8.3.1完全平方公式-课件(共44张PPT)--2025-2026学年沪科版数学七年级下册

(共44张PPT)
沪科版数学7年级下册培优精做课件8.3.1完全平方公式第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
复习回顾
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q)
=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则
计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
探究
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
观察上面的等式，你能发现什么规律？
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
原算式有什么共同点？
探究
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
均为两个数的和的平方.
探究
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
m2+2·m·2+22
p2+2·p·1+12
原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？
两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.
探究
能否将发现的规律用式子表示出来？
猜想
(a+b)2=a2+2ab+b2
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
m2+2·m·2+22
p2+2·p·1+12
你能对发现的规律进行推导吗？
探究
猜想
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能对发现的规律进行推导吗？
探究
(a+b)2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
多项式乘法法则
合并同类项
两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
猜想
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方公式
能类比两数和的完全平方公式的推导过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a b)2=？
思考
法一：
(a b)2=(a b)(a b)
=a2 ab ab+b2
=a2 2ab+b2
法二：
(a b)2=[a+( b)]2
=a2+2·a·( b)+( b)2
=a2 2ab+b2
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
完全平方公式
(a b)2=a2 2ab+b2
归纳
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
符号语言
文字语言
你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
思考
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.四人一组，交流思路，完善过程.
3.学生分组展示过程.
你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
思考
+
a2
ab
ab
b2
=
+
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
思考
(a b)2
=
(a b)b
(a b)b
b2


a2 2(a b)b b2
(a b)2=
a2 2ab+b2
观察这两个公式，回答下面的问题：
(1) 积的次数和项数分别是多少？
(2) 两个公式中的积有相同的项吗？与a、b有什么关系？
(3) 两个公式中的积中不同的是哪一项？与a、b有什么关系？它的符号与什么有关？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2 = a2 2ab+b2
观察
都是二次三项式
积中两项为a、b的平方和
一项为a、b的积的2倍，符号与a、b中间的符号相同
归纳
完全平方公式
公式的特征
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；
公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2 = a2 2ab+b2
1
2
3
4
口诀：
首平方，尾平方；
积的二倍放中央，
符号与前一个样.
(a + b)2 = a2 + 2 a b +b2
利用乘法公式计算：
(1) (2x + y)2； (2) (3a – 2b)2
(2x+y)2 =
= 4x2+4xy+y2
(2x) 2+2·2x·y + y2
解：(1)
典型例题
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
利用乘法公式计算：
(1) (2x + y)2； (2) (3a – 2b)2
(3a – 2b)2 =
(3a) 2 – 2· 3a· 2b + (2b)2
= 9a2 – 12ab + 4b2
典型例题
解：(2)
知识点1 完全平方公式的特征
1. 下列算式能用完全平方公式计算的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 若是关于的完全平方式，则
________.
或7
知识点2 完全平方公式的几何解释
3. （1）如图，分别在图①、图②的相应位置写出各部分的
面积；
（2）根据总面积与各部分面积之间的关系，写出两个等式.
由图①写出的等式是 ______________，由图②写
出的等式是 ______________.
知识点3 完全平方公式的应用
4. 计算 的结果为( )
C
A. B.
C. D.
5. 若，，则 ( )
C
A. B. C. D.
【点拨】因为，，所以 .
6. （1）已知，，则 ____；
（2）已知，，则
____；
（3）已知 ,则
___.
29
8
名师点金
完全平方公式 的特点：
1.左边是两个数（或式子）的和（或差）的平方；
2.右边是这两个数（或式子）的平方和,再加上（或减去）这
两个数（或式子）乘积的2倍,可简记为“首平方，尾平方，首
尾2倍在中央”.
. .
. .
7. 运用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆
成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整
千与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数
的和或差.
. .
. .
. .
8. [2025乐山] 先化简，再求值： ，其中
.
【解】 ，
当时，原式 .
易错点 对完全平方公式的特征理解不透而致错
9. 已知，，则 ___.
1
10. 将多项式 加上一个整式，使它成为完全平方式，
则下列不满足条件的整式是( )
D
A. B. C. D.
11. （1）若,则 ___;
2
【点拨】已知等式两边平方得 ,则
.
（2）设,,.若,,则
____.
【点拨】 .
12. 若,求
的值.
解：因为 ,所以
.所以， ，所以
,.所以 .
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若,则 的值为____；
【点拨】原等式可化为 ,所以
，.所以 .所以
.
（2）试说明：不论， 取什么值，多项式
的值总是正数；
【解】 .
因为, ,所以
.所以不论， 取什么值，多项式
的值总是正数.
（3）已知,,是不等边三角形 的三边长，满足
，且是三角形 的最大边长，则
的取值范围为 ______________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________.
【点拨】因为
,所以
.所以
.所以， .所以
,.又因为三角形为不等边三角形且 是最大边
长,所以的取值范围为 .
13. 【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平
方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数
的平方和.
【验证】 如 ，10为偶数，请把10的
一半表示为两个正整数的平方和.
【解】10的一半为5， .
【探究】 设【发现】中的两个已知正整数为, ，请说明
【发现】中的结论正确.
.
故两个已知正整数， 的和与其差的平方和一定是偶数，且
该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
14. 两个边长分别为和 的正方形按如图①
所示的方式放置，其未叠合部分（阴影）的面积为 ，若再
在图①中大正方形的左下角摆放一个边长为 的小正方形
（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为 .#1
（1）用含,的代数式分别表示：________，
_______________；
（2）若，，求 的值；
【解】 .
因为， ，
所以 .
（3）当 时，求出图③中阴影部分的面积
（即 的值）.
由题图③可得
，
，
所以 .
因为
，所以 .
完全平方公式的特征：
完全平方公式：
完
全
平
方
公
式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；
公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
1
2
3
4