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高频考点专练12 一次函数
（5个知识点+8个题型+1个专练+验收卷）
一、一次函数和正比例函数
1．定义：如果y＝kx＋b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b＝0时，一次函数y＝kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质．
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y＝kx平行的一条直线．它可以由直线y＝kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）．
二、一次函数的图象与性质
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质
y＝kx（k≠0） k＞0 一、三 y随x增大而增大
k＜0 二、四 y随x增大而减小
y＝kx＋b（k≠0） k＞0b＞0 一、二、三 y随x增大而增大
k＞0b＜0 一、三、四
k＜0b＞0 一、二、四 y随x增大而减小
k＜0b＜0 二、三、四
三、一次函数与方程（组）、不等式的关系
一元一次方程 关于x的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
二元一次方程组 关于x，y的二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标．
一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx＋b＞0（＜0）的解集是以直线y＝kx＋b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围．
四、一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】（1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”；（2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到
向上平移个单位
向下平移个单位
向左平移个单位
向右平移个单位
【拓展】
同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系
的关系 与的关系
与相交
， 与相交于轴上的一点
， 与平行
五、一次函数的实际应用
1．一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用．
2．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案．
3．利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题．
4．求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
类型1 正比例函数的图象与性质
【例题】
1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．（2025·广东广州·二模）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 6 …
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东东莞·三模）某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（ ）
A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者
类型2 一次函数的图象与性质
【例题】
5．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
6．（2025·广东茂名·模拟预测）初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（ ）
A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航
7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图所示的函数图像所对应的一次函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
9．（2025·广东东莞·二模）已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（ ）
A． B． C． D．
类型3 一次函数与一元一次方程
【例题】
11．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
12．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
类型4 一次函数与一元一次不等式
【例题】
15．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
16．（2025·广东肇庆·二模）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·广东深圳·一模）一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·广东韶关·一模）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
类型5 一次函数与二元一次方程组
【例题】
19．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随x的增大而增大
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
【变式】
20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．，
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
21．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，两条直线和相交于点，作直线关于轴对称的直线，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（ ）
A．方程组的解为
B．
C．为直角三角形
D．当的值最小时，点的坐标为
类型6 一次函数的实际应用之分配方案问题
【例题】
23．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
【变式】
24．（2022·广东珠海·二模）某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到某市，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资；这20辆货车恰好装完这批物资．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)已知这两种货车的运费如表：
出发地车型 A地（元/辆） B地（元／辆）
大货车 600 700
小货车 300 500
要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．设从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），这20辆货车的总运费为w元，求总运费w的最小值．
25．（2023·广东佛山·模拟预测）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等．
(1)求A、B两种品牌足球的单价；
(2)若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，A品牌足球的数量不少于63个，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
26．（2023·广东清远·二模）我国人民万众一心，共同抗疫．某蔬菜基地要把青瓜、包菜送往疫情严重的某地，已知装青瓜的A货车比装包菜的B货车每辆的运费少元，辆A货车与辆B货车的运费相同．
(1)求每辆A货车、B货车的运费；
(2)该基地所租车辆为10辆，已知每辆A货车可载3吨青瓜，B货车可载2吨包菜，计划运送的青瓜数量不多于包菜数量的2倍，如何租车使得费用最少？
类型7 一次函数的实际应用之最大利润问题
【例题】
27．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
(1)求与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【变式】
28．（24-25八年级下·广东广州·期末）某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同．
(1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？
29．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
30．（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表：
价格
进价（元件）
售价（元件）
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？
31．（2025·广东湛江·二模）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系．
(1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）
(2)葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？
类型8 一次函数的实际应用之行程问题
【例题】
32．（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点．
(1)求，两地之间的距离及的值；
(2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；
(3)求两机器人出发多长时间时相距1米？
【变式】
33．（2025·广东广州·一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)__________米/秒，__________秒；
(2)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
(3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
34．（2024·广东·模拟预测）某校为培养学生劳动意识，将劳动课正式设为一门独立课程，其中日常生活劳动分为四类：A清洁与卫生，B整理与收纳，C烹饪与营养，D家用器具使用与维护．学校对学生最喜欢的劳动类型进行了调查，每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据：A B B B C A B D A B B D B C B B C B C C，将调查结果绘制成如图1所示的不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
(1)在本次调查中，选择C类的女生有________名，选择D类的男生有________名；补全条形统计图．
(2)如图2，学校从被调查的学生中选出2名同学去离学校的博览会作为志愿者，分别表示甲、乙两名同学离学校的距离与时间之间的函数关系，那么当甲、乙两人相遇时，他们距离学校多远？
35．（2023·广东江门·三模）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．
(1)轮船的速度是______千米/时，快艇的速度是______千米/时；
(2)分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；
(3)快艇出发多长时间赶上轮船？
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可）
10．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
11．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
12．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ．
13．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
三、解答题（共81分）
14．（2025·上海·中考真题,10分）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．
(1)求关于的函数解析式并写出定义域；
(2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？
15．（2025·吉林·中考真题,10分）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的
密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，；
当小铝块浸入液面后，．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
(2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式．
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值．
16．（2025·宁夏·中考真题,10分）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
(1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
(2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
17．（2025·江苏镇江·中考真题,10分）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）；
(2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
18．（2025·山东·中考真题,10分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
19．（2025·陕西·中考真题,10分）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．
20．（2025·山东东营·中考真题,10分）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：
x（元/个） … 52 53 54 55 …
y（个） … 760 740 720 700 …
(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？
21．（2025·山东济南·中考真题,11分）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
一次函数验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
3．已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
4．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
5．已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
7．如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，将点B绕着点A顺时针旋转得到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（ ）
A．3 B． C．2 D．0
10．如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．10
二、填空题（每题3分，共15分）
11．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
12．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为 ．
… 1 2 3 4 5 …
… 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 …
13．如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点和，若直线与线段有交点，则的取值范围是 ．
15．如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）．
三、解答题（共75分）
16．（10分）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系．
1 2
1 0
2
画出的图象如下．
(1)求a和b的值．
(2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象．
(3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值．
17．（10分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
18．（10分）某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，零件分为大、中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统计图所示．
设加工大型零件的工人为名，加工中型零件的工人为名，
(1)求与的函数关系式；
(2)若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数．
19．（10分）传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．”小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．”小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；
(2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？
20．（10分）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；
(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
21．（12分）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计）
(1)图中______，______，小球的速度为______．
(2)求图2中直线的函数解析式．
(3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值．
22（13分）．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线．
(1)点C的坐标为___________；
(2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P；
(3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值；
(4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值．
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高频考点专练12 一次函数
（5个知识点+8个题型+1个专练+验收卷）
一、一次函数和正比例函数
1．定义：如果y＝kx＋b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b＝0时，一次函数y＝kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质．
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y＝kx平行的一条直线．它可以由直线y＝kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）．
二、一次函数的图象与性质
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质
y＝kx（k≠0） k＞0 一、三 y随x增大而增大
k＜0 二、四 y随x增大而减小
y＝kx＋b（k≠0） k＞0b＞0 一、二、三 y随x增大而增大
k＞0b＜0 一、三、四
k＜0b＞0 一、二、四 y随x增大而减小
k＜0b＜0 二、三、四
三、一次函数与方程（组）、不等式的关系
一元一次方程 关于x的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
二元一次方程组 关于x，y的二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标．
一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx＋b＞0（＜0）的解集是以直线y＝kx＋b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围．
四、一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】（1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”；（2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到
向上平移个单位
向下平移个单位
向左平移个单位
向右平移个单位
【拓展】
同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系
的关系 与的关系
与相交
， 与相交于轴上的一点
， 与平行
五、一次函数的实际应用
1．一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用．
2．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案．
3．利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题．
4．求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
类型1 正比例函数的图象与性质
【例题】
1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案．
【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点，
∴，得，
∴，
当时，，故选项不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C符合题意；
当时，，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式】
2．（2025·广东广州·二模）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 6 …
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数解析式，读懂表格信息是关键；
观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，进而求解.
【详解】解：观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，且函数关系式是；
故选：A.
3．（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，是解决问题的关键．
将点代入正比例函数，得正比例函数的解析式为．根据正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，逐项判断．
【详解】∵函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
A．，
时，，
∴的图象不经过点；
B．，
时，，
∴的图象经过点；
C．，
时，，
∴的图象不经过点；
D．，
时，，
∴的图象不经过点．
故选：B．
4．（2025·广东东莞·三模）某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（ ）
A．贝拉 B．艾米 C．思睿 D．尊者
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图象判断贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人的横、纵坐标的比值大小即可．利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：如图，
由图可得连接原点和四个点中的直线中，经过思睿的直线最陡，
这四款机器人中选一款生产效率最高的是思睿，
故选：C．
类型2 一次函数的图象与性质
【例题】
5．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得
∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，
∴把代入得，解得；
把代入得，解得；
则，
故选：D．
【变式】
6．（2025·广东茂名·模拟预测）初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（ ）
A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象的性质，解题的关键是根据一次函数的系数找出函数图象经过的象限．
【详解】在中，，，
直线经过第一、二、四象限．
故选：C．
7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图所示的函数图像所对应的一次函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图像和性质．
直接根据一次函数的图像与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：通过图像可知，随的增大而减小，
∴；
通过图像可知，直线与轴交于正半轴，
∴；
通过图像可知，直线与轴的交点到原点的距离，比直线与轴的交点到原点的距离大，
得出；
∴只有选项C符合题意，
故选：C．
8．（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为；
点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，
把点、代入，
得：，
解得：，，
故选：A．
9．（2025·广东东莞·二模）已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质．欲求与的大小关系，通过题中即可判断随着的增大而减少，就可判断出与的大小．
【详解】解：，
，
随着的增大而减少，
点，在一次函数的图象上，，
，
故选：C．
10．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一次函数的定义，根据题意得当时，，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程（）一个根，
∴
∴
∴一次函数的图象必过定点
故选：B．
类型3 一次函数与一元一次方程
【例题】
11．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为
【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点，
关于x的方程的解为．
故选：C．
【变式】
12．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可．
【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，，
直线一定经过点，
故选：C．
13．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把代入，得：，
解得：，
∴点P的坐标为，
∵一次函数与的图象相交于点P，
∴关于x的方程的解是．
故选：B．
14．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围．
【详解】解：关于的方程有三个不同的实根，
与有三个不同的交点，
有恒过点，
如下图：
当过点时，，
当过点时，，
当过点时，，
当过点时，，
关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ．
故选：D．
类型4 一次函数与一元一次不等式
【例题】
15．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
【变式】
16．（2025·广东肇庆·二模）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，．
【详解】解：直线经过点和，
可得：，
解得：，
为，
当时，，
一次函数与的交点坐标是，
由图象可知，一次函数的随增大而减小，
当时，．
故选：A．
17．（2022·广东深圳·一模）一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
在P点右侧的图像在的下方，
∴不等式的解集为：，
故选C．
【点睛】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像．
18．（2025·广东韶关·一模）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与不等式，先求出的值，根据图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：把代入，得：，
∴，
∵，
∴，
由图象可知：；
故选A．
类型5 一次函数与二元一次方程组
【例题】
19．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随x的增大而增大
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意；
B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象得：当时，，故本选项符合题意；
D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式】
20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．，
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
根据两个一次函数与y轴的交点坐标即可求出，，进而判断A选项；由图象得到两条直线交于点，即可判断C选项；然后利用三角形面积公式求解即可判断B选项；根据图象得到当时，，且的图象在图象的上面，进而求解即可．
【详解】解：∵一次函数与y轴交于点，
∴，
∵一次函数与y轴交于点，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵一次函数与的图象交于点，
∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
∵一次函数与的图象交于点，
∴关于的方程组的解为，故C选项正确，不符合题意；
由图象可得，当时，，且的图象在图象的上面，
∴当从0开始增加时，函数比的值先达到3说法错误，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
21．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，两条直线和相交于点，作直线关于轴对称的直线，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是明确“两直线的交点坐标就是对应方程组的解”．先求出直线，直线，再求出直线与x轴交于点，由作直线关于轴对称的直线，则直线过点，进而求出直线，根据两直线交点坐标与方程组解的关系，解方程组即可．
【详解】解：∵直线和相交于点，
∴，
解得，
∴直线，直线，
令，解得，
∴直线与x轴交于点，
作直线关于轴对称的直线，则直线过点，
将点代入，则，
解得，
∴直线，
解方程组，
解得，
故选：C．
22．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（ ）
A．方程组的解为 B．
C．为直角三角形 D．当的值最小时，点的坐标为
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称-最短路径问题，勾股定理及逆定理，正确地求得函数解析式是解题的关键．、根据题意得到方程组的解为，故不符合题意；、把，代入解方程组得到直线，求得直线的解析式为，把，代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；、解方程得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到为直角三角形；不符合题意；、作点故轴的对称点连接交轴于此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，得到，不符合题意，据此解答即可．
【详解】解：、直线与直线都经过，
方程组的解为，故此选项正确，不符合题意；
、直线交轴于点，交轴于点，直线经过，
，解得，，
直线，
直线直线且经过原点，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
直线，
解得，
，
在中，令，则，解得，
，
，故此选项错误，符合题意；
、在中，令，则，
，
，
，，
，
，
，
为直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
、直线交轴于点，
，
如图，过点作轴的对称点连接交轴于，此时，的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，故此选项正确，不符合题意；
故选：．
类型6 一次函数的实际应用之分配方案问题
【例题】
23．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
【变式】
24．（2022·广东珠海·二模）某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到某市，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资；这20辆货车恰好装完这批物资．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)已知这两种货车的运费如表：
出发地车型 A地（元/辆） B地（元／辆）
大货车 600 700
小货车 300 500
要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．设从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），这20辆货车的总运费为w元，求总运费w的最小值．
【答案】(1)大货车有8辆，小货车有12辆；
(2)9700元．
【分析】（1）设大货车有a辆、小货车有b辆，某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到某市，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，列出方程组，求解即可；
（2）根据题意求出w与n的函数关系式，再根据从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），大货车一共8辆，可以得到n的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到总运费w的最小值．
【详解】（1）解：（1）设大货车有a辆、小货车有b辆，
由题意得：，
解得：，
答：大货车有8辆，小货车有12辆；
（2）解：由从A地出发的大货车有n辆，则从A地出发的小货车有（12﹣n）辆，
从B地出发的大货车有（8﹣n）辆，从B地出发的小货车有[12﹣（12﹣n）]＝n辆，
由题意得：w＝600n+300（12﹣n）+700（8﹣n）+500n＝100n+9200，
∴y随x的增大而增大，
∵从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），大货车一共8辆，
∴5≤n≤8，
∴当x＝5时，y有最小值，此时y＝100×5+9200＝9700，
答：总运费最小值为9700元．
【点睛】此题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找出等量关系，列出方程组；（2）求出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
25．（2023·广东佛山·模拟预测）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等．
(1)求A、B两种品牌足球的单价；
(2)若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，A品牌足球的数量不少于63个，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)购买品牌足球的单价为100元，则购买品牌足球的单价为80元
(2)该队共有3种购买方案，购买63个品牌27个品牌的总费用最低，最低费用是8460元
【分析】（1）设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据总价单价数量，结合总价不超过8500元，以及A品牌足球的数量不少于63个，即可得出关于的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：购买品牌足球的单价为100元，则购买品牌足球的单价为80元；
（2）解：设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，
则，
品牌足球的数量不少于63个，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，
，
解不等式组得：，
为整数，
所以，的值为 63或64或65，
即该队共有3种购买方案，
，
随的增大而增大，
当时，最小，
时，（元，
答：该队共有3种购买方案，购买63个品牌27个品牌的总费用最低，最低费用是8460元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26．（2023·广东清远·二模）我国人民万众一心，共同抗疫．某蔬菜基地要把青瓜、包菜送往疫情严重的某地，已知装青瓜的A货车比装包菜的B货车每辆的运费少元，辆A货车与辆B货车的运费相同．
(1)求每辆A货车、B货车的运费；
(2)该基地所租车辆为10辆，已知每辆A货车可载3吨青瓜，B货车可载2吨包菜，计划运送的青瓜数量不多于包菜数量的2倍，如何租车使得费用最少？
【答案】(1)每辆A货车的运费为元，每辆B货车的运费为元
(2)安排A货车4辆，B货车6辆时费用最少
【分析】（1）设每辆B货车的运费为元，则每辆A货车的运费为元，则由题意得，，求解值，进而可得结果；
（2）设A货车有辆，则B货车有辆，总费用为，则由题意得，，解得，总费用，整理得，，根据一次函数的性质确定费用最小时的值，进而可得结果．
【详解】（1）解：设每辆B货车的运费为元，则每辆A货车的运费为元，
则由题意得，，
解得，
∴，
∴每辆A货车、B货车的运费分别为、元；
（2）解：设A货车有辆，则B货车有辆，总费用为，
则由题意得，，解得，
总费用，整理得，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，
∴，
∴安排A货车4辆，B货车6辆时费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
类型7 一次函数的实际应用之最大利润问题
【例题】
27．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
(1)求与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】(1)当时，；当时，
(2)选甲家商店能购买该水果更多一些
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论
【详解】（1）解：当时，设，
将代入，得，
∴，
∴；
当时，设，将点，代入，得
，解得，
∴
（2）当时，，解得；
当时，，解得，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键．
【变式】
28．（24-25八年级下·广东广州·期末）某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同．
(1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？
【答案】(1)型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元
(2)购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出方程与不等式是解题的关键．
（1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意，列出不等式，得到a的取值范围，再得到w关于a的函数关系式，然后一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
，
答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元；
（2）解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意得：
，
解得：，
，
根据题意得：，
，
随着的增大而增大，
时，最小，，
答：购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元．
29．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键：
（1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（元）．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元．
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
根据题意，得，
解得．
设共花费w元，
则，
∵，
∴w随m的减小而减小，
∵，
∴当时，w值最小．
，
（台）．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
30．（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表：
价格
进价（元件）
售价（元件）
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？
【答案】(1)每枚糯米咸鹅蛋的进价是元，每个肉粽的进价是元
(2)为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元
【分析】设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，根据，两种组合的进价，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，根据准备的两种组合的总件数不超过件，列出关于的一元一次不等式，解之得出的取值范围，再设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件组合的销售利润准备数量每件组合的销售利润准备数量，列出关于的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元；
（2）设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，
根据题意得：，
解得：，
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
31．（2025·广东湛江·二模）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系．
(1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）
(2)葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？
【答案】(1)
(2)尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元
【分析】题目主要考查一次函数与一元二次方程的应用，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）直接根据题意列一元二次方程求解，并取最小解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系是，
根据题意，可得，解得：
故与之间的函数关系式是．
（2）解：由题意得：．
解得：，．
∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低，
∴．
答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元．
类型8 一次函数的实际应用之行程问题
【例题】
32．（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点．
(1)求，两地之间的距离及的值；
(2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；
(3)求两机器人出发多长时间时相距1米？
【答案】(1)s的值为12，a的值为1.5
(2)，图象见解析
(3)两机器人出发2秒或5秒时相距1米
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据路程速度时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4秒钟的行程后2秒的行程A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值；
（2）根据路程速度时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可；
（3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可．
【详解】（1）解：A，B两地之间的距离（米），
根据题意，得，
解得，
∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．
（2）解：前4秒时，，
当时，，
则后2秒时，，
∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
其图象如图所示：
（3）解：乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米．
【变式】
33．（2025·广东广州·一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)__________米/秒，__________秒；
(2)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
(3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
【答案】(1)4；15
(2)
(3)6秒或秒
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．
【详解】（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，解得，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
二、解答题
34．（2024·广东·模拟预测）某校为培养学生劳动意识，将劳动课正式设为一门独立课程，其中日常生活劳动分为四类：A清洁与卫生，B整理与收纳，C烹饪与营养，D家用器具使用与维护．学校对学生最喜欢的劳动类型进行了调查，每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据：A B B B C A B D A B B D B C B B C B C C，将调查结果绘制成如图1所示的不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
(1)在本次调查中，选择C类的女生有________名，选择D类的男生有________名；补全条形统计图．
(2)如图2，学校从被调查的学生中选出2名同学去离学校的博览会作为志愿者，分别表示甲、乙两名同学离学校的距离与时间之间的函数关系，那么当甲、乙两人相遇时，他们距离学校多远？
【答案】(1)2，1．补全的条形统计图见解析
(2)距离学校
【分析】本题考查了统计图表的解读与数据计算、一次函数的解析式求解及交点的实际应用。解题的关键是：（1）利用调查总人数与各类别已知人数的关系计算未知数据，补全条形统计图；（2）根据函数图象上的点坐标求一次函数解析式，通过联立解析式求交点，得出相遇时距离学校的距离。
（1）从条形统计图中直接读取选择C类的女生人数；根据总调查人数为20，用总人数依次减去A、B、C、D各类中已明确的男女生人数，计算出选择D类的男生人数，进而补全条形统计图；
（2）先判断（甲的距离-时间函数）为一次函数、（乙的距离-时间函数）为正比例函数，分别利用图象上的点坐标求两者的解析式；联立两个解析式求解方程组，得到交点的纵坐标，即相遇时距离学校的距离。
【详解】（1）解：从图1可知，C类的女生有2名．
∵每个被调查的学生均必须选且只能选一类，一共收集到了20份数据，
∴被调查学生的总人数为20人，
∴D类的男生有（人）．
故答案为：2，1．
补全的条形统计图如下．
（2）设的解析式为．
将点，代入，得
解得
∴的解析式为．
设的解析式为．将点代入，得．
∴的解析式为
将与的解析式联立，得
解得
答：当甲、乙两人相遇时，他们距离学校．
35．（2023·广东江门·三模）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(直线)．
(1)轮船的速度是______千米/时，快艇的速度是______千米/时；
(2)分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；
(3)快艇出发多长时间赶上轮船？
【答案】(1)，
(2)表示轮船行驶过程的函数解析式为：；表示快艇行驶过程的解析式为：
(3)
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出轮船和快艇的速度；
（2）待定系数法求解析式即可求解；
（3）设快艇出发与轮船相遇，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）轮船的速度为：，快艇的速度为：，
故答案为：，；
（2）解：设表示轮船行驶过程的解析式为，将点代入得，，
∴表示轮船行驶过程的函数解析式为：，
设表示快艇行驶过程的解析式为：，将代入得，
，
解得：
∴表示快艇行驶过程的解析式为：
（3）设快艇出发与轮船相遇，
，
得，
故答案为：；
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键．
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可．
【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意；
B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；
C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；
D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意；
故答案为：D．
2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键．
【详解】∵一次函数过，
把代入得，即．
又随的增大而增大，
．
选项A：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项B：点，代入得，
把代入得，
化简得，不满足，舍去．
选项C：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，不满足，舍去．
选项D：点，代入得，
把代入得，
化简得，解得，满足．
综上，只有选项D符合条件，
故选：．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案．
【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，
∴向右平移3个单位得，
∴函数与轴的交点坐标为，
∵，
∴结合图象可得：，
故选：C．
4．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴当时，，
选项中只有3符合要求，
故选：A．
5．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，
∴，
根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
根据题意可知，即可得出随的增大而增大．
【详解】解：，，
随的增大而增大，
，
∴经过一，三象限
∴B符合条件，C，D不符合条件
∵直线，
∴直线经过原点
点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合，
故选：．
7．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，，与矛盾，
当时，， ，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
当时，，，与矛盾，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
8．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，代入
∴
∴
∴直线的解析式为
∵，
A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，
B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，
C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，，
∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，
D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意，
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解．
【详解】解：当时，，
∴的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
10．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系．
明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解．
【详解】∵直线与直线交于点，
∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式，
即方程组的解为点A的坐标．
故答案为：．
11．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一，满足即可）
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为：，
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
∴，
∴；
∴的值可以是2；
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
12．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键．
【详解】解：当时，，，
∵直线与直线的交点在轴上，
∴，
∴．
13．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【答案】6（答案不唯一，大于5均可）
【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解．
【详解】解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
三、解答题（共81分）
14．（2025·上海·中考真题,10分）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．
(1)求关于的函数解析式并写出定义域；
(2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域；
（2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
把代入中得，
∴，
∴关于的函数解析式为，
当时，，
∴；
（2）解；由（1）可得当时，，
∴加满水时，，
∴
答：当水加满时，储水装置内水的温度为．
15．（2025·吉林·中考真题,10分）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的
密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，；
当小铝块浸入液面后，．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
(2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式．
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值．
【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为；
(2)；
(3)，．
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）直接根据图②作答即可；
（2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可；
（3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可．
【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为；
（2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，
由图可知经过，
分别将，代入得：
，
解得：，
∴；
（3）解：由题意可知小铝重为，
将代入得，
则，即；
则使乙液体中的小铝块所受的浮力为，
∴，
设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，
由图可知经过，
分别将，代入得：
，
解得：，
即，
将代入得：，
解得：，
∴深度为．
16．（2025·宁夏·中考真题,10分）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
(1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
(2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．
(2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元．
【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键．
（1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可；
（2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个，
由题意列方程得：，
∴，
∵，均是正整数，
∴当时，，
当时，，
答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．
（2）解：设大号编织个，则小号编织个，
则，
解得，
∵为正整数，
∴，
设总利润为元，则
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元．
17．（2025·江苏镇江·中考真题,10分）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）；
(2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
【答案】(1)
(2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个；
预测我国2025年发明专利申请授权数万个
【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意列式求解即可；
（2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可．
【详解】（1）解：
∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为；
（2）解：将，代入得，
，
解得，
∴；
其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个；
当时，，
∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个．
18．（2025·山东·中考真题,10分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？
【答案】(1)
(2)注水5小时可供发电万千瓦时．
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．
（1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可；
（2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式．
（2）解：根据题意，得，
解得．
答：注水5小时可供发电万千瓦时．
19．（2025·陕西·中考真题,10分）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答．
【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为，
把代入，
，
，
当时，，
即点坐标为，
设所在直线的函数表达式为
得，
解得，
∴所在直线的函数表达式为；
（2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为；
依题意，当时，
解得，
，
该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为．
20．（2025·山东东营·中考真题,10分）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：
x（元/个） … 52 53 54 55 …
y（个） … 760 740 720 700 …
(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？
【答案】(1)
(2)60元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
（1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可．
（2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数．
设y与x的函数表达式为，
把，分别代入，得
，解得
∴y与x的函数表达式为．
（2）解：根据题意，得，
∴．
整理，得．
解得，．
∵，
∴．
答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元．
21．（2025·山东济南·中考真题,11分）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元
(2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可．
本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数，
根据题意，得，
由，得随a的增大而减小，
故当时，取得最小值，且最小值为（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
一次函数验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数图象与性质，由直线经过第一、三象限，得到，解不等式即可确定答案，熟记正比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：直线经过第一、三象限，
，解得，
由四个选项中的数值可知，满足，
故选：D．
2．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式．
【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数，
设，
把时，；时，代入得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故选：A．
3．已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据直线经过点得，进而可判断出函数的增减性，再由即可得出结论．
【详解】解：∵经过点，即：，
∴，
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴．
故选：B．
4．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，
，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴是的正比例函数，
∵，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
5．已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点代入一次函数，根据可求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解.
【详解】解：将点代入一次函数，
，
，
，
，
.
，
.
不等式两边同时除以得.
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质.
6．某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【答案】B
【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解．
【详解】解：设，分别将和代入可得：
，
解得 ，
∴，
当时，，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．
7．如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用待定系数求函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组．
利用待定系数法即可求出函数的解析式．
【详解】从图示来看，点P和Q的坐标分别是、，
设直线l的解析式为，将点P和Q的坐标代入直线l的解析式得：，
∴．
∴直线l的解析式为．
故选：D．
8．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，将点B绕着点A顺时针旋转得到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明，再求得，，从而可得点的坐标．
【详解】解：直线，
当时，；
当时，，解得，
∴，．
过点作x轴的垂线，垂足为点H，
则，
∴，
∵将点B绕着点A顺时针旋转得到点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形与坐标，旋转的性质，直角三角形的两个锐角互斜，解题关键是找准全等三角形证明线段相等．
9．如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（ ）
A．3 B． C．2 D．0
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质，由于P的纵坐标为1，故点P在直线y=1上，要求符合题意的m值，则P点为直线与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【详解】解：∵点是内部（包括边上）的一点，
故点P在直线上，如图所示，
当P为直线与直线的交点时，m取最大值，
当P为直线与直线的交点时，m取最小值，
由解得，即m的最大值为2；
由解得，即m的最小值为．
∴只有0符合题意，
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握时直线与轴所夹锐角为．
通过图象中可得直线运动到三点时所移动距离，从而求出长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解．
【详解】解：由图象可知，直线经过时移动距离为3，经过时移动距离为7，经过时移动距离为8，
，
如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点，
由图2可知，
∵轴，直线
∴直线与夹角为，，
，
∴面积为．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一，满足即可）
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为：，
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
∴，
∴；
∴的值可以是2；
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
12．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为 ．
… 1 2 3 4 5 …
… 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 …
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设水位和时间的一次函数解析式为，根据表格代入数据解方程组即可求出解析式，将代入即可求解．
【详解】解：设水位和时间的一次函数解析式为，
根据表格得，
解得，
一次函数解析式为，
当，．
故答案为：．
13．如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，先求出A、B的坐标，然后根据三线合一的性质求出，则可求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线l的函数表达式为，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点和，若直线与线段有交点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，分别把点的坐标分别代入得的值，根据一次函数的性质得到的取值范围，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：当点在上时，
∴，解得，
当在代入上时，，
∵直线与线段有交点，
∴的取值范围或，
故答案为：或．
15．如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据、、、的表达式的规律，相加后进行化简计算即可，根据点的坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵；
；
；
；
；
∴
，
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16．（10分）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系．
1 2
1 0
2
画出的图象如下．
(1)求a和b的值．
(2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象．
(3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)，图见详解
(3)
【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用待定系数法求出函数解析式是关键；
（1）根据表格信息建立方程组求解的值；
（2）把代入求出，再由表格画图即可；
（3）求出A，B两点纵坐标，再根据点A，B关于轴对称，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，即，
，解得：
（2）解：当时，，
∴，
画图如下：
（3）解：令，则，，
当点A，B关于轴对称时，，
解得：．
17．（10分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，
∴当直线与直线平行时，，
∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，
∴m的取值范围为．
18．（10分）某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，零件分为大、中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统计图所示．
设加工大型零件的工人为名，加工中型零件的工人为名，
(1)求与的函数关系式；
(2)若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数．
【答案】(1)
(2)加工小型零件的工人人数为5
【分析】（1）根据题意，得，变形解答即可；
（2）由题意得，这批零件的总成本为解答即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
即，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意得，这批零件的总成本为，
即，
解得.
加工小型零件的工人人数为
19．（10分）传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．”小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．”小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；
(2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？
【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人
(2)八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，
（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出，再表示出，结合一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人．
根据题意得，
解得．
答：每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人．
（2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元．
根据题意得，
解得，
．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最小值，
∴．
答：八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少．
20．（10分）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；
(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】(1)
(2)
(3)没有超速
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：，解得：．
故答案为：．
（2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：，解得：，
∴．
（3）解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴辆汽车减速前没有超速．
21．（12分）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计）
(1)图中______，______，小球的速度为______．
(2)求图2中直线的函数解析式．
(3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值．
【答案】(1)24，120，10；
(2)
(3)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）根据中点的定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时，
∴小球的速度为．
∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，
∴．
故答案为：24，120，10；
（2）解：直线的函数解析式为，把代入，得
，
解得，
∴；
（3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得
，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴，
解得，
∴t的值为．
22（13分）．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线．
(1)点C的坐标为___________；
(2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P；
(3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值；
(4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)k的值为0或或
(4)或
【分析】（1）根据题意并结合图形即可得出答案；
（2）求出当时，，即可得解；
（3）分情况一次函数分别平行，和过点C，求解即可；
（4）分两种情况：当直线与 交于点M，与x轴交于点N时，当直线交边于点Q时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴于点C．
∴点C的坐标为；
（2）解：∵P的坐标为，
∴对，
当时，
，
∴一次函数的图象一定过点P；
（3）解：∵直线、直线、直线不能组成三角形，
∴当直线平行时，；
当直线平行时，
设直线的函数解析式为．
∵轴，,
∴，
将，代入解析式，得，
解得，
∴，符合题意；
当直线过点时，
，解得，符合题意．
综上，k的值为0或或；
（4）解：∵轴，轴，，
∴四边形为矩形，
∴面积为，
∵直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为，
∴，；
如图1，设直线与 交于点M，与x轴交于点N，
∵直线解析式为，
∴代入得，
∴，
∴，
∵x轴解析式为，
∴代入得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
检验是方程的解，符合题意；
当直线交边于点Q时，
∵边的解析式为，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
检验，都是方程的解，
时，，
时，，不合题意，舍去，
∴，
综上，或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标与图形．熟练掌握一次函数的性质，矩形的判定和性质，面积，三角形和公式，平行线性质，函数与方程和关系，分类讨论，是解此题的关键．
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