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人教版2024 八年级下册
第十九章 二次根式
单元测试·过关卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 1
较易 4
适中 18
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二次根式的识别
2 0.85 二次根式的除法
3 0.75 求二次根式中的参数；利用二次根式的性质化简
4 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的加减运算
5 0.65 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
6 0.65 最简二次根式的判断
7 0.65 二次根式的乘除混合运算
8 0.65 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简
9 0.65 新定义下的实数运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算
10 0.65 二次根式的应用；二次根式的混合运算
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 求二次根式的值
12 0.75 二次根式的应用；无理数整数部分的有关计算
13 0.65 新定义下的实数运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的加减运算
14 0.65 与实数运算相关的规律题；化为最简二次根式
15 0.65 运用平方差公式进行运算；二次根式的乘除混合运算
16 0.64 零指数幂；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 二次根式的乘法；二次根式的乘除混合运算
18 0.75 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算
19 0.65 二次根式有意义的条件；二次根式的乘法；求不等式组的解集
20 0.65 运用完全平方公式进行运算；二次根式的乘法
21 0.65 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
22 0.65 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
23 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算；分母有理化；比较二次根式的大小
24 0.4 通过对完全平方公式变形求值；二次根式的混合运算；分母有理化2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C A D B B C
1．C
本题考查二次根式的定义，形如的式子是二次根式．根据二次根式的定义判断即可．
解：A．是整式，不符合二次根式形式；
B．是分式，不符合二次根式形式；
C．，
，且式子为，符合二次根式定义；
D．是分式，不符合二次根式形式．
故选：C．
2．D
本题考查二次根式的除法运算及有理数的定义，将各选项与相除，判断结果是否为有理数．
解：A选项：，结果是无理数；
B选项：，结果是无理数；
C选项：，结果是无理数；
D选项：，是有理数．
故选：D．
3．D
本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值．
解：∵，
∴，
∴，
∵是整数，且n是整数，
则是完全平方数，
∴n的最小值为：6．
故选：D．
4．C
本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和性质分别计算各选项后再进行判断即可．
解：A、2与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，故不符合题意，
故选：C．
5．C
本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念一一判断即可．
解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故不符合题意；
C、是最简二次根式，故符合题意；
D、，不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：C．
6．A
此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
解：、是最简二次根式，符合题意；
、不是最简二次根式，不符合题意；
、不是最简二次根式，不符合题意；
、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
7．D
根据题意将变形为，由此可得出答案．
解：由题意得：
，
故选：D．
本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
8．B
本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，在的前提下化简即可得到答案．
解：若二次根式有意义，则，
，解得，
∴原式．
故选：B．
9．B
根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算.
本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键．
解：∵ ,
且 ,
∴ .
代入 :
∴ ，
故选：B．
10．C
此题考查了二次根式的应用，根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高．
解：∵，，，
∴，
∴，
设边上的高的长为，
∴，
∴，
故选：C．
11．
本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义．
将把代入，再化简即可．
解：把代入得：
原式；
故答案为：．
12．/
本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可．
先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分．
解：
由题意，，
，
由于，
所以S的整数部分为，小数部分或．
故答案为：或．
13．
本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
解：由题意可得：
，
故答案为：．
14．
本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可．
解：由题意知，
；
∴，
故答案为：．
15．2
根据平方差公式及二次根式的除法即可得解．
解：设，
∵，，
∴，
∴，
故答案为2．
本题主要考查了平方差公式及二次根式的除法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
16．且
本题考查分式有意义的条件、零指数幂有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是理解上述条件．
式子在实数范围内有意义，需同时满足分母不为零、零指数幂的底数不为零，以及二次根式的被开方数非负，由此即可解答．
解：为了使式子 在实数范围内有意义，需满足以下条件：
①零指数幂 有意义的条件是底数不为零，即，
∴．
②分母有意义的条件是被开方数，且分母不能为零，
，即 ．
综合以上，的取值范围是且．
故答案为：且．
17．(1)
(2)
本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟知相关运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法运算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除法运算法则求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先利用平方差公式及二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先利用完全平方公式及平方差公式，再合并同类项即可．
（1）解：原式．
（2）原式．
19．(1)①，②
(2)
本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键．
（1）①根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；②运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；
（2）根据（1）中②的方法构成方程组求解，然后再检验即可．
（1）解：① 由二根式有意义的条件得到：，
解得，
即的取值范围是；
②∵
，
而，
∴；
（2）解：由（1）得，
而，
两式相加得到，
即，
则，
解得，
经检验，是原方程的根，
即方程的解是；
20．(1)，；
(2)13或7 ．
本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．
（1）仿照例题计算即可得；
（2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解；
（1）解：，
，，
故答案为：，；
（2）解：，
，，
，
m，n均为正整数，
，，或，，
当，时，，
当，时，，
综上可知，a的值为13或7；
21．(1)
(2)（的整数）
(3)见解析
本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键．
（1）仔细观察从上式中找出规律即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可．
（1）解：∵；
；
∴，
．
故答案为：24；63
（2）解：∵；
；
，
……
∴（的整数）．
（3）解：．
22．(1)，见解析
(2)＝n
(3)见解析
(4)（答案不唯一）
本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键，
（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
（2）根据“穿墙”的定义，用表示即可；
（3）根据二次根式的乘法法则验证即可；
（4）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
（1）解：；
故答案为：；
验证：；
（2）解： ；
（3）证明：
．
（4）解：，验证如下：
（答案不唯一）．
23．(1)
(2)
(3)
本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；
（2）模仿题干过程，进行整理，即可作答．
（3）模仿题干过程，进行整理，即可作答．
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：依题意，，
∴，，
∵，
∴
∴；
（3）解：，
∵，
∴由，可知，
则
当时，分母有最小值，
∴的最大值是．
24．(1)
(2)
(3)
（1）依据题意，先分母有理化，再合并同类二次根式，然后化简二次根式后进行有理数的运算；
（2）先计算出，再利用分母有理化得到，接着利用得到，然后解一次方程即可；
（3）先设，，则，，根据完全平方公式变形公式求出即可．
（1）解：原式
．
（2），，
，，
，
，
．
（3）解：设，，则．
，
，
，
，
．
，
（负值已舍去），
．
本题主要考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列代数式中，二次根式为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，与的商为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
8．化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（ ）
A．1 B．4 C．－2 D．9
10．八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．当时，二次根式的值为 ．
12．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ．
13．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ．
14．观察下列二次根式的化简：
；
；
；
…
则 ．
15．已知：，则 ．
16．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
已知：，求：
(1)①求代数式中的取值范围
②求代数式的值；
(2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：；
20．阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______；
(2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值；
21．观察下列等式：；；……根据你观察后所发现的规律，解答下列问题：
(1)若等式及具有上述规律，则 ； ；
(2)请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数）
(3)请你证明上述等式的正确性．
22．先来看一个有趣的现象：．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
(1)猜想：＝ ，并验证你的猜想；
(2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？
(3)证明你找到的规律；
(4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．
23．阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，；
(2)比较和的大小；
(3)式子的最大值是________．
24．阅读下列材料，解答下列问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中有一种数学思想叫作换元，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知是正整数，，，，求的值．
(3)已知，求的值．
