和的大小．
21．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道．
(1)求通道的总面积；
(2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）？
22．阅读并回答问题：
为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简．
例如，，
所以．
请仿照上例化简下列根式：
(1)；
(2)．
23．求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：解：原式，
小亮：解：原式．
(1)______的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
24．阅读材料：
已知a,b为非负实数，
，当且仅当时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令a=x, ，则由，得
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ;
(2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？
(4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B D C C C A
1．C
本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根．
当时，
，
故选：C．
2．B
本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题．
解：因为，
所以．
因为是整数，
所以正整数m的最小值是2．
故选：B．
3．C
本题考查了二次根式的运算，分式的运算．根据二次根式的加减，分式的加减计算，然后逐项判断即可．
解：A、，故该选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不可以合并，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
4．C
此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键．
由条件且可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结果符号正确。．逐一分析选项即可．
解：∵说明a和b同号．进一步说明a和b均为负数．
A、 中，和无意义（实数范围内），故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、 ，故选项正确；
D、 ，故选项错误；
故选：C
5．B
本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式、有理数的定义等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可．
解：，5是有理数；
，不是有理数；，是有理数．
综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有2张．
故选：B．
6．D
根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算．
解：A、，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、 与合并，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项符合题意；
故选：D．
本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关键．
7．C
本题考查了二次根式的乘法，（，）．
利用二次根式的乘法，将分解成，得到，进而根据，即可得到答案．
解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
8．C
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此结合的条件，逐一分析选项．
解：二次根式有意义的条件是被开方数，结合分析：
A、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意；
B、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意；
C、：被开方数，∵，∴，根式一定有意义，符合题意；
D、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意．
故选：C．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“被开方数非负”，并结合已知条件分析各选项的被开方数符号．
9．C
此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数．
解：一个周期，
∵，
∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为；
故选：C．
10．A
本题考查二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再算出大正方形的边长，最后通过面积的计算求解，即可解题．
解：正方形和正方形的面积分别为，，
正方形和正方形的边长分别为，，
重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，
重叠部分的正方形边长为1，
大的正方形边长为，
空白部分的面积为，
故选：A．
11．30
根据海伦-秦九韶公式，需先计算三角形的半周长 p，再代入公式求解面积．
本题考查了二次根式的运算，解题关键是明确题意，代入数值后准确计算．
解：由题意，设 ，，，
则，
∴
．
故答案为 30．
12．
本题考查含二次根式的数字规律探究，关键是拆分等式的各部分，分别找出与序号的对应关系．
解：首先分析左边：第个等式的整数部分为从3开始的第个奇数，即；
根号内的数依次为，，，…，对应，
故左边整体为．
再分析右边：第个等式为与的算术平方根差的平方，即，
所以第个等式为．
故答案为：．
13．2
此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2．
解：因为是正整数，
所以是完全平方数．
设（为正整数），则．
由于是正整数，
因此必须被2整除，即为偶数．
令（为正整数），则．
当时，，
此时，为正整数，满足条件．
故正整数的最小值为2．
故答案为：2．
14．
本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键．
解：由规律可知，，其中从开始，
故
，
故答案为：．
15．5
要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数．
∵是最简二次根式，
∴被开方数为不含完全平方因数的正整数，
由且为正整数，可知的可能取值为。
分别分析：
当时，，是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，，不是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，，不是最简二次根式．
∴满足条件的正整数x的值为，共个．
故答案为：．
本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
16．/
根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解出不等式组即可．本题考查了二次根式的除法法则成立的条件，及 ．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
解：∵，且，
∴，
根据二次根式有意义的条件得，
解得，
故答案为：．
17．
本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
根据二次根式的运算法则运算即可．
解：原式
．
18．(1)
(2)1
(3)
本题主要考查二次根式的混合运算、零指数幂的运算及平方差公式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘法、化简绝对值、计算零指数幂，再合并同类项；
（2）先化简二次根式，计算乘除法，再合并同类项；
（3）利用平方差公式展开，并化简二次根式，再合并同类项．
（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
．
19．
本题主要考查了分式的混合运算、二次根式的性质、实数的混合运算．首先根据二次根式的性质可得：、，根据分式的运算法则和二次根式的性质把代数式化简，可得原式，再把和的值代入代数式求值即可．
解：，
，
．
20．(1)
(2)
本题主要考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，本题是阅读型，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
（1）利用题干中的方法将分子有理化即可；
（2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论．
（1）解：；
（2）解：，，
，
．
21．(1)
(2)元
本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．
（1）由题意得正方形绿地的面积为，然后用正方形面积减去4个矩形的面积即可计算出通道的面积；
（2）根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．
（1）解：由题意得，通道的总面积为：
，
答：通道的总面积为；
（2）由（1）小问可知：通道的总面积为：，
购买地砖需要花费：（元），
答：购买地砖需要花费元．
22．(1)
(2)
本题考查了二次根式的乘法与化简、完全平方公式，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
（1）根据二次根式的乘法和完全平方公式可得，由此即可得；
（2）根据二次根式的乘法和完全平方公式可得，由此即可得．
（1）解：
，
所以．
（2）解：
，
所以．
23．(1)小亮
(2)
本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握是解题的关键．
（1）根据题意得到，根据二次根式的性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，原式．
24．(1)，
(2)当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米
(3)当时，代数式取最大值，最大值为
(4)或
本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值．
(1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：;
(2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值；
(3)，由，时，取等号，进一步求最值；
(4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围．
（1）解：，
，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：．
故答案为：
（2）设矩形的长为, 宽为，
，
当时，即时，的最小值为20，
当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为；
（3），
，时，取等号，的最小值为6，
∴的最大值为．
（4）
当时，，，即时，取等号，
,
当时，，，，即时，取等号，
，，
综上，的范围为或．
故答案为：或．
