2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章四边形 单元测试·提高卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
2．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（ ）
A．点 B．的中点
C．的中点 D．边上的点，且
3．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（ ）
A． B． C．24 D．36
5．如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（ ）
A． B．20 C． D．16
9．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形．
12．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为 ．
13．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为 ．
14．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为 ．
15．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ．
16．如图，在中，于点，点M是上一动点，连接，取的中点E，连接．若的半径为4，则长的最大值为 ．
17．如图，与关于点成中心对称，，则的长是 ．
18．如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，于点．当时， ．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
19．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：．
20．如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形．
21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)过点作交的延长线于点，连接．若，，求的长．
22．如图，在长方形中，．
(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；
(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积；
23．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求线段的长度．
24．如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)直接写出的大小，并证明．
25．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
26．【问题发现】
（1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则：
①______，______，______，______；
②______填“”“”或“；
【类比探究】
（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章四边形 单元测试·提高卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C A B D D D B
1．B
本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选：．
2．B
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点，
故选：B．
3．B
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质来建立角度关系进行计算．
利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
4．C
此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，先求，再根据直角三角形斜边中线的性质得，然后由勾股定理求出即可得出的面积，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键．
解：，
，
是直角三角形，，
是的斜边的中线，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
故选：C．
5．A
本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，根据菱形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得：，根据垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式即可求出的最小值．
解：如下图所示，连接，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，最短，
设中边上的高为，
，
，
，
的最小值是，
即的最小值是.
故选：A．
6．B
本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求．
解：∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：B ．
7．D
根据三角形中位线定理解答即可．
解：，，
分别是的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．D
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：如图，取的中点G，连接，
∵E、F分别是边的中点，
∴且，
且，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
9．D
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键．
利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏．
解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点
∴ ， ， ，
∴
根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有：
四边形：已知条件；
四边形：∵且；
四边形：∵且；
四边形：∵且；
四边形：且；
四边形：且；
综上，图中共有个平行四边形．
故选：D．
10．B
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
①连接构造全等三角形，得到，，进而可得，是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形的面积等于，则当时，可取得最小值，取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的，，进而求出．
解：如图，连接．
四边形为菱形，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，即，①正确，
，为等边三角形，②正确；
∴，则，③不正确；
，
，
可知当取得最小值，取得最大值，
设等边三角形边长为，可知其高为，面积为，
为等边三角形，其面积会随边长变化而变化，
当，取得最小值，则取得最小值，
，
此时，，，
，④正确．
综上，正确的个数有个．
故选：．
11．8
本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度．
解：∵已知 ，即对角线被点平分．
∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即
∵，且
∴
当时，四边形是平行四边形．
故答案为：．
12．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出边的长度，然后利用勾股定理进行求得，最后根据等边三角形的性质求解即可．
解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
是等边三角形，
∴．
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质以及勾股定理．
14．/度
本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得，得到，进而求得为等边三角形，得到．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵四边形为矩形，
∴，．
∴，．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
15．3
该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键．
由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得．
解：∵是直角三角形，是斜边上的中线，
∴．
∵D、E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：3．
16．7
本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质．
连接，根据勾股定理求出，根据三线合一得出中点，判定为的中位线，得出，当最大时，取最大值，根据圆的性质求出的最大值即可．
解：如图，连接，
∵，
∴点为线段的中点，，
又∵点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
当最大时，取最大值，
当点在同一条直线上时，的值最大，
此时，，
∴，
即长的最大值为7，
故答案为：7．
17．5
本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，利用与关于点C成中心对称，得出，，，再利用勾股定理求解．
解：∵与关于点C成中心对称，
∴，
∴，，，
∴，
∴在中，，
故答案为：5．
18．4
本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及方程思想的应用，掌握直角三角形角的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
先利用直角三角形角的性质求出的长度，设为，结合条件推出四边形是平行四边形，再由得到，最后列方程求解．
解：，，，
．
设．
，，，
在中，．
，
，
四边形是平行四边形，
．
当时，．
，
，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
19．见解析
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
20．(1)
(2)见解析
本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键．
（1）设，则，然后根据勾股定理求出x的值即可求解；
（2）由等边三角形的性质得出，，得出，然后证明，即可得出结论．
（1）解：设，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点F是线段的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
则，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
21．(1)见解析
(2)
本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理知识点，掌握菱形的判定方法和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键．
（1）先利用平行线和角平分线的性质得到角相等，推出，再结合和证明平行四边形，最后由邻边相等证菱形；
（2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到 的长度．
（1）证明：，
．
平分，
，
，
．
又，
．
，
四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
，，．
，
．
，
．
在中，，，
，
．
22．(1)
(2)
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键．
（1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度；
（2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积．
（1）解：根据折叠的性质，得，
四边形是长方形，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
；
（2）解：四边形是长方形，
，
由折叠的性质得，
又，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)
本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论；
（2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案．
（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，且，
∵点G、F分别为的中点，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∵点G为的中点，
∴．
24．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得；
（2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出．
（1）解：如图，连接，
∵点关于直线的对称点为，连接，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，取中点，连接、，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∵，
∴点在直线上，即点共线，，
∴，
∵作点关于直线的对称点，
∴，
∵取线段的中点，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
25．(1)见解析
(2)2
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键．
（1）根据得出，则，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中
，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
26．（1）①5，，，；②；（2）成立，理由见解析；（3）
（1）由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得问题的答案；
由，，得，于是得到问题的答案；
（2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以中结论成立；
（3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案．
（1）解：如图，
四边形是矩形，，，
，，
过点作，分别交，于点，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，，
故答案为：，，，．
，，
，
故答案为：．
（2）解：成立，理由如下：
如图，
四边形是矩形，
，
，
过点作，分别交，反向延长线于点，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，
，，
；
，，
，
，
．
（3）解：如图，作交的延长线于点，则，
，，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，
，
，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，
，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
的最小值为．
此题是四边形的综合题，重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．(共7张PPT)
湘教版2024 八年级下册
第一章 四边形单元测试·提高卷（湖南专用）试卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 18
较难 2
一、试题难度
知识点分布
一、单选题
1 0.94 中心对称图形的识别
2 0.85 平行四边形性质的其他应用
3 0.75 利用平行四边形的性质求解
4 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
5 0.65 根据矩形的性质求线段长；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
6 0.65 利用矩形的性质求角度；角平分线的有关计算；等边对等角
7 0.65 三角形中位线的实际应用
8 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；用勾股定理解三角形
9 0.65 数图形中平行四边形的个数
10 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边三角形的判定和性质；利用菱形的性质求线段长
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 添一个条件成为平行四边形；证明四边形是平行四边形
12 0.75 斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
13 0.65 等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
14 0.65 等边对等角；利用矩形的性质求角度；等边三角形的判定和性质
15 0.65 与三角形中位线有关的证明；斜边的中线等于斜边的一半
16 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；三线合一；用勾股定理解三角形
17 0.65 根据中心对称的性质求面积、长度、角度；用勾股定理解三角形
18 0.65 含30度角的直角三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
二、知识点分布
三、解答题
19 0.85 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用平行四边形的性质证明
20 0.75 含30度角的直角三角形；等边三角形的性质；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
21 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用菱形的性质求线段长；证明四边形是菱形；用勾股定理解三角形
22 0.65 勾股定理与折叠问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；折叠问题；矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
23 0.65 与三角形中位线有关的证明；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
24 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；等腰三角形的性质和判定
25 0.65 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的判定与性质求解
26 0.4 根据矩形的性质求线段长；四边形中的线段最值问题；用勾股定理解三角形
