2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章四边形 单元测试·冲刺卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D D B C D A D
1．B
本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.是中心对称图形，符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．C
本题主要考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可．
解：选项C中活动门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形，
由三角形的稳定性可知：选项C中没有利用三角形的稳定性，
故选：C．
3．C
本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，证得四边形是平行四边形是解题的关键．
当平分时，四边形是菱形，可先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题．
解：当平分时，四边形是菱形，
理由：，
，
平分，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形是菱形，
故选：C．
4．D
本题考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是结合折叠的性质与长方形对边平行的性质，通过角度间的数量关系推导的度数．
解：如图，
长方形纸片沿折叠，设折叠后与对应的角为，根据折叠性质可知：，．
长方形对边互相平行，折叠后原长方形的边仍保持平行关系．
可得
即．
．
故选：D．
5．D
根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④．
∵，但不一定等于，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵中点为F，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴是的中位线，故③正确；
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，所有正确的结论为②③④．
故选：D．
本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键．
6．B
本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而即可求解．
解：如图所示，取的中点，连接，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
又∵
∴在上，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：B．
7．C
由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到
解：由题意可知：
四边形为平行四边形，
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形.
8．D
由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=×8=4，
∴OP′= AO=2，
∴PQ的最小值=2OP′=4，
故选D．
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
9．A
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解．
解：由折叠知，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
在四边形中，，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
连接，由可证，可得，由矩形的性质，即可求解.
解：如图，连接．
四边形为正方形，
，，．
在和中，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，
．
，，
，
．
小红行走的路程为，
，
小明行走的路程为，
小明行走的时间为．
故选：
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质是本题的关键．
11．4
本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
根据平行四边形的性质证明三角形全等推导出对应边相等关系．
解：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
在和中，
∴
∴
故答案为：4 ．
12．
本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理．
根据正方形的性质得到，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得到，根据勾股定理求解即可．
解：∵是正方形的对角线，
∴，，，
∴，
即，
∵，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
13．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．
由菱形的性质和等边三角形的性质得到，，，设，则，，根据列方程求解即可得到的度数．
解：∵四边形是菱形，是等边三角形，
，．
又，
，，
．
∵四边形是菱形，
，，
．
设，则，．
，
，
，即．
故答案为：．
14．40
本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用“同底等高的两个三角形面积相等”求出的面积．
先根据矩形的性质得到，再根据平移至可得，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出四边形的面积．
解：连接，
∵四边形为矩形，
，
，
∵平移至，
∴四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
15．
本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理的逆定理，垂线段最短．熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，取中点F，连接，证明是等边三角形，得出，则可求的度数；根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解．
解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
取中点F，连接，
，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
连接，如图：
∵点，分别为，的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值最小．
若，
则，
∴，
∴．
故答案为：，．
16．
本题考查了等腰梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．连接交的延长线于G点，根据两直线平行得到两对内错角相等，再由E为中点得到，从而证，得，根据E为中点，利用等底同高即可得，则梯形的面积就是的面积的2倍，则问题即可解答．
解：如图，连接并延长，交的延长线于G点，连接．
∵，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴（）．
故答案为．
17．
此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而解答即可．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
由勾股定理可得，，
故答案为：．
18．（答案不唯一）
此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形．
解：添加的条件是（答案不唯一）．
理由如下：，，
，即，
又，
∴四边形为平行四边形，符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
19．(1)见解析
(2)16
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答．
（2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
又分别是和的平分线，
，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形．
，
的周长．
，
的周长为16．
20．(1)
(2)（答案不唯一）
本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质：
（1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可；
（2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴；
（2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
21．(1)见解析；
(2)．
本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证；
（）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴为斜边的中点，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积=．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，中位线，掌握知识点是解题的关键．
（1）推导出，得到，继而证明，则，即可解答．
（2）先推导出D是中点，继而证明，则，即可解答．
（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴；
则，即；
在和中，
；
∴，
∴．
（2）证明：∵是等边三角形，是高，
∴D是中点；
∵M是的中点，
∴，
∵，
∴．
23．(1)30
(2)
本题考查三角形的中位线的性质，根据三角形的中线求面积，等腰三角形的判定和性质勾股定理．
（1）过点作，得是的中位线，根据题意得，即可解答；
（2）过点作于M，证是等腰三角形，由勾股定理得求解即可．
（1）解：过点作，
∵点是边的中点，
∴是的中位线，
可得，则，
∵点是边的三等分点，
∴，
∴则
∵，点A到直线的距离不变，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，，
∴由（1）得，，，
∴，，
∴是等腰三角形，
过点作于M，则，
∴， ，
∴．
24．(1)见解析
(2)
本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键．
（1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行．
（2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
．
由折叠知，
，
．
（2）解：，
，
．
由折叠知，
．
，
．
25．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）根据题意，易证，，再利用“”即可求证．
（2）连接，交于点O，根据题意，先证四边形是平行四边形，再证，利用“三线合一”，可证，即可求证．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
如图，连接，交于点O，
由（1）得，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，即为等腰三角形，
，
，即，
四边形是菱形，
本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定定理，等腰三角形的性质等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)．理由见解析
（1）过点分别作于点，于点，证明，得到，即可得证；
（2）证明△DAE≌△DCG，即可得出结论．
（1）解：证明：如图，过点分别作于点，于点，
则．
∵四边形是正方形，
，平分，
，
∴四边形为正方形，
．
∵四边形为矩形，
，
．
又，，
，
，
∴矩形是正方形．
（2）．理由如下：
由（1）可知，矩形是正方形，
，．
∵四边形是正方形，
，，
，，
，
．
，
．
本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章四边形 单元测试·冲刺卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（ ）
A． B．
C．平分 D．
4．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（ ）
A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④
6．如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
9．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形为正方形，点在对角线上，，，．小红以的速度沿路线行走到处，小明以小红速度的1.25倍沿行走到处．若小红行走的路程为，则小明行走的时间为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．如图，的对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，．的长度是 ．
12．如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ．
13．如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且是等边三角形．若，则的度数为 ．
14．如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是 ．
15．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则 ，的最小值是 ．
16．如图，在等腰梯形中，E为的中点，于F，如果，，求梯形的面积 ．
17．如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为 ．
18．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
19．如图，中，分别是和的平分线，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
20．如图，四边形中，，，的平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件．
21．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
22．已知等边，是边上的高．
(1)如图1，点E在上，以为边向下作等边，连接．求证：；
(2)如图2，M是的中点，连接，求证：．
23．如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点．
(1)若，求的面积；
(2)若，，，求的长度．
24．如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
25．如图，中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．过F作，交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)在八下，我们会学习菱形．菱形的判定定理有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．当时，利用以上判定定理证明四边形是菱形．
26．正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连．
(1)如图①所示，求证：矩形是正方形．
(2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由．(共7张PPT)
湘教版2024 八年级下册
第一章 四边形单元测试·冲刺卷（湖南专用）试卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 4
适中 19
较难 2
一、试题难度
知识点分布
一、单选题
1 0.94 中心对称图形的识别
2 0.85 三角形的稳定性及应用；四边形的不稳定性
3 0.75 添一个条件使四边形是菱形；证明四边形是菱形
4 0.65 两直线平行内错角相等；折叠问题；矩形与折叠问题
5 0.65 与三角形中位线有关的证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三角形角平分线的定义；等腰三角形的性质和判定
6 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；利用平行四边形的性质求解
7 0.65 利用平行四边形性质和判定证明
8 0.65 平行四边形性质的其他应用
9 0.65 根据平行线的性质求角的度数；折叠问题；多边形内角和问题；利用平行四边形的性质求解
10 0.4 根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解
12 0.75 根据正方形的性质求线段长；三角形内角和定理的应用；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形
13 0.65 利用菱形的性质求角度；等边三角形的性质
14 0.65 利用平移的性质求解；根据矩形的性质求面积；利用平行四边形的判定与性质求解
15 0.65 三角形中位线的实际应用；斜边的中线等于斜边的一半；判断三边能否构成直角三角形；等边三角形的判定和性质
16 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
17 0.65 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
18 0.65 添一个条件成为平行四边形
二、知识点分布
三、解答题
19 0.85 三角形角平分线的定义；三角形内角和定理的应用；利用平行四边形的性质求解
20 0.75 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；添一个条件成为平行四边形
21 0.65 与三角形中位线有关的证明；利用矩形的性质证明；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形
22 0.65 与三角形中位线有关的证明；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质
23 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；根据三角形中线求面积
24 0.65 折叠问题；利用平行四边形的判定与性质求解
25 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；证明四边形是菱形；三线合一；利用平行四边形性质和判定证明
26 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长；根据正方形的性质证明
