华东师大版（2024）八下16.1变量与函数（含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版（2024）八下16.1变量与函数（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 815.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-06 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 16.1变量与函数 单元 16 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质； 2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量； 3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式； 4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。
重点 变量与函数概念的形成与理解。
难点 从具体情境中抽象出函数关系，并能用解析式等数学语言进行刻画。
教学过程
导入新课 从“变化”中发现“关系” 在我们的生活中，很多事情都在变化。 那么请同学们思考一下，在汽车行驶过程中，时间不停变化，行驶的路程也在变化，那么时间和路程之间有没有什么联系呢？如果有联系，那他们是怎样一种联系？
新知讲解 问题1：图16.1.1是某地一天内的气温变化图。 【提问】这张图告诉我们哪些信息？ 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温。 (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？ 问题2: 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表： 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？ 问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值： 细心的同学可能会发现：每一列λ与f的对应值的乘积是一个定值，即 或者说 可以看出：波长λ越大，频率f就______。 问题4：圆的面积随着半径的增大而增大。如果用 r表示圆的半径，用S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：______ 利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表： 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律。这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的值。例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们可以取不同的数值。像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做 （variable）。 【提问】在其他三个问题中，有哪些变量？ 【提问】试说出上面4个问题中的自变量与因变量。 试一试【提问】 1.填写如图16.1.2所示的10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，你能发现什么？ 2.把这些涂黑的格子横向的加数用表示，纵向的加数用表示，试写出与之间的函数关系式。 3.当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？ 例1等腰三角形顶角的度数是底角度数的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量的取值范围。 例2如图16.1.3，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为10cm，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合。 (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式。 (2)当点从点开始向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？
巩固训练 【知识技能类作业】 必做题： 1.一辆匀速行驶的汽车，油箱中现有汽油50升，每行驶1小时耗油6升。设行驶时间为小时，油箱剩余油量为升。指出其中的常量、自变量和因变量。 2.请你写出一个用解析法表示的函数关系（写出关系式即可），并指出其中的自变量和因变量。 3.下列关于变量x、y的关系式：① y=2x+3；② y=x2+3；③ y=2|x|；④y=；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是 ． 4.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1) 圆的周长公式中，和都是变量。 (2) 正方形的面积是边长的函数，因为当确定时，也唯一确定。 选做题： 5.已知等腰三角形周长为20cm，设底边长为cm，腰长为cm，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。 6.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程（km）与行驶时间（h）的函数关系式是什么？当时，求的值；当时，求的值。 【综合拓展类作业】 7. 某商场推出购物优惠活动：消费满100元后，超出部分按8折收费。设顾客消费金额为元（），实际付款金额为元，写出关于的函数解析式，并计算消费250元时应付款多少元。
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1)常量就是永远不变的量，比如数字1、2、3都是常量。 (2)在函数关系中，因为变化时都变化，所以是因变量。 2.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. （1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化； （2）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实数为y，y 随 x 的变化而变化． 3.某通信公司手机话费套餐：月租费29元，通话每分钟0.2元。 (1)设本月通话时间为分钟，总话费为元，写出与的关系式。 (2)自变量是什么？它的实际取值有什么限制？ 4.已知长方形的周长为 30 cm。若设长方形的长为cm，宽为cm，请写出与之间的关系式。 选做题： 5.用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，面积为cm ，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。 6.已知某水池现有水量立方米，现以每分钟5立方米的速度匀速放水，设放水时间为分钟，水池剩余水量为立方米，写出关于的函数解析式（用表示），并求出自变量的取值范围。 【综合拓展类作业】 7. 甲、乙两家书店对同一套书促销。甲店：一次性购买超过10本，超过部分每本打8折；乙店：全部按标价9折出售。已知书每本标价20元。设购买x本（x>10），在甲店需付元，在乙店需付元。 (1)写出关于x的函数解析式。 (2)若要购买30本，去哪家更省钱？
答案：
巩固训练
【知识技能类作业】
必做题：
1.一辆匀速行驶的汽车，油箱中现有汽油50升，每行驶1小时耗油6升。设行驶时间为小时，油箱剩余油量为升。指出其中的常量、自变量和因变量。
常量：50，6；自变量：；因变量：。
2.请你写出一个用解析法表示的函数关系（写出关系式即可），并指出其中的自变量和因变量。
（示例）。自变量是，因变量是。
3.下列关于变量x、y的关系式：① y=2x+3；② y=x2+3；③ y=2|x|；④y=；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是 ．
①②③
【方法】判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应。
4.判断下列说法是否正确，并说明理由:
(1) 圆的周长公式中，和都是变量。
正确。因为可以取不同的值，也随着的变化而变化。
(2) 正方形的面积是边长的函数，因为当确定时，也唯一确定。
正确。符合函数定义：对于的每一个值，都有唯一确定的与之对应。
选做题：
5.已知等腰三角形周长为20cm，设底边长为cm，腰长为cm，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。
，。
6.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程（km）与行驶时间（h）的函数关系式是什么？当时，求的值；当时，求的值。
；当时，；当时，。
【综合拓展类作业】
7. 某商场推出购物优惠活动：消费满100元后，超出部分按8折收费。设顾客消费金额为元（），实际付款金额为元，写出关于的函数解析式，并计算消费250元时应付款多少元。
；
当时，元。
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.判断下列说法是否正确，并说明理由:
(1)常量就是永远不变的量，比如数字1、2、3都是常量。
错误。常量是相对于一个具体的变化过程而言的，在该过程中数值保持不变。数字1、2、3本身是数字，不一定是某个具体过程中的常量。
(2)在函数关系中，因为变化时都变化，所以是因变量。
错误。在中，是自变量，是因变量。
2.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化；
（2）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实数为y，y 随 x 的变化而变化．
（1）S是x的函数，其中x是自变量。
（2）y不是x的函数。
3.某通信公司手机话费套餐：月租费29元，通话每分钟0.2元。
(1)设本月通话时间为分钟，总话费为元，写出与的关系式。
(2)自变量是什么？它的实际取值有什么限制？
自变量是通话时间。实际中应满足，且通常取整数。
4.已知长方形的周长为 30 cm。若设长方形的长为cm，宽为cm，请写出与之间的关系式。
根据长方形周长公式：。化简得：，所以。
选做题：
5.用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，面积为cm ，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。
，。
6.已知某水池现有水量立方米，现以每分钟5立方米的速度匀速放水，设放水时间为分钟，水池剩余水量为立方米，写出关于的函数解析式（用表示），并求出自变量的取值范围。
，。
【综合拓展类作业】
7. 甲、乙两家书店对同一套书促销。甲店：一次性购买超过10本，超过部分每本打8折；乙店：全部按标价9折出售。已知书每本标价20元。设购买x本（x>10），在甲店需付元，在乙店需付元。
(1)写出关于x的函数解析式。
(2)若要购买30本，去哪家更省钱？
(1)甲店：。
乙店：。
（2）当时，元，元，甲店更省钱。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
分课时学案
课题 16.1变量与函数 单元 16 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质； 2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量； 3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式； 4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。
重点 变量与函数概念的形成与理解。
难点 从具体情境中抽象出函数关系，并能用解析式等数学语言进行刻画。
教学过程
导入新课 从“变化”中发现“关系” 在我们的生活中，很多事情都在变化。 那么请同学们思考一下，在汽车行驶过程中，时间不停变化，行驶的路程也在变化，那么时间和路程之间有没有什么联系呢？如果有联系，那他们是怎样一种联系？
新知讲解 问题1：图16.1.1是某地一天内的气温变化图。 【提问】这张图告诉我们哪些信息？ 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温。 (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？ 问题2: 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表： 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？ 问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值： 细心的同学可能会发现：每一列λ与f的对应值的乘积是一个定值，即 或者说 可以看出：波长λ越大，频率f就______。 问题4：圆的面积随着半径的增大而增大。如果用 r表示圆的半径，用S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：______ 利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表： 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律。这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的值。例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们可以取不同的数值。像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做 （variable）。 【提问】在其他三个问题中，有哪些变量？ 【提问】试说出上面4个问题中的自变量与因变量。 试一试【提问】 1.填写如图16.1.2所示的10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，你能发现什么？ 2.把这些涂黑的格子横向的加数用表示，纵向的加数用表示，试写出与之间的函数关系式。 3.当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？ 例1等腰三角形顶角的度数是底角度数的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量的取值范围。 例2如图16.1.3，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为10cm，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合。 (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式。 (2)当点从点开始向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？
巩固训练 【知识技能类作业】 必做题： 1.一辆匀速行驶的汽车，油箱中现有汽油50升，每行驶1小时耗油6升。设行驶时间为小时，油箱剩余油量为升。指出其中的常量、自变量和因变量。 2.请你写出一个用解析法表示的函数关系（写出关系式即可），并指出其中的自变量和因变量。 3.下列关于变量x、y的关系式：① y=2x+3；② y=x2+3；③ y=2|x|；④y=；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是 ． 4.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1) 圆的周长公式中，和都是变量。 (2) 正方形的面积是边长的函数，因为当确定时，也唯一确定。 选做题： 5.已知等腰三角形周长为20cm，设底边长为cm，腰长为cm，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。 6.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程（km）与行驶时间（h）的函数关系式是什么？当时，求的值；当时，求的值。 【综合拓展类作业】 7. 某商场推出购物优惠活动：消费满100元后，超出部分按8折收费。设顾客消费金额为元（），实际付款金额为元，写出关于的函数解析式，并计算消费250元时应付款多少元。
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1)常量就是永远不变的量，比如数字1、2、3都是常量。 (2)在函数关系中，因为变化时都变化，所以是因变量。 2.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. （1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化； （2）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实数为y，y 随 x 的变化而变化． 3.某通信公司手机话费套餐：月租费29元，通话每分钟0.2元。 (1)设本月通话时间为分钟，总话费为元，写出与的关系式。 (2)自变量是什么？它的实际取值有什么限制？ 4.已知长方形的周长为 30 cm。若设长方形的长为cm，宽为cm，请写出与之间的关系式。 选做题： 5.用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，面积为cm ，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。 6.已知某水池现有水量立方米，现以每分钟5立方米的速度匀速放水，设放水时间为分钟，水池剩余水量为立方米，写出关于的函数解析式（用表示），并求出自变量的取值范围。 【综合拓展类作业】 7. 甲、乙两家书店对同一套书促销。甲店：一次性购买超过10本，超过部分每本打8折；乙店：全部按标价9折出售。已知书每本标价20元。设购买x本（x>10），在甲店需付元，在乙店需付元。 (1)写出关于x的函数解析式。 (2)若要购买30本，去哪家更省钱？
答案：
巩固训练
【知识技能类作业】
必做题：
1.一辆匀速行驶的汽车，油箱中现有汽油50升，每行驶1小时耗油6升。设行驶时间为小时，油箱剩余油量为升。指出其中的常量、自变量和因变量。
常量：50，6；自变量：；因变量：。
2.请你写出一个用解析法表示的函数关系（写出关系式即可），并指出其中的自变量和因变量。
（示例）。自变量是，因变量是。
3.下列关于变量x、y的关系式：① y=2x+3；② y=x2+3；③ y=2|x|；④y=；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是 ．
①②③
【方法】判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应。
4.判断下列说法是否正确，并说明理由:
(1) 圆的周长公式中，和都是变量。
正确。因为可以取不同的值，也随着的变化而变化。
(2) 正方形的面积是边长的函数，因为当确定时，也唯一确定。
正确。符合函数定义：对于的每一个值，都有唯一确定的与之对应。
选做题：
5.已知等腰三角形周长为20cm，设底边长为cm，腰长为cm，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。
，。
6.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程（km）与行驶时间（h）的函数关系式是什么？当时，求的值；当时，求的值。
；当时，；当时，。
【综合拓展类作业】
7. 某商场推出购物优惠活动：消费满100元后，超出部分按8折收费。设顾客消费金额为元（），实际付款金额为元，写出关于的函数解析式，并计算消费250元时应付款多少元。
；
当时，元。
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.判断下列说法是否正确，并说明理由:
(1)常量就是永远不变的量，比如数字1、2、3都是常量。
错误。常量是相对于一个具体的变化过程而言的，在该过程中数值保持不变。数字1、2、3本身是数字，不一定是某个具体过程中的常量。
(2)在函数关系中，因为变化时都变化，所以是因变量。
错误。在中，是自变量，是因变量。
2.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化；
（2）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实数为y，y 随 x 的变化而变化．
（1）S是x的函数，其中x是自变量。
（2）y不是x的函数。
3.某通信公司手机话费套餐：月租费29元，通话每分钟0.2元。
(1)设本月通话时间为分钟，总话费为元，写出与的关系式。
(2)自变量是什么？它的实际取值有什么限制？
自变量是通话时间。实际中应满足，且通常取整数。
4.已知长方形的周长为 30 cm。若设长方形的长为cm，宽为cm，请写出与之间的关系式。
根据长方形周长公式：。化简得：，所以。
选做题：
5.用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，面积为cm ，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。
，。
6.已知某水池现有水量立方米，现以每分钟5立方米的速度匀速放水，设放水时间为分钟，水池剩余水量为立方米，写出关于的函数解析式（用表示），并求出自变量的取值范围。
，。
【综合拓展类作业】
7. 甲、乙两家书店对同一套书促销。甲店：一次性购买超过10本，超过部分每本打8折；乙店：全部按标价9折出售。已知书每本标价20元。设购买x本（x>10），在甲店需付元，在乙店需付元。
(1)写出关于x的函数解析式。
(2)若要购买30本，去哪家更省钱？
(1)甲店：。
乙店：。
（2）当时，元，元，甲店更省钱。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)