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湘教版2024 七年级下册
第一章 整式的乘法 单元测试·过关卷(湖南专用)试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 1
较易 4
适中 21
一、试题难度
知识点分布
一、单选题
1 0.94 同底数幂乘法的逆用
2 0.85 同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆用
3 0.65 多项式乘多项式与图形面积；平方差公式与几何图形
4 0.65 利用单项式乘多项式求字母的值
5 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
6 0.65 多项式乘多项式——化简求值；已知式子的值，求代数式的值
7 0.65 计算单项式乘多项式及求值；计算多项式乘多项式
8 0.65 幂的乘方运算；积的乘方运算；计算单项式乘单项式；合并同类项
9 0.65 多项式乘多项式与图形面积
10 0.64 数字类规律探索；求完全平方式中的字母系数
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆用
12 0.75 同底数幂乘法的逆用；有理数的乘方运算
13 0.65 积的乘方的逆用；有理数的乘方运算
14 0.65 计算多项式乘多项式
15 0.65 运用平方差公式进行运算；平方差公式与几何图形
16 0.65 计算多项式乘多项式；图形类规律探索
17 0.65 已知多项式乘积不含某项求字母的值
18 0.64 用科学记数法表示数的乘法
二、知识点分布
三、解答题
19 0.85 计算单项式乘多项式及求值；整式的加减中的化简求值
20 0.75 已知字母的值 ，求代数式的值；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算
21 0.65 列代数式；多项式乘多项式与图形面积；整式加减的应用
22 0.65 多项式乘多项式与图形面积
23 0.65 计算单项式乘多项式及求值；列代数式；已知字母的值 ，求代数式的值
24 0.65 多项式乘多项式与图形面积；已知字母的值 ，求代数式的值；完全平方公式在几何图形中的应用
25 0.65 平方差公式与几何图形；完全平方公式在几何图形中的应用；整式加减的应用
26 0.64 运用平方差公式进行运算；平方差公式与几何图形2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘法 单元测试·过关卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．可写成（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A．45 B．30 C．14 D．11
3．如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
4．要使的展开式中不含的项，则的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．
5．如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，…，都是正数，设，，那么M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
8．计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：
请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．若，，则 ．
12．计算 ．
13．若，，则 ．
14．若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ．
15．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
16．有一张正方形纸片，第一次将其分割成4个面积相等的小正方形纸片，第二次将其中的一小张又分割成4个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去，第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为 ．
17．要使关于多项式化简后不含的二次项，则m的值为 ．
18．数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
19．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
20．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，；
(3)，其中．
21．用一根细长的铁丝，编成甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，其面积分别为，．
(1)求；
(2)若将这根铁丝围成一个正方形，其面积为，求．
22．张伯伯去年租了一块长为、宽为的长方形土地，今年续租时，土地承包商对张伯伯说：“我把这块地的长增加10m，宽减少10m，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”请你通过所学知识帮助张伯伯算一算他是否吃亏．
23．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形空地，先准备在空地边留出一部分（图中阴影部分）用来安置健身娱乐器材，其余部分种植花草．
(1)用含、的代数式表示用于种植花草的土地面积．
(2)已知种植花草每平方米需花费80元，若，，请计算种植花草所需的成本．
24．“小菜园”是某中学设立的特色劳动课课程之一．如图，初二（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子．
(1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含的代数式表示并化为最简）；
(2)当时，求种植青椒区域的面积．
25．重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表：
投入（元/平方米） 33 26
收益（元/平方米） 38 36
(1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简；
(2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入）
26．如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为b（）的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2．
[探究]
（1）请列式表示：根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式
[应用]
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①，则
②计算：．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘法 单元测试·过关卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D C C C D C
1．C
本题考查了同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求解，掌握知识点是解题的关键．
解：∵，
∴，
故选：．
2．A
本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．
先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用幂的乘方将化为，进而根据，求解即可．
解：．
故选：A．
3．B
此题主要考查平方差公式、多项式乘法的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键．
利用割补的方法将原图形进行转化，结合面积公式进行求解即可．
解：如图①，图①中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以整个图形的面积为；
如图②，一个长方形的面积是，另一个长方形的面积是，所以整个图形的面积为；
如图③，在图③中，拼成一个长方形，长为，宽为，则面积为．
综上所述：“L”形的图形的面积为①；②；③；共3种方法正确．
故选：B．
4．B
本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可．
解：
，
∵的展开式中不含的项，
∴
∴，
故选：B．
5．D
本题考查了乘法公式的几何意义，熟练掌握乘法公式的几何意义是解题的关键；
根据面积公式分别用加法和减法表示即可列出等式.
解：，
即．
故选：D.
6．C
本题主要考查了多项式乘多项式和求代数式的值，利用整体思想降幂是解题的关键．
先表示出，的值，然后代入代数式降幂计算即可．
解：，
，，
故选：C
7．C
本题考查单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，整式的加减，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．设，用分别表示出，，再利用作差法比较大小即可．
解：设，
则，
，
所以，
因为，都是正数，
所以，
所以，
故选：C．
8．C
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式和合并同类项法则计算得出答案．
解：
．
故选：C．
9．D
本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案．
解：图中的面积可表示为：，
或，
故可以得到的数学等式是：，
故选：D．
10．C
本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题．
首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题
解：由题意可得展开式中含项为第二项，
∵展开式中的第二项系数为1，
展开式中的第二项系数为2，
展开式中的第二项系数为3，
展开式中的第二项系数为4，
……，
∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为，
的展开式中含项的系数是2023，
故选：C．
11．72
本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则．
先根据已知条件，将所求表达式分解为已知指数的乘积形式，再代入数值计算．
解：，，
，，
．
故答案为：．
12．
本题主要考查了有理数乘方运算，同底数幂乘法逆用，根据有理数乘方运算法则，逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可．
解：
．
故答案为：．
13．
利用 的关系，将原式化为 ，再根据指数运算规则求解．
由 ，，得 ．
则 ．
由于 ，且2024为偶数，故 ．
所以 ．
这类指数运算题的关键是观察指数的特点，通过拆分指数构造积的乘方形式，利用积的乘方简化计算．
14．
本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可．
解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为，
∴该三角形的面积为
．
故答案为：．
15．①②
本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式．
解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积，
故可得：，可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积，
可得：，可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积，
可得：（，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
16．
本题考查了图形类规律探索的题目，根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律． 其中，以图形为载体的数字规律最为常见． 猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想得出最终结论．
观察图形规律，得出第n次有．据此知第次正方形纸片个数为，再求积即可得出答案．
解：第一次有4个，
第二次有，
第三次有，
……
以此类推，第n次有．
∴第次正方形纸片个数为，
第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为：
，
故答案为：．
17．
本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．
根据题意，得，结合展开式中不含，得，解答即可．
解：根据题意，得
，
∵展开式中不含，
∴，
解得．
故答案为：．
18．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：，
故答案为：．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
本题考查了单项式乘多项式、合并同类项，关键是运用运算法则进行计算；
（1）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可；
（2）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可．
（1）解：原式
，
当时，
上式；
（2）解：原式
，
当，时，
上式．
20．(1)，；
(2)，24；
(3)，-6．
本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先通过多项式乘多项式法则，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可；
（2）先通过平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，再将、的值代入化简后的式子计算即可；
（3）先通过完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再通过算术平方根和偶次幂的非负性求出、的值，并将、的值代入化简后的式子计算即可．
（1）解：原式
．
当时，
原式．；
（2）解：原式
．
当，时，
原式
；
（3）解：原式
．
，，，
，，
解得，，
∴原式
．
21．(1)8
(2)20
本题考查了整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据题意可得，，将其分别计算即可；
（2）先求得铁丝的长度，然后求得正方形的边长，再表示出其面积，最后结合（1）中所求列式计算即可．
（1）解：由题意得，，
则
；
（2）由题意可得甲的周长为，
乙的周长为，
则铁丝的长度为，
那么编成的正方形的边长为，
则，
．
22．张伯伯吃亏了
先分别表示出原来和现在的土地面积，再通过作差比较面积大小，判断张伯伯是否吃亏．
解：原来长方形土地的面积为：．
今年土地的长为 ，宽为 ，面积为：
．
∵ ，
∴．
∴．
∴ ，即张伯伯租到的土地面积变小了．
∴张伯伯吃亏了．
本题考查了整式的乘法运算及作差法比较大小，解题关键是通过代数运算表示面积变化，并结合已知条件判断差值的正负，从而确定面积的增减情况．
23．(1)平方米；
(2)元
本题考查了列代数式，整式乘法的应用，代数式求值，根据图形正确列代数式是解题关键．
（1）根据图形和长方形面积公式列式即可；
（2）将、的值代入（1）所得代数式，求出种植花草的土地面积，再乘以每平方米的花费，即可得到成本．
（1）解：种植花草的土地面积为：平方米．
（2）解：当，时，，
即种植花草的土地面积为平方米，
因为种植花草每平方米需花费80元，
所以种植花草所需的成本为元，
答：种植花草所需的成本是2880元．
24．(1)平方米
(2)275平方米
本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）用矩形面积减去小正方形面积，再利用完全平方公式与多项式乘以多项式化简即可；
（2）将字母代入（1）化简的结果，再计算出结果即可．
（1）解：阴影部分面积为
；
（2）解：当，时，
阴影部分面积为平方米．
25．(1)平方米
(2)元
本题主要考查了整式加减的意义，平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟知乘法公式是解题的关键．
（1）根据长方形和正方形面积计算公式分别求出A、B的面积，二者求和即可得到答案；
（2）根据长方形和正方形周长计算公式推出，进而可求出A、B面积，再根据净收入计算公式代值计算即可．
（1）解：
平方米，
∴、两园区的面积之和为平方米；
（2）解：∵整改后两园区周长之和为1200米，
∴，
∴，
∴正方形面积为平方米，
∴长方形面积为平方米，
元．
26．（1）；（2）①2；②
本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式．
（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子；
（2）①根据（1）的公式，代入数值计算，即可作答；②各项都应用公式计算即可抵消，得到结果．
解：（1）依题意，在图①中，
∵大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
在图②中，
∵阴影部分为长方形，长为，宽为 ，
∴阴影部分的面积为；
∵两图的阴影部分面积相等，
∴可以得到乘法公式；
（2）①∵，，
又，
∴，
∴；
②
．
