大庆市中考数学模拟卷一（含答案）
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大庆市中考数学模拟卷（一）
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A．﹣2026 B．0 C． D．2026
2．据中国国家统计局发布：2026年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）
A．1.087×104 B．10.87×104 C．10.87×103 D．1.087×103
3．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ）
A．|c|＞|a| B．﹣c＞a C．ac2＞bc2 D．a﹣c＜b﹣c
5．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B． C．D．
6．我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9.1，9.1 B．9.1，9.15 C．9.1，9.2 D．9.9，9.2
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．y1随x的增大而增大 B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为
8．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
10．关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞时，＜0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则﹣＜m≤﹣或≤m＜．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．写出一个过点（1，0）且经过第二象限的一次函数关系式 ．
13．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
14．若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 ．
15．甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
16．已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
17．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n＝ ．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点O是AC的中点，AC与BE交于点F，AG⊥BE，CH⊥BE，垂足分别为G，H，连接OH，OG，CG．下列结论：①CH﹣AG＝HG；②AG＝HG；③BH＝OG；④AF：OF：OC＝2：1：3；⑤5S△AFG＝S△GHC；⑥OG AC＝BH CD．其中结论正确的序号是 ．
第7题图 第9题图 第18题图
三．解答题（共10小题）
19．计算：（﹣2）2×2﹣1﹣（﹣1）+tan45°．
20．先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
21．2026年1月25日，中国新疆女子一队获得‘一带一路，丝绸之路’行2026年中国国际雪地排球邀请赛冠军。中国新疆女子一队运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校排球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌排球，已知A品牌排球单价比B品牌排球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌排球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌排球的单价分别是多少．
22．如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）
23．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，大庆市实验中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55 7.55
中位数 8 c
众数 a 7
合格率 b 85%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
24．如图，在 ABCD中，过AD的中点G作AD的垂直平分线，分别交CD的延长线和AB于点E、F，连接AE、DF．
（1）求证：四边形AFDE是菱形；
（2）连接AC，若AE＝2，AB＝3，∠AED＝60°，求AC的长．
25．如图1，菱形ABCD的边AB在平面直角坐标系中的x轴上，A（﹣1，0），菱形对角线交于点M（0，2），过点C的反比例函数与菱形的边BC交于点E．
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；
（2）如图2，连接OC，OE求出△COE的面积；
（3）点P为图象上的一动点，过点P做PH⊥x轴于点H，若点P使得△AOM和△BPH相似，请直接写出点P的横坐标．
26．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△BED；
（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．
27．如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP DC，求的值．
28．探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 …
y … ﹣ 0 m 0 2 0 ﹣ …
其中，m＝ .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A．2．A．3．A．4．D．5．C．6．B．7．C．8．C．9．D．10．B．
二．填空题
11．x≥0且x≠2．12．y＝﹣x+1（答案不唯一）．13．．14．a≤﹣1．15．6．
16．或﹣．17．11．18．①②③④⑥．
三．解答题
19．解：原式＝＝．
20．解：（1+）÷＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，
由题意，可得：，
解得：x＝72，
经检验，x＝72是所原方程的解，
所以A品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．
答：A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
22．解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，
由题意得：BG＝HE，CM∥AH，
∴∠CAH＝∠MCA＝30°，∠CBH＝∠MCB＝45°，
设BH＝xm，
∵AB＝40m，
∴AH＝AB+BH＝（x+40）m，
在Rt△ACH中，CH＝AH tan30°＝（x+40）m，
在Rt△CBH中，CH＝BH tan45°＝x（m），
∴x＝（x+40），
解得：x＝20+20，
∴CH＝（20+20）m，
∵∠BDF＝159°，
∴∠BDG＝180°﹣∠BDF＝21°，
在Rt△BDG中，BD＝20m，
∴BG＝BD sin21°≈20×0.36＝7.2（m），
∴BG＝EH＝7.2m，
∴CE＝CH+HE＝20+20+7.2≈62（m），
∴CE的长约为62m．
23．解：（1）由扇形统计图可得，
a＝8，b＝1﹣20%＝80%，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，
故中位数是c＝（7+8）÷2＝7.5，
由上可得，a＝8，b＝80%，c＝7.5；
（2）600×85%＝510（人），
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；
（3）根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样（答案不唯一）．
24．（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，∠DGE＝∠AGF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD，
在△AGF和△DGE中，
，
∴△AGF≌△DGE（ASA）
∴EG＝GF，
∴四边形AFDE是菱形；
（2）解：∵四边形AFDE是菱形，∠AED＝60°，
∴△ADE和△AFD是等边三角形，
∴∠EDA＝∠ADF＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∴∠ADC＝120°，
过点A作AH⊥ED，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴AB＝DC＝3，
∴EC＝5，
∴AH＝，EH＝1，HC＝4，
∴AC＝＝．
25．解：（1）由菱形的性质知，点M是A、C的中点，
由中点坐标公式得，点C（1，4），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×4＝4，
则反比例函数的表达式为：y＝①；
（2）由菱形的性质知，∠AMB＝90°，
∵∠AMO+∠OMB＝90°，∠OMB+∠OBM＝90°，
则∠AMO＝∠MBO，
∴tan∠AMO＝tan∠MBO，即，
即，则OB＝4，即点B（4，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+②，
联立①②得：＝﹣x+，
解得：x＝1（舍去）或3，
即点E（3，），
由O、E的坐标得，直线OE的表达式为：y＝x，
过点C作y轴的平行线交OE于点N，
当x＝1时，y＝x＝，则点N（1，），
则△COE的面积＝CN xE＝（4﹣）×3＝；
（3）由点A、M的坐标得，tan∠MAO＝＝2，
当△AOM和△BPH相似，∠PBH＝∠MAO或∠AMO，
即tan∠PBH＝2或tan∠PBH＝tan∠AMO＝，
设点P（m，n），mn＝4③，
则tan∠PBH＝＝④，
联立③④并解得：m＝2+或2+2或2+（不合题意的值已舍去），
即P的横坐标为：2+或2+2或2+．
26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，
∵AD＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS）；
（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
∴CH＝AC sin60°＝2，S△ABC＝AB CH＝4．
∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，
∴FG＝AF sin60°＝（4﹣x），
∴S△ADF＝AD FG＝x（4﹣x），
由（1）可知△ADF≌△BED，
同理可证，△BED≌△CFE，
∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE＝x（4﹣x），
∵△DEF的面积为y，
∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝4﹣x（4﹣x）＝x2﹣3x+4；
（3）由（2）可知：y＝x2﹣3x+4，
∵a＝＞0，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x≤2时，y随x的增大而减小，即当2＜x≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．
27．（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵CD⊥DA，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠PBC，
∴∠BAC＝∠PBC，
又∵∠ACB＝∠BCP，
∴△ACB∽△BCP，
∴＝，
∴AC PC＝BC2；
（3）解：如图2，过P作PE⊥AB于点E，
由（2）可知，AC PC＝BC2，
∵BC2＝3FP DC，
∴AC PC＝3FP DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠ADC＝∠BCP，
∵∠DAC＝∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴＝，
∴AC PC＝BP DC，
∴BP DC＝3FP DC，
∴BP＝3FP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
∵＝＝，
∴＝＝＝．
28．解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，
∴m＝2，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
故答案为：2；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∵S△FAB＝3，
∴×4|yF|＝3，
∴yF＝±，
当yF＝时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝，
解得：x＝﹣或﹣，
若x≥0，则﹣2x2+4x＝，
解得：x＝或，
∴F（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）；
当yF＝﹣时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝﹣，
解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+（舍去），
若x≥0，则﹣2x2+4x＝﹣，
解得：x＝1﹣（舍去）或x＝1+，
∴F（﹣1+，﹣）或（﹣1﹣，﹣）或（1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
（3）PM与PN的和是定值；
如图2，连接直线PQ，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，
∴O（0，0），A（2，0），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），
由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n＝（t﹣4）2，
故直线l的表达式为y＝tx+（t﹣4）2③，
联立①③并解得xM＝﹣（t﹣4），
同理可得，xN＝﹣（t﹣12），
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α，
则sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sinα，
∴PM+PN＝+＝（xN﹣xM）＝为定值．
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大庆市中考数学模拟卷（一）
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A．﹣2026 B．0 C． D．2026
2．据中国国家统计局发布：2026年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）
A．1.087×104 B．10.87×104 C．10.87×103 D．1.087×103
3．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ）
A．|c|＞|a| B．﹣c＞a C．ac2＞bc2 D．a﹣c＜b﹣c
5．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B． C．D．
6．我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9.1，9.1 B．9.1，9.15 C．9.1，9.2 D．9.9，9.2
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．y1随x的增大而增大 B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为
8．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
10．关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞时，＜0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则﹣＜m≤﹣或≤m＜．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．写出一个过点（1，0）且经过第二象限的一次函数关系式 ．
13．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
14．若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 ．
15．甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
16．已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
17．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n＝ ．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点O是AC的中点，AC与BE交于点F，AG⊥BE，CH⊥BE，垂足分别为G，H，连接OH，OG，CG．下列结论：①CH﹣AG＝HG；②AG＝HG；③BH＝OG；④AF：OF：OC＝2：1：3；⑤5S△AFG＝S△GHC；⑥OG AC＝BH CD．其中结论正确的序号是 ．
第7题图 第9题图 第18题图
三．解答题（共10小题）
19．计算：（﹣2）2×2﹣1﹣（﹣1）+tan45°．
20．先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
21．2026年1月25日，中国新疆女子一队获得‘一带一路，丝绸之路’行2026年中国国际雪地排球邀请赛冠军。中国新疆女子一队运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校排球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌排球，已知A品牌排球单价比B品牌排球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌排球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌排球的单价分别是多少．
22．如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）
23．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，大庆市实验中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55 7.55
中位数 8 c
众数 a 7
合格率 b 85%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
24．如图，在 ABCD中，过AD的中点G作AD的垂直平分线，分别交CD的延长线和AB于点E、F，连接AE、DF．
（1）求证：四边形AFDE是菱形；
（2）连接AC，若AE＝2，AB＝3，∠AED＝60°，求AC的长．
25．如图1，菱形ABCD的边AB在平面直角坐标系中的x轴上，A（﹣1，0），菱形对角线交于点M（0，2），过点C的反比例函数与菱形的边BC交于点E．
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；
（2）如图2，连接OC，OE求出△COE的面积；
（3）点P为图象上的一动点，过点P做PH⊥x轴于点H，若点P使得△AOM和△BPH相似，请直接写出点P的横坐标．
26．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△BED；
（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．
27．如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP DC，求的值．
28．探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 …
y … ﹣ 0 m 0 2 0 ﹣ …
其中，m＝ .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A．2．A．3．A．4．D．5．C．6．B．7．C．8．C．9．D．10．B．
二．填空题
11．x≥0且x≠2．12．y＝﹣x+1（答案不唯一）．13．．14．a≤﹣1．15．6．
16．或﹣．17．11．18．①②③④⑥．
三．解答题
19．解：原式＝＝．
20．解：（1+）÷＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，
由题意，可得：，
解得：x＝72，
经检验，x＝72是所原方程的解，
所以A品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．
答：A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
22．解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，
由题意得：BG＝HE，CM∥AH，
∴∠CAH＝∠MCA＝30°，∠CBH＝∠MCB＝45°，
设BH＝xm，
∵AB＝40m，
∴AH＝AB+BH＝（x+40）m，
在Rt△ACH中，CH＝AH tan30°＝（x+40）m，
在Rt△CBH中，CH＝BH tan45°＝x（m），
∴x＝（x+40），
解得：x＝20+20，
∴CH＝（20+20）m，
∵∠BDF＝159°，
∴∠BDG＝180°﹣∠BDF＝21°，
在Rt△BDG中，BD＝20m，
∴BG＝BD sin21°≈20×0.36＝7.2（m），
∴BG＝EH＝7.2m，
∴CE＝CH+HE＝20+20+7.2≈62（m），
∴CE的长约为62m．
23．解：（1）由扇形统计图可得，
a＝8，b＝1﹣20%＝80%，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，
故中位数是c＝（7+8）÷2＝7.5，
由上可得，a＝8，b＝80%，c＝7.5；
（2）600×85%＝510（人），
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；
（3）根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样（答案不唯一）．
24．（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，∠DGE＝∠AGF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD，
在△AGF和△DGE中，
，
∴△AGF≌△DGE（ASA）
∴EG＝GF，
∴四边形AFDE是菱形；
（2）解：∵四边形AFDE是菱形，∠AED＝60°，
∴△ADE和△AFD是等边三角形，
∴∠EDA＝∠ADF＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∴∠ADC＝120°，
过点A作AH⊥ED，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴AB＝DC＝3，
∴EC＝5，
∴AH＝，EH＝1，HC＝4，
∴AC＝＝．
25．解：（1）由菱形的性质知，点M是A、C的中点，
由中点坐标公式得，点C（1，4），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×4＝4，
则反比例函数的表达式为：y＝①；
（2）由菱形的性质知，∠AMB＝90°，
∵∠AMO+∠OMB＝90°，∠OMB+∠OBM＝90°，
则∠AMO＝∠MBO，
∴tan∠AMO＝tan∠MBO，即，
即，则OB＝4，即点B（4，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+②，
联立①②得：＝﹣x+，
解得：x＝1（舍去）或3，
即点E（3，），
由O、E的坐标得，直线OE的表达式为：y＝x，
过点C作y轴的平行线交OE于点N，
当x＝1时，y＝x＝，则点N（1，），
则△COE的面积＝CN xE＝（4﹣）×3＝；
（3）由点A、M的坐标得，tan∠MAO＝＝2，
当△AOM和△BPH相似，∠PBH＝∠MAO或∠AMO，
即tan∠PBH＝2或tan∠PBH＝tan∠AMO＝，
设点P（m，n），mn＝4③，
则tan∠PBH＝＝④，
联立③④并解得：m＝2+或2+2或2+（不合题意的值已舍去），
即P的横坐标为：2+或2+2或2+．
26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，
∵AD＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS）；
（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
∴CH＝AC sin60°＝2，S△ABC＝AB CH＝4．
∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，
∴FG＝AF sin60°＝（4﹣x），
∴S△ADF＝AD FG＝x（4﹣x），
由（1）可知△ADF≌△BED，
同理可证，△BED≌△CFE，
∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE＝x（4﹣x），
∵△DEF的面积为y，
∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝4﹣x（4﹣x）＝x2﹣3x+4；
（3）由（2）可知：y＝x2﹣3x+4，
∵a＝＞0，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x≤2时，y随x的增大而减小，即当2＜x≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．
27．（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵CD⊥DA，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠PBC，
∴∠BAC＝∠PBC，
又∵∠ACB＝∠BCP，
∴△ACB∽△BCP，
∴＝，
∴AC PC＝BC2；
（3）解：如图2，过P作PE⊥AB于点E，
由（2）可知，AC PC＝BC2，
∵BC2＝3FP DC，
∴AC PC＝3FP DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠ADC＝∠BCP，
∵∠DAC＝∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴＝，
∴AC PC＝BP DC，
∴BP DC＝3FP DC，
∴BP＝3FP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
∵＝＝，
∴＝＝＝．
28．解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，
∴m＝2，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；
故答案为：2；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∵S△FAB＝3，
∴×4|yF|＝3，
∴yF＝±，
当yF＝时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝，
解得：x＝﹣或﹣，
若x≥0，则﹣2x2+4x＝，
解得：x＝或，
∴F（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）；
当yF＝﹣时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝﹣，
解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+（舍去），
若x≥0，则﹣2x2+4x＝﹣，
解得：x＝1﹣（舍去）或x＝1+，
∴F（﹣1+，﹣）或（﹣1﹣，﹣）或（1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
（3）PM与PN的和是定值；
如图2，连接直线PQ，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，
∴O（0，0），A（2，0），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），
由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n＝（t﹣4）2，
故直线l的表达式为y＝tx+（t﹣4）2③，
联立①③并解得xM＝﹣（t﹣4），
同理可得，xN＝﹣（t﹣12），
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α，
则sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sinα，
∴PM+PN＝+＝（xN﹣xM）＝为定值．
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