8.4.3 用分组分解法分解因式-课件(共31张PPT)--2025-2026学年沪科版数学七年级下册

沪科版数学7年级下册培优精做课件
8.4.3 用分组分解法分解因式
第8章 整式乘法与因式分解
授课教师： Home .
班 级： 7年级（*）班 .
时 间： .
因式分解：
思考：
四项式 又如何分解？
回顾与思考
总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.
讲授新课
因式分解：
法1
法2
合作探究
8.4.3 用分组分解法分解因式
例1 分解因式
典例精析
解：
8.4.3 用分组分解法分解因式
知识点1 运用分组分解法因式分解
1. 因式分解????3+????2?????????????2?????3 的结果为( )
?
B
A. (?????????)2(????+????) B. (????+????)2(?????????)
C. ????????(????+????)2 D. ????????(?????????)2
?
2. 已知????3?12????+16有一个因式是????+4 ，则把它分解因式
后的结果是( )
?
A
A. (????+4)(?????2)2 B. (????+4)(????2+????+1)
C. (????+4)(????+2)2 D. (????2?4????)(????+4)
?
【点拨】????3?12????+16
=????3?16????+4????+16
=????(????2?16)+4(????+4)
=????(????+4)(?????4)+4(????+4)
=(????+4)(????2?4????)+4(????+4)
=(????+4)(????2?4????+4)
=(????+4)(?????2)2 .
含有因式????+4 ，符合题意.
故选A.
?
分解因式：
练一练
8.4.3 用分组分解法分解因式
小结：分组后再用公式法
例2 分解因式
解：
8.4.3 用分组分解法分解因式
解：
例2 分解因式
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
8.4.3 用分组分解法分解因式
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
针对训练
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
8.4.3 用分组分解法分解因式
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
8.4.3 用分组分解法分解因式
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
针对训练
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
8.4.3 用分组分解法分解因式
多项式分解因式的一般步骤:
1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;
4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
口诀：一提 二套 三分 四检
总结归纳
8.4.3 用分组分解法分解因式
例4.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
8.4.3 用分组分解法分解因式
名师点金
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”
的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘
法公式.若前两个步骤不能实施，则可用分组分解法，分组的
目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解.若
上述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、待定系
数法、试除法、拆项（添项）法等解决问题.
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3. 若????，????为有理数，且????2?2????????+2????2+4????+4=0 ，则
????+3????= ( )
?
D
A. 8 B. 4 C. ?4 D. ?8
?
【点拨】因为
????2?2????????+2????2+4????+4=????2?2????????+????2+????2+4????+4=(?????????)2+(????+2)2=0，所以?????????=0，????+2=0 .所以
????=????=?2.所以????+3????=?8 .
?
知识点2 运用十字相乘法因式分解
4. [2025阜阳期末] 多项式????2?5?????6 因式分解的结果是
______________.
?
(?????6)(????+1)
?
5. 已知????2+????2+3(????+????)=10?2????????，则????+????= ________.
?
?5或2
?
【点拨】因为????2+????2+3(????+????)=10?2???????? ，所以
????2+????2+2????????+3(????+????)?10=0 ，
所以(????+????)2+3(????+????)?10=0 ，
所以(????+????+5)(????+?????2)=0 ，
所以????+????+5=0或????+?????2=0 .
所以????+????=?5或????+????=2 .
?
6. [2025六安月考] 因式分解????2+????????+????，甲看错了???? 的值，
分解的结果是(?????6)(????+2)，乙看错了???? 的值，分解的结果
为(????+8)(?????4)，那么????2+????????+???? 分解因式正确的结果为
( )
?
C
A. (????+3)(?????4) B. (????+4)(?????3)
C. (????+6)(?????2) D. (????+2)(?????6)
?
【点拨】因为甲看错了???? 的值，且
(?????6)(????+2)=????2?4?????12，所以????=?12 .因为乙看错了
????的值，且(????+8)(?????4)=????2+4?????32，所以????=4 .所以
????2+????????+????=????2+4?????12=(????+6)(?????2) .
?
7. 因式分解：
（1）????2?10????+21 ；
?
【解】????2?10????+21=(?????3)(?????7) .
?
（2）2????2+?????6 ;
?
2????2+?????6=(2?????3)(????+2) .
?
（3）(????2+6????)2+14(????2+6????)+45 .
?
(????2+6????)2+14(????2+6????)+45=(????2+6????+5)(????2+6????+9)=(????+1)(????+5)(????+3)2 .
?
8. 已知多项式????2+?????????6分解因式为(????+????)(????+????) ，其中
????，????，????为整数，则???? 的取值有( )
?
B
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 无数个
【点拨】当?6=1×(?6)时，????=1+(?6)=?5 ；当
?6=(?1)×6时，????=?1+6=5；当?6=2×(?3) 时，
????=2+(?3)=?1；当?6=(?2)×3时，????=?2+3=1 .
所以???? 的取值有4个.
?
9. [2025宿州月考] 已知实数????，????，????，???? 满足
????+????=????+????=4，????????+????????=4 ，则
(????2+????2)????????+????????(????2+????2)= ____.
?
48
【点拨】因为????+????=????+????=4 ，所以
(????+????)(????+????)=4×4=16 .因为
(????+????)(????+????)=????????+????????+????????+???????? ，所以
????????+????????+????????+????????=16 .
又因为????????+????????=4，所以????????+????????=12 .
所以(????2+????2)????????+????????(????2+????2)
=????2????????+????2????????+????????????2+????????????2
?
=?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????
=?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????
=????????(????????+????????)+????????(????????+????????)
=(????????+????????)(????????+????????)
=4×12
=48 .
?
10. 材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分
解的方法是分组分解法.
（1）分解因式：????????+????+????+1 ；
?
【解】????????+????+????+1=(????????+????)+(????+1)=????(????+1)+(????+1)=(????+1)(????+1) .
?
例如：????????+????????+????????+????????=(????????+????????)+(????????+????????)=????(????+????)+????(????+????)=(????+????)(????+????) .
?
请根据上述材料回答下列问题:
（2）若????，????(????>????)都是正整数且满足???????????????????4=0 ，
求????+???? 的值；
?
由???????????????????4=0，得??????????????????+1=5 ，
????(?????1)?(?????1)=5，(?????1)(?????1)=5 .
因为????>????，所以?????1>?????1.又因为????，???? 都是正整数，所
以易得?????1=5，?????1=1，解得????=6，????=2 .所以
????+????=8 .
?
（3）若????，????为实数且满足???????????????????5=0 ，
????=2????2+3????????+????2+5?????????，求???? 的最小值.
?
由???????????????????5=0，得????????=????+????+5 ，
所以????=2????2+3????????+????2+5?????????
=2????2+3(????+????+5)+????2+5?????????
=2????2+3????+3????+15+????2+5?????????
=2????2+????2+8????+2????+15
=2????2+8????+8+????2+2????+1+6
=2(????+2)2+(????+1)2+6 .
因为2(????+2)2≥0，(????+1)2≥0，所以????≥6.所以???? 的最小
值为6.
?
课堂小结
分组法
因式分解
公式
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
8.4.3 用分组分解法分解因式