2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各式中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是整数，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
5．若，则代数式的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．
6．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
7．以下二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B．（为质数）
C． D．
8．下列运算中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ．
12．计算： （其中）．
13．已知，，则代数式的值为 ．
14．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ．
15．给出下面三个解答过程：①；②；③．其中错误的是 ．（请填写序号）
16．对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)．
(2)（）．
18．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为．
(1)求该座钟摆针的摆动周期．
(2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？
19．利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整数系数方程．例如：时，移项，得，两边平方，得，所以，即．仿照上述方法解答下面的题目．
已知，求：
(1)的值．
(2)的值．
20．求代数式的值，其中．下面是小明的解题过程，小明检查时发现有错误．
解：． 第一步 当时，原式． 第二步
(1)小明是从第____________步开始出错的，正确的值为____________．
(2)求代数式的值，其中．
21．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________；
(2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值．
22．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒），若一个运动的物体的质量是10千克，动能是1000焦耳，求该物体的运动速度．
23．【阅读材料】
我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为2．
【模仿探究】
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当时，求的最小值，并求出此时的值；
【应用意识】
（2）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为，斜边需要用栅栏围上，请利用以上知识求栅栏的最小值和此时的长．
24．已知，求的值．小华是这样分析与解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)求的值；
(3)比较与的大小，并说明理由．(共7张PPT)
人教版2024 八年级下册
第十九章 二次根式
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 17
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二次根式的识别
2 0.85 求二次根式中的参数
3 0.85 二次根式有意义的条件；求二次根式的值
4 0.65 复合二次根式的化简
5 0.65 运用完全平方公式进行运算；已知字母的值，化简求值
6 0.65 等腰三角形的定义；三角形三边关系的应用；二次根式的加减运算
7 0.65 最简二次根式的判断
8 0.65 判断分式变形是否正确；二次根式的乘法；二次根式的除法
9 0.65 求二次根式中的参数；利用二次根式的性质化简
10 0.64 二次根式的应用；二次根式的混合运算
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 求二次根式中的参数；利用二次根式的性质化简
12 0.75 二次根式的乘除混合运算
13 0.65 完全平方公式分解因式；已知字母的值，化简求值
14 0.65 已知最简二次根式求参数
15 0.65 求一个数的算术平方根；利用二次根式的性质化简
16 0.65 新定义下的实数运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的加减运算
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 利用二次根式的性质化简；二次根式的除法
18 0.75 二次根式的应用；有理数除法的应用；已知字母的值 ，求代数式的值
19 0.65 因式分解的应用；二次根式的混合运算；通过对完全平方公式变形求值
20 0.65 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简；已知字母的值，化简求值
21 0.65 运用完全平方公式进行运算；二次根式的乘法；利用平方根解方程
22 0.65 利用二次根式的性质化简；算术平方根的实际应用
23 0.65 二次根式的混合运算；用勾股定理解三角形
24 0.4 无理数的大小估算；运用平方差公式进行运算；二次根式的混合运算；分母有理化2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D B A B C C B
1．B
本题考查二次根式的定义，根据二次根式形如（）的特征，判断各选项被开方数的正负性即可求解．
解：A、被开方数，属于二次根式；
B、被开方数，不满足二次根式的定义，不属于二次根式；
C、被开方数，属于二次根式；
D、∵，∴，被开方数非负，属于二次根式．
故选：B．
2．A
本题考查了求二次根式中的参数．
根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为．
解：∵是整数，
∴是平方数，
∴，
∴，
∴实数n最大值为，
故选：A．
3．A
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．是二次根式，故本选项符合题意；
B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．D
本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为．
先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值．
解：∵，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
5．B
本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得．
解：∵，
∴
，
故选：B．
6．A
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式．
解：∵ ，，
情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形，
周长为 ；
情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形，
周长为．
∴ 周长为或，
故选：A．
7．B
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可．
解：A、被开方数含有分数，不是最简二次根式，不合题意；
B、（为质数）是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
8．C
本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，否则可能导致错误．
解：A. ，该选项计算正确，不符合题意；
B. ，该选项计算正确，不符合题意；
C.当时， ，该选项计算错误，符合题意；
D. ，该选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
9．C
本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值.
解：∵，
又∵是整数，是正整数，
∴必须是整数，即为完全平方数，
∴最小为时，是完全平方数，
∴的最小值是，
故选：C．
10．B
本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积．
解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4，
∴
，
故选：B．
11．3
本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可．
解：∵，是整数，
的最小值为3，
故答案为：3．
12．
本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果．
解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分：
系数部分运算：；
根式部分运算：；
化简被开方数：；
因此根式部分结果为：；
将系数与根式部分结合：．
故答案为：．
本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数．
13．4
本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键．
将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算．
解：由完全平方公式，得 ，．
代入 ，，得 ，．
所以 ，．
因此原式 ．
故答案为：4．
14．
本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求．
解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2．
设（k为正整数），则．
由，得，，为正整数，
故，，．
当时，；
时，
时，．
综上所述：的最小值为．
故答案为：．
15．①②③
本题考查了对算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力，难度不是很大，但是比较容易出错．根据算术平方根的定义分别求出每个算式的值，再判断即可．
解：对于①，但过程使用了和，在实数范围内无意义，故过程错误；
对于②，过程错误；
对于③，过程错误．
故答案为：①②③．
16．
本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．
先化简每个根式，比较大小以确定运算规则，再计算每个“”运算的结果，最后相减即可．
解：化简根式：，，，
计算：由于，根据规则，
计算：由于，根据规则，
整体计算：
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．(1)该座钟摆针的摆动周期为
(2)在内，该座钟发出70次滴答声
本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可；
（2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可．
（1）解：将，，代入，得
答：该座钟摆针的摆动周期为．
（2）解：，（次）．
答：在内，该座钟发出70次滴答声．
19．(1)1
(2)2025
（1）对已知的a进行移项，将含根号的部分单独放在一边，再两边平方，整理后得到的值；
（2）利用（1）的结果变形得到的表达式，将拆分为，代入表达式化简，再结合（1）的结论计算结果．
（1）解：由得，
移项得，
两边平方得，
化简得．
（2）解：
．
本题考查了二次根式的化简与代数式求值，掌握通过移项、平方构造整式方程，再利用方程变形化简高次代数式是解题的关键．
20．(1)二 4049
(2)
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握是解题关键．
（1）先根据完全平方公式判断第一步，再根据二次根式性质判断第二步，然后求出正确的值即可；
（2）先根据完全平方公式化简，再根据二次根式性质代入计算，最后把的值代入计算得到答案．
（1）解：二，．
∵，
，
，
∴小明从第二步开始出错的
原式，
当时，原式．
（2）解： ，
，
∴原式
．
当时，原式．
21．(1)2；
(2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4
本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键．
（1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得；
（2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得．
（1）解：当时，则，
∵，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
∴当时，的最小值为2．
当时，则，
∵，
∴（当且仅当时取等号），
∴，
∴当时，的最大值为．
故答案为：2；．
（2）解：，
当时，则，
∵，
∴（当且仅当时取等号），
∴（当且仅当时取等号），
∴（当且仅当时取等号），
由得：，解得或（不符合题意，舍去），
经检验，是方程的解，
所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4．
22．米/秒
本题主要考查了算术平方根和二次根式的应用，解题的关键是根据题目中给出的等式变形为，然后代入数据进行计算即可．
解：∵，千克，焦耳，
∴（米/秒）．
23．（1）时，取得最小值为；（2）的最小值是，此时
本题考查了二次根式的运算， 勾股定理的应用；
（1）仿照材料中的例子，进行求解即可；
（2）利用三角形面积公式设出两条直角边，勾股定理求得斜边，求解即可．
解：（1）当时，，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为．
（2）设，则，则，
，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为40．
即当时，的最小值是．
24．(1)3
(2)
(3)，见解析
本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键．
（1）结合题意，求得，然后化简求值即可；
（2）将原式整理为，即可获得答案；
（3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案．
（1）解：∵，
∴
．
（2）解：原式
．
（3）解：，
理由：，
，
，
，
．
