8.3.2平方差公式-课件(共36张PPT)--2025-2026学年沪科版数学七年级下册

(共36张PPT)
沪科版数学7年级下册培优精做课件8.3.2平方差公式第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
复习回顾
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q)
=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则
计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
x2 1
m2 4
4x2 1
观察上面的等式，你能发现什么规律？
下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
x2 1
m2 4
4x2 1
均为相同的两个数的和、两个数的差的形式.
相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？
探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
x2 1
m2 4
4x2 1
两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差.
x2 12
m2 22
(2x)2 12
(2x)2 12
m2 22
x2 12
根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来.
探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
猜想
(a+b)(a b)=a2 b2
典型例题
【例1】利用乘法公式计算：
(1) 1999×2001； (2) (x+3)(x 3)(x2+9).
(1) 1999×2001
=(2000 1)×(2000+1)
=20002 12
=3 999 999
解：
(2) (x+3)(x 3)(x2+9)
=(x2 9)(x2+9)
=x4 81.
典型例题
【例2】计算：
(1) (a+b+c)2 ； (2) (a b)3.
(1) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
解：
(2) (a b)3
=(a b) (a b)2
=(a b)(a2 2ab+b2)
=a3 2a2b+ab2 a2b+2ab2 b3
=a3 3a2b+3ab2 b3.
你能对发现的规律进行推导吗？
探究
猜想
(a+b)(a b)=a2 b2
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
你能对发现的规律进行推导吗？
探究
猜想
(a+b)(a b)=a2 b2
(a+b)(a b)
=a2 ab+ab b2
=a2 b2
多项式乘法法则
合并同类项
(a+b)(a b)=a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
平方差公式
符号语言
文字语言
你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？
思考
b
a
a
b
b
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.四人一组，交流思路，完善过程.
3.学生分组展示过程.
S1
S2
S3
S4
你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？
思考
b
a
a
b
b
a
a
b
b
S1
S3
S4
b
a
S1
S2
S2=S3
S1+S3
=a2 b2
S1+S2
a b
=(a+b)(a b)
(a+b)(a b)=a2 b2
几何意义
是否还有其它的剪拼方法来证明？
归纳
平方差公式
(a+b)(a b)=a2 b2
相同项
相反项
(相同项)2 (相反项)2
平方差公式的特征
等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.
等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
做一做
判断下列式子是否能用平方差公式计算：
(1) (a+2b)( a 2b)
(2) (a 2b)(2b a)
(3) (2a b)( b+2a)
(4) (a 3b)(a+3b)
(5) ( 2x+3y)(3y 2x)
不能
不存在相同的项
不能
不存在相同的项
不能
不存在相反的项
能
a2 (3b)2
= a2+9b2
不能
不存在相反的项
符合平方差公式的特征才能运用平方差公式计算.
知识点1 应用平方差公式的条件
1. 下列式子中，和 相乘能用平方差公式进行计算的
是( )
A
A. B.
C. D.
2. [2025池州期末] 下列各式中不能用平方差公式计算的是
( )
B
A. B.
C. D.
知识点2 平方差公式的几何解释
3. 如图，将大正方形通过剪、拼后分解成新的图形，利用等
面积法可验证某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能
够验证平方差公式的是( )
C
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
知识点3 平方差公式的应用
4. 计算: ________.
5. 若,,则 的值为___.
2
6. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 8 C. D. 5
【点拨】因为,所以
所以 .所以
.
7. 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式 .
8. 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） .
原式 .
9. [2025湖南] 先化简，再求值： ，
其中 .
【解】
，
当时，原式 .
名师点金
1.平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个
二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边的
相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
2.公式中的字母, 可以是单项式，
也可以是多项式.
. .
. .
. .
易错点 对平方差公式的特征理解不透而出错
10. 下列运算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
11. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的
平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如 ，
，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下
列结论中错误的是( )
D
A. 20是“完美数”
B. 最小的“完美数”是4
C. “完美数”一定是4的奇数倍
D. 小于30的所有“完美数”之和是60
【点拨】 ，因此20是“完美数”，所以选项A不符
合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小
为4，所以选项B不符合题意；设两个连续偶数为 ，
（为整数），则
，
所以“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为 ，因此
选项D符合题意.
12. 阅读材料，解答下列问题.
和 是我们
熟悉的两个乘法公式.将这两个公式变形，可得到一个新公
式： ，这个新公式形似平方差公式，我
们称之为“准平方差公式”.灵活、恰当地运用这个新公式将会
使一些数学问题迎刃而解.
（1）利用新公式化简：
；
【解】原式 .
（2）已知实数，，满足，且 ，试说
明： .
因为，所以.因为 ，所以
.所以 .所以
.所以.所以 .
13. 阅读材料，解决问题.#1
小明遇到下面一个问题:
计算 .
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现
特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法
如下：
.#1.1.2.6
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1） ________；
【点拨】原式 .
（2） _ _____；
【点拨】
原式
.
（3）化简：
.
【解】当 时，原式
；
当 时，原式
.
平方差公式的特征：
平方差公式：
平
方
差
公
式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.
等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
(a+b)(a b)=a2 b2