2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章四边形 单元测试·过关卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，已知四边形是正方形，将分别沿向内折叠得到图2，此时与重合（A，C都落在G点），若，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（ ）
①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
6．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（ ）米．
A．120 B．140 C．160 D．180
8．如图，在中，为的中点，为上一点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．16 D．2
9．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．若一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形是 边形．
12．如图，，若，则 ；图中共有 个平行四边形．
13．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为 ．
14．如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
15．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则 ，的最大值是 ．
16．如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则 ．
17．如图，和关于点C中心对称，连接．若，，，则的长是 ．
18．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ．
19．图中有三个正方形，大正方形与两个小正方形的面积分别记为，若，则的长为 ．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
20．如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证．
21．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
22．如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的周长．
23．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如果，，，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、．
(1)画出将向下平移6个单位长度得到；
(2)画出关于原点O成中心对称的；
(3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ．
25．如图，在中，平分交于点，连接．
(1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若．
①求证：四边形是矩形；
②若，求的长度．
26．【问题发现】
（1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则：
①______，______，______，______；
②______填“”“”或“；
【类比探究】
（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值．(共7张PPT)
湘教版2024 八年级下册
第一章 四边形单元测试·过关卷（湖南专用）试卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 3
适中 21
较难 2
一、试题难度
知识点分布
一、单选题
1 0.94 中心对称图形的识别
2 0.85 利用平行四边形的性质求解
3 0.75 折叠问题；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
4 0.65 线段垂直平分线的性质；根据菱形的性质与判定求面积；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
5 0.65 根据成轴对称图形的特征进行求解；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
6 0.65 矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
7 0.65 三角形中位线的实际应用；全等的性质和SAS综合（SAS）
8 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；线段中点的有关计算
9 0.65 平行四边形性质和判定的应用；根据平行线判定与性质证明；等腰三角形的性质和判定
10 0.64 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；平行四边形性质的其他应用
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 多边形内角和与外角和综合
12 0.75 利用平行四边形的性质求解；数图形中平行四边形的个数
13 0.65 根据成轴对称图形的特征进行求解；根据正方形的性质求线段长；等边三角形的性质；四边形中的线段最值问题
14 0.65 根据矩形的性质与判定求线段长；利用菱形的性质求线段长；垂线段最短；用勾股定理解三角形
15 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
16 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解
17 0.65 根据中心对称的性质求面积、长度、角度；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
18 0.64 利用平行线间距离解决问题；利用平行四边形的判定与性质求解
19 0.4 根据正方形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题
20 0.85 根据平行线的性质探究角的关系；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质证明
21 0.75 与三角形中位线有关的求解问题；实数的混合运算；根据菱形的性质与判定求面积；矩形性质理解
22 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；中点四边形；利用平行四边形性质和判定证明
23 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；与三角形中位线有关的证明；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
24 0.65 画旋转图形；找旋转中心、旋转角、对应点；画已知图形关于某点对称的图形；平移(作图)
25 0.65 作垂线(尺规作图)；含30度角的直角三角形；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是矩形
26 0.65 含30度角的直角三角形；二次根式的乘法；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
27 0.4 根据矩形的性质求线段长；四边形中的线段最值问题；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章四边形 单元测试·过关卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C D C D C A C
1．B
本题考查了中心对称图形的定义，理解其定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
解：A：不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B：是中心对称图形，故此选项符合题意；
C：不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D：不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．D
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论．
解：如图，四边形是平行四边形，
，，，，，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
3．C
本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，设正方形的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出及的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为的长．
解：设正方形的边长为x，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵将分别沿向内折叠得到图2：
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得或（不符题意，舍去），
∴．
故选：C．
4．C
根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形；在中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得；根据菱形的面积可得；根据是的垂直平分线，可得，从而得到，即可求解．
解：设交于点
四边形是矩形，
，，
，
由作法得：是的垂直平分线，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形，故①正确；
在中，，
∴，
∴，故②正确；
，故③错误；
是的垂直平分线，
∴，
∴，
即的最小值是9，故④正确；
故选：C．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
5．D
本题考查了菱形的性质、利用轴对称求最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，再结合垂线段最短的性质确定最小值的位置，通过构造直角三角形求解线段长度．
解：∵四边形是菱形，，，
∴平分，，．
作点关于的对称点，
∵是的角平分线，
∴点落在上，连接，则由轴对称的性质得，
∴，
∴当点、、三点共线时，取得最小值为，
而当时，的长度为最小的线段长，即此时取得最小值．
过点作于点，
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
由勾股定理得，
∴(舍去负根)，
∴，即的最小值为．
故选：D．
6．C
本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形与折叠的性质．
由折叠可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，，再利用等面积法即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠可得，，
设，则，
在中，，
∴，即，
解得，
∴，，
如图，过点作于点，
∵，
∴，即点到的距离为．
故选：C．
7．D
本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可．
解：在和中，
，
，
米，
点分别为，的中点，
是的中位线，
米，
故选：D．
8．C
本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
先根据为中点判定是的中位线，得到与的数量关系，再结合是中点，推导的长度．
解：∵分别为的中点，
∴是的中位线。
∴
∵
∴
∵为的中点，
∴
故选：C．
9．A
根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故④错误；
∵，
∴的边上的高和的边上的高相等，
∴由三角形面积公式得：，
都减去的面积得：，故③正确；
故选：A．
本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等．
10．C
根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案．
过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E
∵在中，AO=OC，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
故选：C．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识．
11．十
本题主要考查了多边形内角和公式和外角和．设多边形的边数为n，利用多边形内角和公式和外角和定理列方程求解．
解：设多边形的边数为n，则内角和为，
∵一个多边形的内角和是外角和的四倍，
∴，
解得：，
即这个多边形是十边形．
故答案为：十
12． 4 3
此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出．
解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个．
∵四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：4；3．
13．
本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键．
由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长．
解：∵正方形的面积为12，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴、关于对称，
∴，
∴，
∴当、、共线时，的最小值为的长，
∴的最小值为．
故答案为：．
14．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，由菱形的性质可得，，，即得，四边形是矩形，连接，可知，可得当时，取最小值，此时的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：∵四边形是菱形， ，，
∴，，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，
连接，则，
当时，取最小值，此时的值最小，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
15．
本题考查矩形的性质，中位线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键．
连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值．
解：如图，连接、，
∵四边形是矩形，
∴，，
在直角中，，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴当点与点重合时，取得最大值，此时，
∴的最大值为．
故答案为：；．
16．3
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
解：在平行四边形中，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3．
17．
本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长．
解：由中心对称图形可知，
，，，
，
，
．
故答案为：．
18．20
本题考查了平行四边形的判定与面积计算，以及三角形面积公式的应用，掌握利用平行线间的距离相等，通过三角形面积求出平行四边形的高是解题的关键．
先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积．
解：∵ 且
∴ 四边形是平行四边形
∴
∵
∴
设点到直线的距离为
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
19．
本题考查的是勾股定理、正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据题意列出方程，解方程求出，进而求出．
解：设正方形的边长为，
如图，
∵四边形、四边形、四边形是正方形，
∴，，，，，，
∴，是等腰直角三角形，
同理可得，，都是等腰直角三角形，
∴，，
由题意得：，
解得：（负值舍去），
∴，
故答案为：．
20．见解析
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果；
（2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可．
（1）证明：∵点为的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，且，
∴，，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四边形是菱形，
∴菱形的面积为：．
此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
22．(1)见解析
(2)的周长为
本题考查了三角形中点四边形，中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据三角形中位线定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
四边形是平行四边形；
（2），
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
的周长．
23．(1)见解析
(2)
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果．
（1）证明：，分别是，的中点，
，．
，分别是，的中点，
，，
，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点作，交于点．
在中，由，，得，
．
在中，由，，得，
，
．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可；
（2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为，
故答案为：．
25．(1)见解析
(2)①见解析；②
本题主要考查了基本的尺规作图—过一点作垂线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据作垂线的步骤进行作图即可；
（2）①根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，根据线段的和差得出，证明四边形是平行四边形，根据垂直得出直角，即可得出结论；
②根据含角的直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理得出，最后利用矩形的性质进行求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
②∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
由①得，四边形是矩形，
∴．
26．（1）①5，，，；②；（2）成立，理由见解析；（3）
（1）由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得问题的答案；
由，，得，于是得到问题的答案；
（2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以中结论成立；
（3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案．
（1）解：如图，
四边形是矩形，，，
，，
过点作，分别交，于点，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，，
故答案为：，，，．
，，
，
故答案为：．
（2）解：成立，理由如下：
如图，
四边形是矩形，
，
，
过点作，分别交，反向延长线于点，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，
，，
；
，，
，
，
．
（3）解：如图，作交的延长线于点，则，
，，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，
，
，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，
，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
的最小值为．
此题是四边形的综合题，重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
