9.3.1分式方程及其解法-课件(共37张PPT)--2025-2026学年沪科版数学七年级下册

(共37张PPT)
沪科版数学7年级下册培优精做课件9.3.1分式方程及其解法第9章分式授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.学习目标
1.理解分式方程的概念；
2.掌握去分母的方法解分式方程的；（重点）
3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点）
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次
方程有什么区别？
.
做一做
下列式子，哪些是分式方程？
①
②
③
④
⑤
π不是未知量，即分母没有未知数.
没有等号，不是方程.
判断是否为分式方程，看原式，不化简.
分母没有未知数.
② ④.
分式方程 整式方程
区别 分母中含有_______ 分母中___________
归纳
未知数
不含未知数
知识点1 分式方程的定义
1. 下列式子是分式方程的是( )
C
A. B.
C. D.
思考
如何解分式方程 ？
俩人一组
合作讨论
思考
如何解分式方程 ？
解一元一次方程
去分母
含分母
含分母
去分母
分式方程
整式方程
转化
2000 – 1600= 5x.
整式方程
x=80.
把x=80代入上述分式方程检验：
左边 = =右边，
所以x= 80是该分式方程的根.
如何解分式方程 ？
解：
可转化为
方程两边同乘以最简公分母 ，得
解这个整式方程，得
思考
归纳
解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
具体做法:是“去分母”，即方程两边乘以最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
去分母
分式方程
整式方程
转化
知识点2 分式方程的解法
2. [2025湖南] 将分式方程 去分母后得到的整式方程
为( )
A
A. B.
C. D.
3. 分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
4. 已知代数式和的值相等，则 的值为( )
A
A. B. 1 C. 2 D.
【点拨】因为代数式和的值相等，所以 ，解得
,经检验， 是分式方程的根.
5. 若是分式方程的解,则 的值为___.
6
【点拨】将代入分式方程，可得 ，
解得 .
方程两边同乘以最简公分母 x –3，得
解：
如何解分式方程 ？把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
探究
2–x= –1–2(x–3).
整式方程
把x=3代入上述分式方程检验：
所以x=3不是原方程的根，原方程无解.
x=3.
解这个整式方程，得
方程中分式的分母为零，
分式无意义，
像x=3这样的根，称为增根.
分式方程
必须验根
思考
为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
2000 – 1600= 5x
代入
x= 80
假设成立
等号两边同乘 (x – 3)
假设： x – 3 ≠0
2–x= –1–2(x–3)
代入
x= 3
x –3 =0
假设不成立
(是原方程的根)
(不是原方程的根)
等号两边同乘
假设：
归纳
将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
归纳
解分式方程的一般思想如下：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x=a
检验
最简公分母为0
a不是分式方程的根
a是分式方程的根
最简公分母不为0
典型例题
解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3) (x – 3)，得
(x – 1) (x – 3) –2(x + 3) (x – 3) = – x(x + 3).
展开得
x2 – 4x+3 – 2x2+18 = – x2– 3x.
检验：当x=21时，(x + 3) (x – 3)
因而，原方程的根是x=21.
≠0.
去分母
解整式方程
检验
写原分式方程的根
解方程，得
x = 21.
交流
由以上解方程的过程，你能总结出解分式方程的步骤吗？
合作讨论
解分式方程的一般步骤
一去
二解
三验
四写
去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程.
解这个整式方程.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的解；否则，这个根不是原分式方程的根.
写出原分式方程的根.
归纳
布置作业
典型例题
解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母(x – 1) (x + 2)，得
x(x + 2) – (x – 1) (x + 2) =3.
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x – 1) (x + 2)
所以，原分式方程无根.
＝0.
因而x=1不是原分式方程的根.
在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项.
6. 解分式方程.
（1）[2025浙江] ;
【解】方程两边同时乘以 ，得
，
去括号，得 ，
解得 ，
检验：当时， ，
所以 是原分式方程的解.
（2）[2025威海] .
去分母，得 ，
解得 ，
检验：当时，， ，
所以 是原分式方程的解.
知识点3 分式方程的增根
7. 若关于的分式方程（ 为常数）有增根，
则增根是______.
8. 当__________时，解关于 的分式方程
会产生增根.
或
9. [2025遂宁] 若关于的分式方程无解，则
的值为( )
D
A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3
【点拨】原方程整理得.因为关于 的分式方
程无解，所以或,解得或 .
易错点 去分母时，易因常数项漏乘最简公分母而出错
10. 解方程： .
嘉琪的解法如下：
方程两边同乘,得 .①
解这个整式方程，得 .②
嘉琪的解法是否正确？如果不正确，从哪一步开始出错？请
写出正确的解答过程.
【解】嘉琪的解法不正确，从第①步开始出错.
正确的解答过程如下：
去分母，得 ,
移项、合并同类项，得 .
经检验, 是原分式方程的解.
去分母时不要漏乘常数项，特别注意“检验”这一步
骤，不能省略.
11. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校
，一部分学生乘慢车先行 ，另一部分学生再乘快
车前往，他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时
快，求慢车的速度.设慢车的速度为 ，则可列方
程为( )
A
A. B.
C. D.
12. 对于两个不相等的实数， ，我们规定符
号,表示，中的较大值，如： ，按照
这个规定，方程 的解为( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
【点拨】当，即时，方程为 ，
去分母，得，解得 .
经检验， 是该分式方程的解；
当，即时，方程为 ，
去分母，得，解得 ，
经检验, 是该分式方程的解.
所以所求方程的解为或 .故选C.
13. 若关于的不等式组 至少有2个整数
解，且关于的分式方程 的解为非负整数，则
所有满足条件的整数 的值之和为____.
16
【点拨】
由①得，由②得 .
因为关于 的不等式组至少有两个整数解，
所以，解得 .
由方程，得 .
因为关于 的分式方程的解为非负整数，
所以且， 是偶数.
所以且， 是偶数.
所以且，是偶数.所以 为2或6或8.
所以所有满足条件的整数的值之和为 .
14. 已知关于的方程 .
（1）当___时，此方程的解为 ；
1
，去分母，得 ，去括号，得
，移项、合并同类项，得 ，解得
.因为，所以.因为方程的解为 ，
所以，解得.所以当 时，此方程的解为
.
（2）当 ___时，此方程会产生增根；
4
【点拨】
因为方程会产生增根，所以.所以，解得 .
所以当 时，此方程会产生增根.
（3）当此方程的解是正数时，求 的取值范围.
【解】易得此方程的解为 .因为方程的解是正数，所
以且 .
所以且 .
所以当此方程的解是正数时，
的取值范围是且 .
分式方程
分式方程必须满足的条件(三者缺一不可)
(1) 是方程(含有未知数的等式)；
(2) 含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
解分式方程的一般步骤
一去
二解
三验
四写
去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程.
解这个整式方程.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根.
写出原分式方程的根.