2026届湖南省株洲市高考数学模拟自编卷01（人教版）（含答案）

2026届湖南省株洲市高考数学模拟自编卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则“”是“”成立的
A．充要不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充要也不必要条件
2．非空集合A、B满足，，，则（ ）
A． B．R C．A D．B
3．已知数列是等差数列，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
5．已知菱形的边长为2，是的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若实数，，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知，，分别为内角，，的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（ ）
A．的方程为
B．
C．的渐近线方程为
D．当时，的面积为3
10．（多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．已知的展开式中的系数为，则__________.
13．如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为_____.
14．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．某兴趣小组为了解某市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表．
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4h 不少于4h
50以下 100
50及以上 75 100
合计 65 200
(1)补全列联表，试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4h，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4h的人数为X，求X的分布列和数学期望．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
附：，．
16．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
17．已知函数.
(1)若，求的最大值；
(2)证明存在唯一的极大值点，且；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
18．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为，过点作的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程．
(3)若直线OA，OB分别与直线交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
19．某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．
(1)求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望；
(2)若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求；
(3)若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省株洲市高考数学模拟自编卷01（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A C A B C BC ACD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．
15．（1）由题意可得：
年龄 周平均锻炼时长 合计
少于4h 不少于4h
50以下
50及以上
合计
零假设：周平均锻炼时长是否与年龄无关，
由列联表中的数据，可得，
又，根据的独立性检验，我们推断假设不成立，
即周平均锻炼时长与年龄有关.
（2）抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人，
不少于小时的有人，
所以所有可能的取值为，
，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
16．（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
(2)
17．(1)0；
(2)（2），设，
因为，所以在上单调递减，又，时，，
因此，使得，即，即，
当时，单调递增，当时，单调递减，
因此存在唯一的极大值点，
，
当且仅当时等号成立，得证.
(3).
18．(1)；
(2)；
(3)能，定点为.
19．(1)（1）的所有可能取值为3，4，5，6，
的分布列为
Y 3 4 5 6
数学期望.
(2)
(3)，（3）设“赛满局人类队获胜”为事件，要使事件发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件
①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局，
（1）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；
（ii）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为，
.
②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜，
，
，
.
在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页