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课题：比较线段的长短
教学目标：
一、 知识与技能目标：
1. 了解“两点之间线段最短”的性质；
2．能用圆规、直尺作一条线段等于已知线段；
3．利用直尺、圆规等工具比较两条线段的大小；
4．认识中点，进行计算
二、过程与方法目标：
1.培养学生用类比的思想比较两条线段的大小，发展学生的符号感和数感；
2.培养学生动手操作的能力，发现问题、解决问题的能力。
三、情感态度与价值观目标：
1.让学生在教学活动中培养学习数学的兴趣；
2.培养学生实事求是的科学态度。
重点：
线段长短的两种比较方法；线段中点的概念及表示方法.
难点
叠合法比较两条线段大小；会画一条线段等于已知线段.
教学流程：
回顾旧知，情景导入
同学们，上节课我们认识了线段、射线、直线，那大家还记得线段的特点吗
线段有两个端点，可以测量长度。
二、讲授新知
如图，从点A到点C有很多条路可以走，那么要想尽快到达目的地，大家会选择哪条道路呢？请说明理由
学生：AC.
根据生活经验，很容易发现：两点之间的所有连线中，线段最短。
这一事实可以简述为：两点之间，线段最短。
我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
活动探究
1.比较下图哪棵树高，哪只笔长，窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？
2.怎么比较两条线段的长短？
讲授新知
1.比较两条线段的长短方法
如果直接观察难以判断，我们可以有两种方法进行比较：
度量法：用刻度尺测量他们的长度，进行比较
用度量法比较线段大小，其实就是比较两个数的大小。
（从“数”的角度去比较线段的长短）
叠合法：将其中一条线段移到另一条上去，将其中一个端点重合在一起进行比较。
步骤：
① 将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合
② 将线段AB沿着线段CD的方向落下
若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可记做：AB=CD
若端点B落在D内，则得到线段AB小于线段CD，可记做：AB＜CD
若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可记做：AB＞CD
如图：
线段AB与线段CD相等，记作AB=CD
线段AB大于线段CD，记作AB>CD
线段AB小于线段CD，记作AB2.尺规作图法可以将一条线段移到另一条线段上
四、实例讲解
如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB。
解：作图步骤如下：
（1）作射线 A'C'
（2）用圆规在射线A'C上截取A'B'= AB
线段A'B'就是所求作的线段
同步练习：
如图，已知线段a，借助圆规和直尺作一条线段AB使它等于2a。
①画一条射线，以点A为圆心，线段a为半径，画一段圆弧，与射线交于点P；
②再以点P为圆心，线段a为半径画一段圆弧交于点B，如图，线段AB即为所求
注意：一看起点
二看方向
三看落点
讲授新知
如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。这时AM=BM=1/2AB（或AB=2AM=2BM）21世纪教育网版权所有
做一做
在直线l上顺次取A,B,C三点，使得AB=4cm，BC=3cm.如果点O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？www.21-cn-jy.com
解：∵AB=4cm，BC=3cm
∴AC=7cm
又点O是线段AC的中点
∴AO=3.5cm
∴OB=AB-AO
=4-3.5
=0.5cm
即线段OB的长度是0.5cm.
随堂练习
1.如图，C,D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m,CD=n，则AB=（）2·1·c·n·j·y
A.m-n B.m+n C.2m-n D.2m+n
答案：C
解：EF=EC+DF+CD
CD=n
所以EC+DF=m-n
AB=AE+EF+FB
根据题目E,F是AC,BD的中点
AE+FB=EC+DF
所以AB=CD+2(EC+DF)=2m-n
2.如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC、线段BC、射线BA；
（2）取线段BC的中点D，连接AD；
（3）延长线段CB到E，使EB=CB，并连接AE．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图：
3. 如图，A，B是公路两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、 B两村的距离和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由21教育网
作法是：连接AB交L于点P，则P点为汽车站位置
理由是：两点之间，线段最短
4. 已知线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，线段AC和BC的中点之间的距离为_______cm．21·cn·jy·com
解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，
而AC=5.6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC+BC=8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为21·世纪*教育网
/ AC+ / BC = / （AC+BC）=4cm
②当B点在线段AC上，此时AB=AC-BC，
而AC=5.6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC-BC=3.2cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为
/ AC- / BC = / （AC-BC）=1.6cmwww-2-1-cnjy-com
拓展提升
1.如图，线段AB=4，点O是线段AB上的一点，C,D分别是线段OA,OB的中点，小明据此很轻松的求得CD=2.他在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上时，原有结论“CD=2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由。
解：仍然成立
因为OC=OA，OD=OB，
所以CD=OC-OD=（OA-OB）=×4=2。
2. 已知k=2,线段AB=12cm，点C是直线AB上一点，且AC：BC=1：k，若点D是AC的中点，求线段CD的长．21cnjy.com
解：将k=2代入AC：BC=1：k，
得AC：BC=1：2，
有两种情况：
①当点C在线段AB上时，3AC=AB，
∵AB=12cm，
∴AC=4，
又∵点D是AC的中点，CD=2cm；
②当点C在线段BA延长线上时，
则由AC：BC=1：2，
得：=
∵AB=12cm，
∴AC=12cm，
又∵点D是AC的中点，
∴CD=6cm．
答：CD为2cm或6cm．
总结归纳
1.公理：两点之间，线段最短
2.比较线段长短的方法
3.中点的概念
十、布置作业
课本第113页2、3 题
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比较线段的长短
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题8分，共40分)
1. 如图，C、D是线段AB上两点，若BC=4 cm，AB=10 cm，且D是AC的中点，则CD的长等于（ ） 21cnjy.com
A．3 cm B. 6 cm C. 11 cm D. 14 cmwww.21-cn-jy.com
2. 如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为() 2·1·c·n·j·y
A.5a+8b+9c+8d+5e
B.5a+8b+10c+8d+5e
C.5a+9b+9c+9d+5e
D.10a+16b+18c+16d+10e
3. 如图，已知D是线段AC的中点，线段BD=7.5cm，线段BC=6cm，线段AB的长为（）cm 21·世纪*教育网
A、1.5 B、7.5 C、9 D、6
4. 如图，AB=CD，则下列结论不一定成立的是（）
A．AC＞BC B．AC=BD C．AB+BC=BD D．AB+CD=BCwww-2-1-cnjy-com
5. 下列说法正确的是（ ）
A、 若P是线段AB的中点，则AP=2BP
B、如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点
C、两点之间的连线中，直线最短
D、两点之间的线段叫做者两点之间的距离
二、填空题(每小题8分，共40分)
6. 若点C是线段AB的中点，则可表示BC=AC，或AB=2AC，还可以表示__________(只要写一个正确的结论即可)．21·cn·jy·com
7. 如图，M是线段AB的中点，N是线段AM的中点，且NB=6cm，则AB=______cm．
8. 如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，已知图中所有的线段之和为39，求线段BC长________．
2-1-c-n-j-y
9.如图，数轴上M，N，P，Q四点对应的数都是整数，且点M为线段NQ的中点，点P为线段NM的中点．若点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且b-2a=0，则数轴上的原点是__________（在“M、N、P、Q”中选一点） 21*cnjy*com
10. 如图所示，A，B是两个村庄，若要在河边L上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的_________，才能使铺设的管道最短，理由是_____________
三、解答题（共20分）
11. 已知线段AB=8，平面上有一点P。
（1）若AB=5，PB等于多少时，P在线段AB上？
（2）当P在线段AB上，并且PA=PB时，确定P点的位置，并比较PA+PB与AB的大小。
12.已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且AC=4cm，M是线段BC的中点，求线段BM的长。21教育网
参考答案
一、选择题
1.A
【解析】因为BC=4 cm，AB=10 cm，所以AC=6cm, 又D是AC的中点，所以CD=1/2AC=3cm【来源：21·世纪·教育·网】
故选A
2.A
【解析】:首先求出以A为端点线段的长度，类比依次求出B、C、D、E为端点的线段的长度，然后求出这些线段的长度总和．
解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，
以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，
以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，
以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，
以E为端点线段有EF，线段的长度为e，
故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e
故选A．【来源：21cnj*y.co*m】
3. C
【解析】AD=DC=BD-BC=7.5-6=1.5cm，
AB=AD+BD=7.5+1.5=9cm．
故线段AB的长为9cm．
故选C
4．D
【解析】A选项，AC=AB+BC，所以AC＞BC，正确；B选项，AB=CD，AB+BC=BC+CD,即AC=BD，正确；C选项，AB+BC=BC+CD=BD，正确；D选项，AB+CD与BC的关系不能确定。21世纪教育网版权所有
故选D．
5.B
【解析】A选项，若P是线段AB的中点，则AP=BP；B正确；C两点之间的连线中，线段最短；D选项，两点之间线段的长度叫两点之间的距离。【出处：21教育名师】
故选B
二、填空题
6.AB=2BC,BC=1/2AB,AC=1/2AB（回答对一个就得分）
【解析】考察中点的性质。
7.8
【解析】如图，∵M是线段AB的中点，
∴AB=2AM=2MB．
又∵N是线段AM的中点，
∴AN= 1 2 AM= 1 4 AB，
∴NB=AB-AN=AB- 1 4 AB=6，即 3 4 AB=6，
解得AB=8（cm）．
8.6
【解析】设CD=x，则AC=BC=2x，AD=3x，AB=4x，DB=x．
∴x+2x+2x+3x+4x+x=39
解得x=3
∴BC=2x=6．
9.Q点
【解析】∵点M为线段NQ的中点，
∴QN=2QM，
∵点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且b-2a=0，
∴数轴上的原点是Q．
10.线段AB与直线L的交点 两点之间，线段最短
【解析】如下图，过点A，B作线段AB，与直线L的交点P为所求水泵站的点，因为两点之间，线段最短．
三、解答题
11.解：（1）PB=8-5=3时，P在线段AB上
（2）P为线段AB中点,
∴PA+PB=AB
A、P、B三点共线,
12.解：
当点C在线段AB上时，如图
AC=AB-BC=8-4=4（cm），
∵M是AC的中点，
∴AM=AC=×4=2（cm）．
当点C在线段AB的延长线上时，如图
AC=AB+BC=8+4=12（cm）
∵M是AC的中点，
∴AM=AC=×12=6（cm），
综上可得：线段AM的长是2cm或6cm．
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比较线段的长短
【义务教育教科书北师版七年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
线段
1.有两个端点
2.可以测量长度
15cm
思考讨论
如图，从点A到点C有很多条路可以走，那么要想尽快到达目的地，大家会选择哪条道路呢？请说明理由
讲授新知
两点之间的所有连线中，线段最短
生活经验
两点之间，线段最短。
我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
活动探究
比较下图哪棵树高，哪只笔长，窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？
测量长短、叠合
讲授新知
比较两条线段的长短方法
度量法：用刻度尺测量他们的长度，进行比较
用度量法比较线段大小，其实就是比较两个数的大小
（从“数”的角度去比较线段的长短）
10cm
讲授新知
比较两条线段的长短方法
2.叠合法：将其中一条线段移到另一条上去，将其中一个端点重合在一起进行比较
A
B
C
D
A
B
C
D
讲授新知
叠合法步骤：
将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合
将线段AB沿着线段CD的方向落下
若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可记做：AB=CD
若端点B落在D内，则得到线段AB小于线段CD，可记做：AB＜CD
若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可记做：AB＞CD
A（C）
B（D）
A（C）
D
B
A（C）
B
D
实例讲解
尺规作图法将一条线段移到另一条线段上
如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB。
解：作图步骤如下：
（1）作射线 A'C'
A
B
A'
C'
实例讲解
（2）用圆规在射线A'C上截取A'B'= AB
A'
C'
B'
线段A'B'就是所求作的线段
同步练习
如图，已知线段a，借助圆规和直尺作一条线段AB使它等于2a。
a
A
P
B
①画一条射线，以点A为圆心，线段a为半径，画一段圆弧，与射线交于点P；
②再以点P为圆心，线段a为半径画一段圆弧交于点B，如图，线段AB即为所求
一看起点
二看方向
三看落点
注意：
讲授新知
A
B
M
做一做
在直线l上顺次取A,B,C三点，使得AB=4cm，BC=3cm.如果点O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？
解：∵AB=4cm，BC=3cm
∴AC=7cm
又点O是线段AC的中点
∴AO=3.5cm
∴OB=AB-AO
=4-3.5
=0.5cm
即线段OB的长度是0.5cm.
A
C
B
O
随堂练习
1.如图，C,D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m,CD=n，则AB=（ ）
A.m-n B.m+n C.2m-n D.2m+n
解：EF=EC+DF+CD,CD=n
所以EC+DF=m-n
AB=AE+EF+FB
根据题目E,F是AC,BD的中点
AE+FB=EC+DF
所以AB=CD+2(EC+DF)=2m-n
C
随堂练习
2.如图1，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC、线段BC、射线BA；
（2）取线段BC的中点D，连接AD；
（ 3）延长线段CB到E，使EB=CB，并连接AE．
解：如图2
图1
图2
随堂练习
3.如图，A，B是公路两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、 B两村的距离和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由
l
A
B
作法是：连接AB交L于点P，则P点为汽车站位置
理由是：两点之间，线段最短
P
随堂练习
4.已知线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，线段AC和BC的中点之间的距离为_______cm．
解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，
而AC=5.6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC+BC=8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为
AC+ BC = （AC+BC）=4cm
A
B
C
4或1.6
随堂练习
②当B点在线段AC上，此时AB=AC-BC，
而AC=5.6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC-BC=3.2cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为
AC- BC = （AC-BC）=1.6cm
A
C
B
拓展提升
1.如图，线段AB=4，点O是线段AB上的一点，C,D分别是线段OA,OB的中点，小明据此很轻松的求得CD=2.他在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上时，原有结论“CD=2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由。
拓展提升
解：仍然成立。
拓展提升
2. 已知k=2,线段AB=12cm，点C是直线AB上一点，且AC：BC=1：k，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
解：将k=2代入AC：BC=1：k，
得AC：BC=1：2，
有两种情况：
①当点C在线段AB上时，3AC=AB，
∵AB=12cm，
∴AC=4，
又∵点D是AC的中点，CD=2cm；
拓展提升
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.公理：两点之间，线段最短
2.比较线段长短的方法
3.中点的概念
布置作业
教材113页习题第2、3题。
