2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A C C B B B A
1．D
此题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围．
解：要使二次根式有意义，
∴，
∴．
故选：D．
2．C
本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简计算．
利用将原式转化，再根据时列不等式求解即可．
解：∵，
又∵，
∴，
解这个不等式得：．
故选：C．
3．D
本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值．
解：
=
故答案选：D．
本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
4．A
本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证．
分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．
解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，
由于，
所以不满足三角形的三边关系；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，
由于
所以满足三角形的三边关系，此时周长为
综上可知，三角形的周长为．
故选：A．
5．C
根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含平方因子且分母不含根号．
A. ，被开方数含分母，可化简，故不是最简二次根式，
B. ，分母含根号，需有理化，故不是最简二次根式，
C. ，被开方数5无平方因子，且分母无根号，符合最简二次根式条件，
D. ，被开方数含平方因子4，可化简，故不是最简二次根式，
故选：C．
6．C
本题考查二次根式的化简，二次根式的除法运算．
根据二次根式的性质化简和二次根式的除法运算法则计算逐项判定，即可得出答案．
解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．B
本题主要考查了二次根式的化简和运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则．
通过计算每个等式的左右两边，判断是否相等．
解：对于选项A：，该选项不成立；
对于选项B：，，
∴左边=右边，该选项成立；
对于选项C：，，
，该选项不成立；
对于选项D：，
，该选项不成立；
故选：B．
8．B
本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负．
根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可．
解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
9．B
本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，
小正方形边长为：，大正方形边长为，
，
图中空白部分的面积为：，
故选：B．
10．A
本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较．
依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错．
①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确；
②
因为，根据分子相同，分母越大分数越小，
所以，即，
②错误；
③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误；
④每一项可以表示为：，
，
，
④错误．
综上，仅①正确，
故答案为：A．
11．
本题考查含二次根式的一元一次不等式的求解，关键是掌握一元一次不等式的基本解法以及二次根式的化简方法．先通过移项将常数项移到不等式右侧，再将的系数化为1，最后对含二次根式的分式进行化简得到解集．
解：不等式，移项得，
∴两边同时除以，得，
故；
故答案为：．
12．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列出不等式组求解即可．
解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．/
本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，计算得出答案即可．
解：根据题意，该三角形的三边长，，分别为，
∴该三角形的面积
．
故答案为：．
14．
本题考查了二次根式的乘法运算、长方形与圆的面积公式，解题关键是熟练运用二次根式的乘法性质化简计算，同时准确建立不同图形面积的等量关系．
先根据长方形面积公式求出长方形面积，再结合圆的面积公式建立等式，求解圆的半径，过程中会用到二次根式的乘法运算．
解：①计算长方形的面积：
．
根据二次根式乘法性质可得：．
②设圆的半径为，根据圆的面积公式，且，则：
，
．
∵半径，
∴．
15．是
本题主要考查了二次根式的运算，完全平方公式，对“平衡数”的定义的理解，读懂题意，理解“平衡数”的定义是解题关键．
计算，根据是否符合“平衡数”的定义即可判断．
解：∵，，
∴，
，
∴，
其中为整数，故与是关于的一组“平衡数”．
故答案为：是．
16．
本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．
仔细观察所给的式子，发现对于正整数，有，然后依据规律得到答案即可．
解：已知，，，…，
可知规律为，
当时，，
则．
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查二次根式的乘法运算，核心是利用乘法公式简化计算．关键在于识别算式对应的公式形式，准确应用公式展开后完成运算．
（1）算式为两个数的和与这两个数的差的乘积，符合平方差公式的特征，利用平方差公式可快速展开计算；
（2）算式为两个数和的平方形式，符合完全平方公式的特征，利用完全平方公式展开后，再进行二次根式的化简与合并．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
(3)
本题考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先利用二次根式的性质化简，再去括号并计算即可；
（2）利用乘法公式和二次根式的除法法则化简，再算加减；
（3）利用乘法公式化简，再进行二次根式的混合运算即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
19．（1）①；；②；；（2）；（3）
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可．
解：（1）①；
②；
故答案为：①；；②；；
（2）；
（3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
根据题意得：，，
∴，，
剩余部分的面积为：．
20．(1)①不等式的基本性质1，②平方差公式
(2)证明见解析
本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质、三角形的三边关系、算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
（1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解；
（2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解．
（1）解：由题意，，
（①不等式的基本性质1），
（②平方差公式），
故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．(1)
(2)
(3)4
本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键．
（1）正方形的边长等于面积的算术平方根；
（2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可；
（3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解．
（1）解：正方形的边长为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
，
即矩形木板的面积为；
（3）解：，，
最多能截出的木条数量为：，
故答案为：4．
22．(1)
(2)5
(3)
此题考查的是二次根式的混合运算，求一个数的整数部分和小数部分，掌握一个数算术平方根的取值范围的求法是解决此题的关键．
（1）先求出的取值范围，然后根据题意即可求出 a 和 b 的值；
（2）先求出的取值范围，然后根据不等式的基本性质即可求出的取值范围，从而求出的值，代入求值即可；
（3）分别求出k的取值范围和的取值范围，根据题意即可求出m和n的值，代入求值即可．
（1）解：，
．
（2）解：，
，
．
．
．
（3）解：．
．
，
．
．
．
23．，7，7；（1）；（2）无解
学习新知，类比求解：根据题意补充完整即可；
（1）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可；
（2）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可．
学习新知，类比求解：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
答案为：，7，7 ；
学会转化，解决问题：
（1），
解：移项得，，
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
（2），
移项，
去根号，两边同时平方得方程，
解这个方程，得，
经检验，不是是原方程的解．原方程无解．
24．(1)
(2)，验证见解析
(3)
本题考查了二次根式的性质与化简，数式规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
（1）按照所给等式的验证过程求解即可；
（2）根据所给等式总结归纳得出第n个等式规律即可．
（3）根据，然后根据（2）的规律求解即可．
（1）解：
故答案为：
（2）解：∵第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
∴第n个等式：．
验证：
．
（3）解：
故答案为：．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第十九章 二次根式 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则代数式的值为（ ）
A．25 B． C．3 D．5
4．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
5．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）
A． B．7 C．或7 D．9
9．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
10．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算：
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．不等式的解集是 ．
12．已知，则的值为 ．
13．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)∶ 若 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a， b， c， 则 这 个 三 角 形 的 面 积．若一个三角形的三边长，，分别为，则这个三角形的面积为
14．小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ．
15．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．例如：与是关于1的“平衡数”．若，，则与 （填“是”或“不是”）关于某数的一组“平衡数”．
16．已知，，，…，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．利用你喜欢的方法计算下列各式：
(1)；
(2)；
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
19．阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
（1）填空：
①
②
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
20．代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证：．
证明：，
①______，
②______，
，
，，
，，
，
，
．
(2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证：
21．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．
(1)正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式）
(2)求矩形木板的面积；
(3)木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条．
22．阅读材料：由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为9，小数部分为；
②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为．
根据材料解决下面的问题：
(1)已知的整数部分为，小数部分为，分别求的值；
(2)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值；
(3)设是的小数部分，是的小数部分，求的值．
23．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
【学习新知，类比求解】解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解．
【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
24．观察下列各式及验证过程
验证：
，验证：；
，验证：…．．
(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想____________；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用第个（的自然数）表示的等式，并进行验证；
(3)直接写出：____________．(共7张PPT)
人教版2024 八年级下册
第十九章 二次根式
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 1
较易 4
适中 18
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二次根式有意义的条件
2 0.85 利用二次根式的性质化简
3 0.75 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算；已知字母的值，化简求值
4 0.65 等腰三角形的定义；三角形三边关系的应用；二次根式的加减运算
5 0.65 最简二次根式的判断
6 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的除法
7 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法
8 0.65 二次根式有意义的条件；求一个数的算术平方根；求一个数的立方根；求不等式组的解集
9 0.65 二次根式的应用；利用二次根式的性质化简；二次根式的混合运算
10 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 求一元一次不等式的解集；二次根式的除法
12 0.75 二次根式有意义的条件；求不等式组的解集
13 0.65 二次根式的应用
14 0.65 二次根式的应用
15 0.65 运用完全平方公式进行运算；二次根式的乘法
16 0.65 利用二次根式的性质化简；归纳与类比
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的乘法
18 0.75 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算
19 0.65 运用完全平方公式进行运算；复合二次根式的化简；二次根式的混合运算
20 0.65 构成三角形的条件；不等式的性质；利用算术平方根的非负性解题；二次根式的混合运算；实数的大小比较
21 0.65 二次根式的应用；无理数的大小估算
22 0.65 无理数整数部分的有关计算；二次根式的乘法
23 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；利用二次根式的性质化简
24 0.55 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
