2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘法 单元测试·培优卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的值等于（ ）
A． B．4 C．5 D．
4．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．17 D．34
5．把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，用四个完全一样的长、宽分别为的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．根据，，，的规律，则可以得出的结果可以表示为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则的值为（ ）
A．13 B．3 C． D．
9．在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（ ）
A． B． C．a D．b
10．将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（ ）
A．405 B．406 C．407 D．410
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．计算： ．
12．计算的结果为 ．
13．已知的乘积中不含项与项，则 ．
14．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米．
15．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么）
16．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则大正方形的边长为 ，小正方形边长为 （用a、b的代数式表示）；图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）．
17．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ．
18．图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
19．若，，求．
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．关于x的代数式化简后不含的项和常数项．
(1)分别求m、n的值；
(2)求的值．
22．已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
23．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和．
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式．
(3)运用（2）中得到的公式，计算：．
24．如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）．
(1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）；
(2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？
25．某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为．
(1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）．
(2)当时，请求出花灯模板的面积．单位：
26．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
(2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值；
(3)若，求的值．(共7张PPT)
湘教版2024 七年级下册
第一章 整式的乘法 单元测试·培优卷(湖南专用)试卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 19
较难 1
一、试题难度
知识点分布
一、单选题
1 0.94 积的乘方运算
2 0.85 积的乘方运算；计算单项式乘单项式
3 0.75 同底数幂乘法的逆用；积的乘方的逆用
4 0.65 通过对完全平方公式变形求值
5 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
6 0.65 平方差公式与几何图形；完全平方公式在几何图形中的应用
7 0.65 多项式乘法中的规律性问题；数字类规律探索
8 0.65 多项式乘多项式——化简求值；已知式子的值，求代数式的值
9 0.65 多项式乘多项式与图形面积
10 0.65 计算单项式乘多项式及求值；日历问题(一元一次方程的应用)；数字类规律探索
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 同底数幂乘法的逆用；积的乘方的逆用
12 0.75 积的乘方运算；有理数的乘方运算；用科学记数法表示绝对值大于1的数
13 0.65 计算多项式乘多项式；已知多项式乘积不含某项求字母的值
14 0.65 同底数幂相乘；用科学记数法表示数的乘法；用科学记数法表示绝对值大于1的数
15 0.65 幂的乘方的逆用；有理数大小比较
16 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用；几何问题(二元一次方程组的应用)
17 0.65 平方差公式与几何图形
18 0.64 多项式乘多项式与图形面积
二、知识点分布
三、解答题
19 0.85 同底数幂相乘；幂的乘方的逆用
20 0.65 积的乘方运算；计算单项式乘单项式；合并同类项
21 0.65 幂的乘方运算；积的乘方运算；已知多项式乘积不含某项求字母的值；已知字母的值 ，求代数式的值
22 0.65 积的乘方运算；利用单项式乘法求字母或代数式的值
23 0.65 运用平方差公式进行运算；平方差公式与几何图形
24 0.65 列代数式；已知字母的值 ，求代数式的值；整式乘法混合运算
25 0.65 多项式乘多项式与图形面积；已知式子的值，求代数式的值
26 0.4 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用；运用完全平方公式进行运算2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 整式的乘法 单元测试·培优卷（湖南专用）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C D B B B D B
1．B
本题考查了积的乘方与幂的乘方运算法则，掌握积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，幂的乘方底数不变指数相乘是解题的关键．
根据积的乘方法则，将积中每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则计算．
解：
．
故选：B．
2．C
本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可．
解：
故选：C．
3．B
本题考查了积的乘方法则的逆用，同底数幂乘法法则的逆用，将化为分数，利用同底数幂相乘的逆运算以及积的乘方的逆运算进行化简，计算，即可作答．
解：
，
故选：B
4．C
本题考查了完全平方公式的应用．
通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值．
解：设，
则，
∵，
∴，
展开得：，
即，
移项：，
两边除以2：，
又∵，
∴．
故选：C．
5．D
由图①可得：阴影部分的面积为：； 由图②可得：阴影部分的面积为：， 再利用阴影部分的面积相等可得答案．
本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键．
解：由图①可得，阴影部分的面积为．由图②可得，阴影部分的面积为．
∵阴影部分的面积相等，、
∴．
故选：D．
6．B
利用大正方形的边长长方形的长长方形的宽，小正方形的边长长方形的长长方形的宽，大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，完全平方公式，进而判定即可．
解：由图形可得：①大正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确；
②小正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确；
③大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，故，错误；
④根据①知， 根据②知，则，正确；
⑤，错误．
所以正确的有①②④，共有个．
故选：B．
本题考查的知识点有：完全平方公式如、 、平方差公式如，以及通过图形(由长方形围成的大、小正方形)分析边长关系，进而结合公式进行代数运算与等式推导的数形结合思想．
7．B
本题考查了多项式乘以多项式规律性问题，解题关键是掌握多项式乘以多项式计算方法．
先根据规律得出，再代入，求得的结果．
解：根据，，，，，
当时，
，
故选：B．
8．B
先根据多项式乘多项式法则展开，再将将，，整体代入求值即可．
本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用．
解：∵，，
∴
．
故选：B．
9．D
本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面积为图2中阴影部分面积为，据此分别求出两个阴影部分面积，作差即可得到答案．
解：由题意得，图1种阴影部分面积为
图2中阴影部分面积为
，
∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为，
故选：D．
10．B
本题考查的是数字类规律探究，整式的乘法运算，一元一次方程的应用，由题意可得，，，结合，再进一步求解即可．
解：由题意可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故选：B．
11．4
本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用．
先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用积的乘方计算即可．
解：
．
故答案为：4．
12．
本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键．
应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积．
解：计算：根据积的乘方法则得：，
计算：同理，，
计算乘积：，
写成科学计数法：，
故答案为： ．
13．
本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为．
解：∵
，
又∵结果中不含项与项，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．
此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则．
解：，
故答案为：．
15．/
本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．
解：，
，
，
，
∴．
故答案为：．
16． /
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，完全平方公式在几何图形中的应用，根据图形可知大正方形的边长加上小正方形的边长的2倍等于a，大正方形的边长减去小正方形的边长的2倍等于b，据此列出方程组可求出大正方形和小正方形的边长，再根据图②中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积计算求解即可．
解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，
由题意得，，
∴，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是
，
故答案为：；；．
17．16
本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算．
根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值．
解：由图形可知，，．
则．
根据平方差公式
已知
所以．
故答案为：．
18．/
本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可．
解：设，
则
，
，
∴
，
∵，
∴．
故答案为：．
19．1
本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘以及逆运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解．
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
20．(1)
(2)
(3)
(4)0
本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键；
（1）根据单项式乘单项式法则运算即可；
（2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可；
（3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算即可；
（4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
，
，
；
（4）解：
，
，
，
．
21．(1)，
(2)
本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据整式的混合运算法则将括号打开，再合并同类项即可化简，再由题意可得，，求解即可；
（2）将，代入式子计算即可得解．
（1）解：，
∵关于x的代数式化简后不含的项和常数项，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，，
∴
22．(1)
(2)，
本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
（1）解：，
∵与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式．
23．(1)，
(2)
(3)
（1） 图①阴影面积用大正方形面积减去小正方形面积；图②阴影是长方形，用长×宽表示面积；
（2） 由两个阴影面积相等，推导出对应的乘法公式；
（3） 将变形为，用平方差公式简化计算．
（1）解：由题意得，，．
（2）解：由（1），可得乘法公式．
（3）解：
．
本题考查了平方差公式的几何验证与代数应用，掌握用面积相等推导公式，以及将数变形为平方差形式简化计算是解题的关键．
24．(1)平方米
(2)万元
本题考查列代数式，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键在于根据题意用含有m，n的式子表示出网红打卡直播大舞台的面积．
（1）利用健身公园一半的面积减去右上角小三角形的面积，即可解题；
（2）先将，代入（1）中式子求出网红打卡直播大舞台的面积，再结合修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，列式求解，即可解题．
（1）解：由题知，网红打卡直播大舞台的面积为：
平方米；
（2）解：，，
网红打卡直播大舞台的面积为
（平方米）；
修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，
修建网红打卡直播大舞台需要的费用为：（万元）．
25．(1)
(2)348
该题考查了整式混合运算的应用，理解题意是解题的关键．
（1）根据模板的面积列式求解即可．
（2）将整体代入求解即可．
（1）解：
．
（2）解：当时，
原式
．
26．(1)或者
(2)25
(3)
（1）方法一：阴影部分是边长为的正方形，可直接用正方形面积公式表示；
方法二：大正方形面积减去四个小长方形面积，大正方形边长为，小长方形面积为．
（2）利用（1）中得到的完全平方公式变形，代入已知条件计算；
（3）设，，利用完全平方公式变形求解．
（1）解：方法一：
阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：．
方法二：
大正方形边长为，面积为，
四个小长方形总面积为，
因此阴影部分面积为：．
综上，阴影部分面积可表示为或者．
（2）解：由（1），得．
代入，，
原式
．
（3）解：设，，则
已知，由完全平方公式：代入，
．
∴ ．
本题考查了完全平方公式的几何背景与代数变形，解题关键是通过几何图形面积的不同表示方法推导出完全平方公式的变形形式，并能灵活运用整体代入思想进行计算．
