2026届湖南省衡阳市高考数学模拟自编卷01（人教版）（含答案）

2026届湖南省衡阳市高考数学模拟自编卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，且，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
8．有一个正方形，其四个顶点均在曲线上，则该正方形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据的方差，则所有的都相等
B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是4和0.3
D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为
10．为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ）
A．若，则的最小值为3
B．点到直线的距离的最小值为
C．若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为
D．过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为
11．函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．
C．时，取得最大值
D．的解集是
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．的展开式中，常数项为_____（用数字作答）.
13．已知正数满足，则__________.
14．满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为________
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且．
(1)求证：平面；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
16．湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为.
(1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望.
17．设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
18．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．
19．抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026届湖南省衡阳市高考数学模拟自编卷01（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A B A D B AB ACD
题号 11
答案 BC
12．由题可得二项式展开式通项公式为，
所以当时得展开式常数项为.
故答案为：
13．因为
，
所以.
故答案为：16
14．解：当时，方程为，此时一定有解；
此时，0，1，2；即，，，四种；
当时，方程为一元二次方程，
△，则．
当，1，2时，此时，的对数为，，，
，，，，，，共9种，
关于的方程有实数解的有序数对的个数为13种，
故答案为13．
15．（1）过点作于点，连接，
平面平面，且平面平面平面，
平面.
又平面，，
又平面平面，
平面.
（2）取G为的中点，
由题知底面是以为直角的等腰直角三角形，易得，
又平面，且平面，
，而，
，而，
故平面，因平面，
而由（1）知平面，平面，则，故H与G重合.
又，平面，则平面，
又平面，则，又，故四边形AHDE为矩形.
如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因，则.
平面的一个法向量可取为，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
16．（1）记三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件，
则．
（2）．
（3）记三幅作品成为成品的事件分别为，
则，
由可取，
则，
，
，
，
则的分布列为
0 1 2 3
则数学期望．
17．（1）由得，可知，
两式相减得，
即，
，
∵当时，，
则是首项为1，公差的等差数列，
的通项公式为；
（2），
，
.
18．（1）已知第1天一定晨跑，故，
第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故，
第3天晨跑的情况分两种：
第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为，
第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，
故.
（2）由题意得，张明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为，
张明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为，
所以，
即，则，
所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
由（1）得，，，所以，
所以，
则，
所以，
所以．（或）
（3）记他前天中，第天晨跑的次数为．
由题意得，服从两点分布，且，
因为，且对于离散型随机变量，都有，
所以
，
所以，
所以
所以.
（或
19．（1）设该点坐标为，则，且，则
则，化简得，
解得或，又，则，
即；
（2），设直线的方程为，
联立，则有，恒成立，
则，即得证；
（3）由在第一象限，则在第四象限，
则点在函数上，，
则抛物线上以为切点的切线为，
又，则，
点在函数上，，
则抛物线上以为切点的切线为，
又，则，
令，解得，即，
由、，则，，
即，
则，
故
.
答案第1页，共2页
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