2026届湖南省湘潭市高考数学模拟自编卷01（人教版）（含答案）

2026届湖南省湘潭市高考数学模拟自编卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知等差数列中，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．的展开式中，的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
4．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在数列中，为的前项和，则（ ）
A．1514 B．5 C．1517 D．4
6．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的值域是，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．有一个正方形，其四个顶点均在曲线上，则该正方形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据的方差，则所有的都相等
B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是4和0.3
D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为
10．已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数
D．当时，曲线与有4个交点
11．.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．是函数的极大值点
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．已知函数，则______ .
13．已知椭圆的上顶点为，直线交于两点.若的重心为，则实数的值是__________.
14．已知集合，甲 乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________.
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，求 的最大值.
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)判断的单调性；
(3)若在上有两个零点，求实数的取值范围．
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值.
18．近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 25 150
女性 50 75
(1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率．
附：．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点．
(1)求双曲线的方程．
(2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
(3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省湘潭市高考数学模拟自编卷01（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D D B A B AB ABD
题号 11
答案 BCD
12．
13．/0.75
14．
15．
（1）
因为，所以不为；
所以，
所以，
又因为，所以，故，
所以；
（2）由（1）得：，所以，
所以，所以；
由余弦定理：；
根据基本不等式得：，代入得：，仅当时，等号成立，
解得：，所以的最大值为.
16．（1）当时，，，
由题意知切点为，切线斜率，
切线方程为：，即；
（2）的定义域为，，
当时，在上单调递增；
当时，时，单调递增，
时，单调递减；
当时，时，单调递减，
时，单调递增；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）法一：，
令，得，即
，得，
令，令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
．
又，当时，，当时，，
时，，当且时，，
当时，有2个零点，
实数的取值范围为；
法二：由题意可得，令，
，
当时，恒成立，则在上单调递增，
当时，时，，
只有一个零点，即只有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，
当时，时，，
故当，即时，有2个零点．
实数的取值范围为.
17．1）方法一：证明：连接，
是中点，是中点，
是的中位线，故.
又平面平面，
根据线面平行的判定定理，可得平面.
方法二：
证明：取的中点，连接.
是中点，是中点，.
又平面平面，故平面.
同理可证平面.
又平面，所以平面平面.
平面平面.
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，.
.设平面的法向量为，
则，
令，得
.设平面PCD的法向量为，
则，
令，得
设平面与平面所成的夹角为，则
故平面与平面所成夹角的余弦值为.
（3）三棱锥的内切球球心为，半径为，
三棱锥的表面积为，
则，
由等体积法可知：，则，
由题意，得球心，
则，得点到平面的距离，
而，得，
因此三棱锥体积的最大值为．
18．（1）列联表如下：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
女性 50 75 125
合计 75 225 300
零假设为：关注“湘超”赛事与性别无关．
故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，
即认为关注“湘超”赛事与性别有关.
（2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人，
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B，
则，
，
则，
所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为.
19．（1）由双曲线的焦距为可得，
又其中一条渐近线方程为，则，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意，切线的斜率都存在，设过点的切线的方程为，动圆的半径为，所以圆心到切线的距离为，
化简得，则的斜率是该方程的两个根，可得．
设直线，
联立方程得．
由韦达定理，，则，将其代入可得,
即得，同理可得,因，则得
又因为，
所以直线的方程为，
法一：直线的方程可化为
故直线过定点.
法二：根据双曲线的对称性，若定点存在，则一定在轴上，不妨设为，
将代入方程，得，
化简整理，得，
因,故由，解得．
故直线过定点.
（3）由（1）知，设,依题意，,
化简得：,两边取平方，整理即得动点的轨迹方程为，其中.
由题意可设直线的方程分别为和，其中，
联立方程得，所以，
将代入到直线得到；
联立方程得，所以，
将代入到直线得到，
同理可得.
将点，同时向右平移一个单位长度，分别得到，，直线与轴交点的纵坐标为
，
因此直线经过点，
同理可得（将互换）直线也经过点，
所以直线与的交点为，在定直线上.
答案第1页，共2页
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