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高频考点专练11 平面直角坐标系及函数基本知识
（9个知识点+5个题型+1个专练+验收卷）
一、点的坐标特征
点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0）
在y轴上 （0，y）
在原点 （0，0）
点在各象限的坐标特点 第一象限 （+，+）
第二象限 （–，+）
第三象限 （–，–）
第四象限 （+，–）
象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m）
第二、四象限 （m，-m）
点P（a，b）到坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b|
到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a|
具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2
点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2
点平移后的坐标特征 点（x，y） 向右平移a个单位长度 （x+a，y）
点（x，y） 向左平移a个单位长度 （x–a，y）
点（x，y） 向上平移b个单位长度 （x，y+b）
点（x，y） 向下平移b个单位长度 （x，y–b）
二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
1．横坐标变化，纵坐标不变：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位
2．横坐标不变，纵坐标变化：
原图形上的点（x，y）向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向下平移b个单位
3．横坐标、纵坐标都变化：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位
三、用坐标表示地理位置
1．确定坐标原点
用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度．
2．如何确定x轴与y轴的方向
坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致．
四、用坐标表示平移
1．一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到．
2．对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．
3．在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．
如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度．
五、常量和变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
1．变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．
2．“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．
3．变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．
4．判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．
六、函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：
1．有两个变量．
2．函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
3．函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．
在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．
七、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．
当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
八、函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
1．函数解析式是等式．
2．函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．
3．用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
九、函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
类型1 判断点所在的象限
【例题】
1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴点在第二象限；
故选B．
【变式】
2．（2025·广东汕头·二模）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、求关于原点对称的点的坐标、判断点所在的象限
【分析】本题考查关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征，同类项的性质．熟练掌握关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征是解题的关键．
根据题意得出，确定点即为，再由关于原点对称的点的特点得出关于原点的对称点为，即可得出结果．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
解得，
∴点即为，
关于原点的对称点为，
∴点为在第四象限，
故选：D
3．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，则点在第________象限．
【答案】四
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据题意可证明，则点的横坐标为正，纵坐标为负，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第四象限，
故答案为：四．
4．（2024·广东·模拟预测）已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第_______象限．
【答案】一
【知识点】坐标与图形综合、判断点所在的象限
【分析】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，象限内点的符号特点，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．
利用一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等求出坐标，继而判断所在象限．
【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在第一象限，
故答案为：一．
类型2 已知点所在的象限求参数
【例题】
5．（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了象限内的点的坐标符号特点，熟练掌握坐标系中各象限内的点的坐标符号特点是解决此类问题的关键． 先由点P在第二、四象限，确定ab的符号，即可求解．
【详解】解：∵点在第二象限或第四象限，则异号，
∴，
故选：D．
【变式】
6．（2025·广东东莞·三模）若点在x轴上，则__________．
【答案】2
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握x轴上点的坐标特点是解题关键．
直接利用x轴上点的坐标特点得出a的值．
【详解】解：∵点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为2．
7．（2024·广东河源·二模）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则________．
【答案】0
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了在y轴上的点的坐标特点，根据在y轴上的点横坐标为0进行求解即可．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
∴，
故答案为：0．
8．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，求不等式组的解集，熟练掌握象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：点在第四象限，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于，
∴，
解得：，
即的取值范围是．
故答案为：．
9．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数、不等式的解集、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键．
根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限，
∴点，
∴且，
解得，，
故答案为：．
类型3 点坐标规律探索
【例题】
10．（2025·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题是对点坐标规律的考查，读懂题目信息，理解幸运点的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
根据幸运点的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
【详解】∵的坐标为，
∴……
以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵，
∴点的坐标与的坐标相同，为．
故选：A．
【变式】
11．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查点坐标规律探索，仔细观察图象，找到点的坐标的变化规律是解答的关键．
根据题意得到每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，根据得到，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，纵坐标为，
，
，
故选：D．
12．（2025·广东广州·一模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（ ）
A．2698 B．2699 C．2700 D．2702
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从点O到点共进行了675个循环，根据变化规律即可解答．
【详解】解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律，
可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动，
，
∴从点O到点共进行了675个循环运动，
的横坐标为．
故选：C．
13．（2025·广东清远·二模）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为______．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律变化问题，由已知坐标可得点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，据此解答即可求解，由已知坐标找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，，，，，，
∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，
∴点的横坐标为，
，
∴点的纵坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
14．（2025·广东梅州·一模）在直角坐标系中，设动点P从向上运动1个单位至点，然后向左运动2个单位至点，再向下运动3个单位至点，再向右运动4个单位至点，再向上运动5个单位至点，……，如此继续运动下去，则点的横坐标________．
【答案】1013
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，观察发现，点的坐标变化为每四个一个周期，周期内横坐标变化，由此即可即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：观察动点的运动过程可得：
到，横坐标不变，都为1，
到，横坐标从1变为，
到，横坐标不变，都为，
到，横坐标从变为，
到，横坐标不变为，
观察发现，点的坐标变化为每四个一个周期，周期内横坐标变化，
∵，
∴点的横坐标，
故答案为：．
类型4 实际问题中用坐标表示位置
【例题】
15．（2025·广东深圳·二模）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，
由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限．
故选：B．
【变式】
16．（2025·广东广州·二模）如图，在围棋棋盘上建立的平面直角坐标系中，已知黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据黑棋①和白棋③的位置可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，
∴黑棋②的坐标是，
故选：B．
17．（2025·广东广州·二模）如图，是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案．
【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，
表示瑞金的点的坐标为．
故选：C．
18．（2024·广东湛江·二模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，
∴炮”的坐标为，
故选：C．
类型5 函数的表示方法
【例题】
19．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充
B．摩托车每行驶消耗能量
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶
D．摩托车充满电后，行驶将自动报警
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可．
【详解】由图象可得，当时，，
∴电池能量最多可充，故A错误；
，
∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误；
由图象可得，当时，，
∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确；
∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误；
故选：C．
【变式】
20．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象，
∴选项C图象适合表示y与x的对应关系．
故选：C．
21．（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查了列函数关系式，根据“每挂重物体，弹簧伸长”可得每挂重物体，弹簧伸长，由此可解．
【详解】解：由题意知，每挂重物体，弹簧伸长，
因此弹簧的长度与所挂重之间的关系式是，
故选D．
22．（2025·广东汕头·一模）小慧同学为了验证一款智能手机摄像头的放大率（成像长度与实物长度的比值），用一个透镜进行模拟成像实验，得到如题图所示的像距v随物距u变化的关系图象，下列说法不正确的是（ ）
A．物距越大，像距越小
B．当物距为时，像距为
C．当物距为时，透镜的放大率为2
D．当像距为时，透镜的放大率为2
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．根据函数图象逐一分析即可．
【详解】解∶由题意可知∶物距越大，像距越小，故选项A说法正确，不符合题意；
由题意可知，当物距为时，像距为，故选项B说法正确，不符合题意；
由题意可知，当物距为时，像距为，透镜的放大率为，故选项C说法正确，不符合题意；
由题意可知，当像距为时，物距为时，透镜的放大率为，故选项D说法错误，符合题意；
故选∶ D
23．（2025·广东佛山·三模）由于连续下雨，某水库的入库水量持续增加，水位直线上升，考虑到水坝安全，水库进行了泄洪．在持续泄洪后，水位仍高于正常水位，为此，管理方把泄洪的速度提高了一倍，按照这样的速度，接下来还需要（ ）才能恢复到水库正常水位？
A．3.6h B．6h C．18h D．24h
【答案】B
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数图像，根据函数图像，先求出第一次泄洪的速度，可得到第二次泄洪的速度，即可推导出第二次泄洪的时间，即可解答．
【详解】解：第一次泄洪的速度为
，
则第二次泄洪的时间为
．
故选B．
满分：80分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共42分）
1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键．
根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解．
【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标是，
故选：C．
2．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，点在第四象限；
故选D．
3．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴点在第二象限；
故选B．
4．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限．
先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限．
【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，
已知点，则其关于轴对称的点的坐标为
故选：B．
5．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可．
【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、，
∴建立直角坐标系如下：
，
∴“强”的坐标为，
故选：B
6．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
7．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（ ）
A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖
C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；
根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可.
【详解】解：A种瓷砖的位置：，
，
B种瓷砖的位置：，
，
由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）；
∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；
位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；
位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；
位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；
故选：B.
8．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化
【答案】B
【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果．
【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快；
故选B．
9．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解．
【详解】解：依题意，与的函数表达式是．
故选：C．
10．（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意．根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从变化到所用的时间．
【详解】解：“漏壶”的漏水速度为：，
水面高度从变化到所用的时间是，
故选：A．
11．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．乙车先到达地 B．、两地相距
C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车
【答案】C
【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城，
故选项A、B不符合题意；
甲的速度为：，
乙的速度为：，
故选项C错误，符合题意；
由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车．
故D不符合题意．
故选：C．
12．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ）
A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同
【答案】B
【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论．
【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意；
B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意；
C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意；
D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意；
故选：B．
13．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于
D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小
【答案】C
【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意；
B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意；
D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；
故选：C
14．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为
【答案】C
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
二、填空题（每题3分，共18分）
15．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可．
【详解】解：点在第一象限，
，
解得，
故答案为：
16．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可．
【详解】解：点在第三象限，
，
解得，
即的取值范围是，
故答案为：．
17．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，在第四象限；
故答案为：四．
18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
19．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
20．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点：
【答案】甲
【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案．
【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒，
∴甲先到达终点，
故答案为：甲．
三、解答题（共20分）
21．（2025·云南·中考真题，10分）已知是常数，函数，记．
(1)若，，求的值；
(2)若，，比较与的大小．
【答案】(1)的值为；
(2)当时，；当时，．
【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）把，代入函数即可求解；
（）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把，代入函数得，
，
∴的值为；
（2）解：将，代入函数得，
，
整理得：，
当时，即，
∴，
当时，，
则有，，
，
∴
，
综上可知：当时，；当时，．
22．（2025·北京·中考真题，10分）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
(1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；
(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．
【答案】(1)6
(2)；画图见解析
(3)①7；②1
【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值；
（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；
（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．
【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35
故答案为：6
（2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个
∴相差（个），
把5分成两个接近的数，，
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴，
画出时的曲线：
（3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与，
：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，
∴；
：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，
∴，
∵，
故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；
故答案为：7；
②当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
4日的合格产品分别是7，8，10，12，
∴合格产品共有；
当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
3日的合格产品分别是12，19，26，
∴合格产品共有；
当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
2日的合格产品分别是20，30，
∴合格产品共有；
当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
1日的合格产品是26；
∵，
∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．
平面直角坐标系及函数基本知识验收卷
满分：45分 得分：_____
单选题（每题3分，共45分）
1．如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，点在第四象限；
故选D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点是解题的关键．
先判断出所求点的横纵坐标的符号，即可判断点所在的象限．
【详解】解：∵，
∴点位于第二象限．
故选：B
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，
故选：C．
4．如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（ ）
A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F
【答案】B
【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对第一个数表示从里到外的圈数，第二个数表示的是度数，据此可得答案．
【详解】解：∵目标A用表示，目标E用表示，
∴表示的是目标C，
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点与坐标轴的关系，掌握点在坐标轴上的特点是关键．
根据点在轴上，纵坐标为0，由此列式求解即可．
【详解】解：点在轴上，
∴，
解得，，
∴，
∴点A的坐标为，
故选：B ．
6．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．
【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，
故选A．
7．两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
【答案】B
【分析】根据题意“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”，即可求解．
【详解】解：∵“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，
则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”， 表示的动物是“猫”．
故选B．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
8．某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据各象限内的点的坐标的符号特征进行判断即可．熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：点在第四象限，
，，
点在第二象限．
故选：B．
9．如图是一个电影播放厅的平面示意图，小明和小刚、小华一起去看电影，小刚的座位为4排3列，用坐标表示为，若小华的座位为，小明的座位与小刚前后相邻且与小华左右相邻，则小明的座位用坐标表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，根据小刚的座位为4排3列，建立平面直角坐标系，再结合小华的位置即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵小刚的座位为4排3列，用坐标表示为，
∴建立如解图所示的平面直角坐标系，
∵小华的座位为，即3排4列，小明想要与小刚前后相邻且与小华左右相邻，则选择的位置为3排3列，
∴小明的座位为．
故选：C．
10．数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（ ）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．Z（﹣1，2）
【答案】B
【分析】根据题中的新定义解答即可．
【详解】解：由题意，得z＝2 i可表示为Z（2， 1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化
【答案】B
【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果．
【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快；
故选B．
12．一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
【详解】解：由题意知：；
故选：B．
【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
13．如图为艾宾浩斯遗忘曲线，反映的是德国心理学家艾宾浩斯研究人类在学习新事物时记忆的变化规律．结合图象，下列说法错误的是（ ）
A．遗忘的速度是先快后慢
B．一天后记忆保留比率约为最初的
C．学习的新事物一年后会完全忘记
D．学习新事物后20分钟内重新复习有利于回忆和再认
【答案】C
【分析】本题考查了函数图像，解题的关键是从函数图像中获取信息．
根据函数图像获得信息逐项分析即可．
【详解】解：A、根据图象可知，刚开始遗忘的速度比较快，时间越长遗忘速度变慢，故说法正确，不符合题意；
B、根据图象，一天后保留率为，故说法正确，不符合题意；
C、由图象可知，曲线不会与x轴有交点，会无限接近x轴，故不能得到一年后会完全忘记，故说法错误，符合题意；
D、根据图象，20分钟内的保留率比较高，故20分钟内重新复习有利于回忆和再认，故说法正确，不符合题意；
故选：C．
14．激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可．
【详解】解：，
故选：A．
15．东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．
【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，
故适合表示y与t的对应关系的是选项C．
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
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高频考点专练11 平面直角坐标系及函数基本知识
（9个知识点+5个题型+1个专练+验收卷）
一、点的坐标特征
点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0）
在y轴上 （0，y）
在原点 （0，0）
点在各象限的坐标特点 第一象限 （+，+）
第二象限 （–，+）
第三象限 （–，–）
第四象限 （+，–）
象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m）
第二、四象限 （m，-m）
点P（a，b）到坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b|
到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a|
具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2
点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2
点平移后的坐标特征 点（x，y） 向右平移a个单位长度 （x+a，y）
点（x，y） 向左平移a个单位长度 （x–a，y）
点（x，y） 向上平移b个单位长度 （x，y+b）
点（x，y） 向下平移b个单位长度 （x，y–b）
二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
1．横坐标变化，纵坐标不变：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位
2．横坐标不变，纵坐标变化：
原图形上的点（x，y）向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向下平移b个单位
3．横坐标、纵坐标都变化：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位
三、用坐标表示地理位置
1．确定坐标原点
用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度．
2．如何确定x轴与y轴的方向
坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致．
四、用坐标表示平移
1．一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到．
2．对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．
3．在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．
如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度．
五、常量和变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
1．变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．
2．“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．
3．变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．
4．判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．
六、函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：
1．有两个变量．
2．函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
3．函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．
在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．
七、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．
当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
八、函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
1．函数解析式是等式．
2．函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．
3．用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
九、函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
类型1 判断点所在的象限
【例题】
1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式】
2．（2025·广东汕头·二模）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，则点在第________象限．
4．（2024·广东·模拟预测）已知点在第一、三象限的角平分线上，则点在第_______象限．
类型2 已知点所在的象限求参数
【例题】
5．（2025·广东韶关·三模）在平面直角坐标系中，点在第二象限或第四象限，则、的关系是( )
A． B． C． D．
【变式】
6．（2025·广东东莞·三模）若点在x轴上，则__________．
7．（2024·广东河源·二模）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则________．
8．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是______．
9．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________．
类型3 点坐标规律探索
【例题】
10．（2025·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
11．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·广东广州·一模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（ ）
A．2698 B．2699 C．2700 D．2702
13．（2025·广东清远·二模）如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为______．
14．（2025·广东梅州·一模）在直角坐标系中，设动点P从向上运动1个单位至点，然后向左运动2个单位至点，再向下运动3个单位至点，再向右运动4个单位至点，再向上运动5个单位至点，……，如此继续运动下去，则点的横坐标________．
类型4 实际问题中用坐标表示位置
【例题】
15．（2025·广东深圳·二模）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式】
16．（2025·广东广州·二模）如图，在围棋棋盘上建立的平面直角坐标系中，已知黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·广东广州·二模）如图，是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·广东湛江·二模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
类型5 函数的表示方法
【例题】
19．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充
B．摩托车每行驶消耗能量
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶
D．摩托车充满电后，行驶将自动报警
【变式】
20．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）
A．B． C．D．
21．（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
22．（2025·广东汕头·一模）小慧同学为了验证一款智能手机摄像头的放大率（成像长度与实物长度的比值），用一个透镜进行模拟成像实验，得到如题图所示的像距v随物距u变化的关系图象，下列说法不正确的是（ ）
A．物距越大，像距越小
B．当物距为时，像距为
C．当物距为时，透镜的放大率为2
D．当像距为时，透镜的放大率为2
23．（2025·广东佛山·三模）由于连续下雨，某水库的入库水量持续增加，水位直线上升，考虑到水坝安全，水库进行了泄洪．在持续泄洪后，水位仍高于正常水位，为此，管理方把泄洪的速度提高了一倍，按照这样的速度，接下来还需要（ ）才能恢复到水库正常水位？
A．3.6h B．6h C．18h D．24h
满分：80分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共42分）
1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（ ）
A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖
C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖
8．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化
9．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．乙车先到达地 B．、两地相距
C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车
12．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ）
A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同
13．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于
D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小
14．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为
二、填空题（每题3分，共18分）
15．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ．
16．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ．
17．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限．
18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
19．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ．
20．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点：
三、解答题（共20分）
21．（2025·云南·中考真题，10分）已知是常数，函数，记．
(1)若，，求的值；
(2)若，，比较与的大小．
22．（2025·北京·中考真题，10分）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
(1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；
(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练面直角坐标系及函数基本知识验收卷
满分：45分 得分：_____
单选题（每题3分，共45分）
1．如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（ ）
A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F
5．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
8．某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图是一个电影播放厅的平面示意图，小明和小刚、小华一起去看电影，小刚的座位为4排3列，用坐标表示为，若小华的座位为，小明的座位与小刚前后相邻且与小华左右相邻，则小明的座位用坐标表示为（ ）
A． B． C． D．
10．数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（ ）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．Z（﹣1，2）
11．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化
12．一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
13．如图为艾宾浩斯遗忘曲线，反映的是德国心理学家艾宾浩斯研究人类在学习新事物时记忆的变化规律．结合图象，下列说法错误的是（ ）
A．遗忘的速度是先快后慢
B．一天后记忆保留比率约为最初的
C．学习的新事物一年后会完全忘记
D．学习新事物后20分钟内重新复习有利于回忆和再认
14．激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
15．东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是( )
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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