8.4.1提公因式法-课件(共39张PPT)--2025-2026学年沪科版数学七年级下册

(共39张PPT)
沪科版数学7年级下册培优精做课件8.4.1提公因式法第8章整式乘法与因式分解授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
观察思考
如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m a+b+c
方法二： ma+mb+mc
m a+b+c =ma+mb+mc
整式的乘法
想一想
请把下列多项式写成整式的乘积的形式.
(1) x +x=________ (2) x 1 =________
根据整式的乘法，可以联想得到：
x +x=x x+1
x 1= x+1 x 1
例1 把下列各式分解因式：
(1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a.
(1) 4m2 8mn
=4m·m 4m·2n
=4m(m 2n).
(2) 3ax2 6axy + 3a
=3a·x2 3a·2xy + 3a·1
=3a(x2 2xy + 1)
解：
可用整式乘法检验因式分解的正确性.
当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1.
典型例题
知识点1 因式分解的概念
1. [2025滁州月考] 下列各式从左到右的变形中，属于因式分
解的是( )
D
A.
B.
C.
D.
知识点2 公因式
2. 多项式 各项的公因式是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】与这两项的系数是8与 ,它们
的最大公因数是4，两项的字母部分与 都含有
字母和,其中的最低次数为,的最低次数为 ,所以
是所求的公因式.
3. 把多项式因式分解时，提取的公因式是 ，
则 的值可能为( )
A
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
4. 观察下列各组式子：
和； 和 ；
和； 和 .
其中有公因式的是( )
B
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
例2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c) 3y(b+c)； (2) 3n(x 2)+(2 x).
(1) 2x(b+c) 3y(b+c)
=(b+c)(2x 3y)
(2) 3n(x 2)+(2 x)
=3n(x 2) (x 2)
=(x 2)(3n 1)
解：
典型例题
把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
归纳
做一做
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，若不是，请说明理由.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
做一做
你能试着将多项式pa+pb+pc分解因式吗？
x +x=x x+1
pa+pb+pc=p a+b+c
观察以上两个多项式，它们有什么共同特点？
它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
做一做
试确定 3 x3 – 6 x2y 的公因式.
系数
最大公约数
3
字母
相同的字母
x2
所以公因式是3x2.
指数
相同字母的最低次幂
2
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
归纳
知识点3 用提公因式法分解因式
5. [2025长沙] 因式分解： ___________.
6. 下列因式分解正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
7. 将多项式 因式分解，
结果为( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】 .
8. 用提公因式法分解因式：
（1） ；
【解】原式
（2） .
原式 .
做一做
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2) ab-2ac
(3) a 2-a 3
(4) 4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5) 9m 2n-6mn
(6) -6x 2y-8xy 2
pa+pb+pc=p a+b+c
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公因式p与 a+b+c 的乘积
归纳
=4ab ·2a +4ab ·3bc
做一做
把8a b +12ab c分解因式.
=4ab (2a +3bc)
解： 8a b +12ab c
数字：最大公约数4
字母：公共的字母a、b
指数：a、 a 、b 、b
确定公因式： 4ab
分析：
知识点4 提公因式法的应用
9. 计算 的结果是( )
B
A. B. C. 2 D.
10. 多项式 可以因式分解成
，则 的值是( )
C
A. 0 B. 4 C. 3或 D. 1
【点拨】因为
,
所以 .
所以,或, .
所以或 .
11. 三角形的三边长分别为,,，且 ，
则三角形 是( )
B
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
随堂练习
1.填空：
(1) 6x 18x =___(x 3)； (2) 7a +21a= 7a(____).
2.把下列各式分解因式：
(1) np nq； (2) x y x y +xy.
(1) np nq
=n(p q)
(2) x y x y +xy
= xy(x +xy 1)
解：
6x
a 3
随堂练习
3.把下列各式分解因式：
(1)3(a+b) +6(a+b)； (2) m(a b) n(a b)；
(3) 6(x y) 3y(y x) ； (4) mn(m n) m(n m) ；
(1) 3(a+b) +6(a+b)
= 3(a+b)(a+b+2)
(2) m(a b) n(a b)
= (a b)(m n)
解：
(3) 6(x y) 3y(y x)
= 3(x y) (2x 3y)
(4) mn(m n) m(n m)
= m(m n)(2n m)
名师点金
确定公因式的方法：1.系数：取各项系数的最大公因数
（如果多项式的首项为负，一般要先提出负号） .字母：取
各项都含有的字母. 3.指数：取相同字母的最低次数.注意：
公因式可以是单项式，也可以是多项式.当分解因式提“-”号
时，括号内的各项系数都要改变符号,当公因式与多项式中的
某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏项.
. .
. .
. .
. .
. .
12. [2025自贡] 若，则 的值为___.
1
13. 已知 ，求代数式
的值.
【解】 .
因为，所以 .所以原式
.
易错点 提公因式后因符号问题或漏项而出错
14. 下列因式分解正确的有( )
;
;
;
.
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【点拨】提公因式后，可以利用整式乘法检查结果是否正确.此
外，当提取的公因式有“-”号时，应注意括号内各项都要变号.
15. 已知,其中和 都是整数,则下列结论
正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】将已知等式变形为 ,所以
,所以.因为
和都是整数,所以分两种情况:①当, 时,
解得,,不符合题意;②当,
时,解得,,则, .故选A.
16. 利用简便方法计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
17. 已知,,为三角形 的三边长，且
，试判断三角形 的形状.
【解】因为 ，
所以 .
所以 .
因为,,为三角形 的三边长，
所以.所以 .
所以.所以三角形 是等腰三角形.
18. 【观察思考】毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产
生了一系列的形数.如图①，当小石子的数是1，3，6, 时，小
石子能摆成三角形，这些数叫三角形数.如图②，当小石子的数
是1，4，9, 时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数.
【规律发现】 图①中，第 个三角形数是_ ______；图②中，
第个正方形数是____；（请用含 的式子表示）
【猜想验证】 毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形
数之间的内在联系：， ，试说明：任意
两个相邻三角形数之和是正方形数.
【解】设任意两个
三角形数为第 个数
和第 个数，
则
，
所以任意第个三角形数和第 个三角形数之和恰好等
于第 个正方形数，即任意两个相邻三角形数之和是正
方形数.
19. 先阅读下列分解因式的过程，再回答
所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是____________，共应用了____次；
提公因式法
两
（2）若分解因式：
，则需应用
上述方法_______次，结果是____________；
2 027
（3）分解因式：
（ 为正整数）.
【解】原式 .
概念：
提公因式法
提公因式法的一般步骤：
因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式.
公因式：它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
1.找出公因式.
2.提公因式并确定另一个因式.