6.2 圆周运动的受力特点----2025--2026学年人教版2019必修第二册（含答案）

专题6.2 圆周运动的受力特点
【人教版】
题型
【题型1 向心力的理解】
【题型2 匀速圆周运动中的动态分析问题】
【题型3 匀速圆周运动中的对比问题】
【题型4 匀速圆周运动中有关绳的临界问题】
【题型5 匀速圆周运动中摩擦力作用下的临界问题】
【题型6 联系实际问题】
【题型7 圆周加平抛的问题】
例题
【题型1 向心力的理解】
【例1】(多选)如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是(　 )
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速率越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
【变式1-1】如图所示，一个圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，角速度为ω，盘面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动，已知物块到转轴的距离为r，下列说法正确的是(　　)
A. 物块受重力、弹力、向心力作用，合力大小为mω2r
B.物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用，合力大小为mω2r
C.物块受重力、弹力、摩擦力作用，合力大小为mω2r
D.物块只受重力、弹力作用，合力大小为零
【变式1-2】质量为m的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)
A．因为速率不变，所以木块的加速度为零
B．木块下滑过程中所受的合外力越来越大
C．木块下滑过程中所受的摩擦力大小不变
D．木块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心
【变式1-3】雨天野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”．如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来．如图4所示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则(　　)
A．泥巴在图中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B．泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来
C．泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来
D．泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来
【题型2 匀速圆周运动中的动态分析问题】
【例2】用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是选项中的(　　)
【变式2-1】 (多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证除发动机推力外的其他力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T，则下列说法正确的是(　　)
A.若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大
B.若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大
C.若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大
D.若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变
【变式2-2】(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.B受到的静摩擦力一直增大
B.B受到的静摩擦力是先增大后减小再增大
C.A受到的静摩擦力是先增大后减小
D.A受到的合力一直在增大
【变式2-3】[多选]如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中(　　)
A．小球的向心加速度逐渐减小
B．小球运动的角速度逐渐减小
C．小球运动的线速度逐渐减小
D．小球运动的周期逐渐减小
【题型3 匀速圆周运动中的对比问题】
【例3】(多选)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若ω′＞ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　 )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【变式3-1】天花板下悬挂的轻质光滑小挂钩可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地转动。一根光滑轻质细绳穿过挂钩，两端分别连接小球P和Q。两小球同时做匀速圆周运动，且在任意时刻两球均在同一水平面上，此时悬挂两球的细绳与竖直方向的夹角分别为45°和30°，则(　 )
A．两球向心加速度的大小相等
B．小球P、Q的质量之比为∶2
C．小球P、Q所受向心力的大小之比为∶1
D．两球线速度的大小相等
【变式3-2】拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上，现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是(图中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)(　 )
【变式3-3】(多选)如图，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在水平的旋转圆盘上，座椅A离转轴的距离较近。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动，稳定后A、B都在水平面内做匀速圆周运动。则下列说法正确的是(　　)
A. 座椅B的角速度比A大
B.座椅B的向心加速度比A大
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂B的缆绳所承受的拉力比悬挂A的缆绳所承受的拉力大
【题型4 匀速圆周运动中有关绳的临界问题】
【例4】(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图8所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω＞，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【变式4-1】(多选)如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是(　 )
A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω
C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
D．仅增加角速度至ω′后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力
【变式4-2】（多选）如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则(　　)
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而不变
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
【变式4-3】水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r.一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有(即刚好没有)张力，
求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值．
【题型5 匀速圆周运动中摩擦力作用下的临界问题】
【例5】如图所示，细绳一端系着质量M＝8 kg的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝2 kg的物体，M与圆孔的距离r＝0.5 m，已知M与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现使物体M随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围时m会处于静止状态．(g＝10 m/s2)
【变式5-1】（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
【变式5-2】如图，有一倾斜的匀质圆盘(半径足够大)，盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体(可视为质点)与盘面间的动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为(　 )
A. B.
C.g D.g
【变式5-3】（多选）如图所示，用长为L的轻绳（轻绳不可伸长）连接的甲、乙两物块（均可视为质点），放置在水平圆盘上，圆盘绕过圆心O的轴线转动。甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O的距离也为L，甲物块质量为2m，乙物块的质量为3m。甲、乙与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，则下列说法中正确的是（　　）
A. 圆盘转动的最大角速度为 B. 圆盘转动的最大角速度为
C. 轻绳最大弹力为 D. 轻绳最大弹力为
【题型6 联系实际问题】
【例6】如图所示，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动。甲运动的半径小于乙运动的半径，下列说法正确的是(　　)
A.甲的线速度大于乙的线速度
B.甲、乙两辆车的摩擦力相同
C.若角速度增大，乙先发生侧滑
D.甲的加速度大于乙的加速度
【变式6-1】如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，桥面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800 N，汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是(　 )
A．汽车的速度越大，则汽车对桥面的压力也越大
B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800 N
C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力
D．如果某时刻汽车的速度增大到使汽车对桥面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
【变式6-2】游乐场有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，其简化模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ(0＜θ≤)，当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　)
A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力
B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直
C.旋臂对模型飞机的作用力大小为m
D.若夹角θ增大，则旋臂对模型飞机的作用力减小
【变式6-3】的边缘上，绳子下端连接坐椅，人坐在坐椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和坐椅看作一个质点，则可简化为如图所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动．设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4 m．转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°.(不计空气阻力及绳重，绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)求质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及绳的拉力．
【题型7 圆周加平抛的问题】
【例7】(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆管轨道ABC竖直放置，轨道半径为R.O、A、D位于同一水平线上，A、D间的距离为R.质量为m的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A正上方由静止释放，要使小球能通过C点落到AD区，则球经过C点时(　　)
A．速度大小满足 ≤vC≤
B．速度大小满足0≤vC≤
C．对管的作用力大小满足mg≤FC≤mg
D．对管的作用力大小满足0≤FC≤mg
【变式7-1】一光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为74°，圆锥底面的圆心为O′。用一根长为0.5 m的轻绳一端系一质量为0.1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑圆锥顶上O点，O点距地面高度为0.75 m，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。
(1)当小球的角速度为4 rad/s时，求轻绳中的拉力大小。
(2)逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为 N时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与O′点间的距离。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【变式7-2】如图所示，一质量m＝1 kg的小球用长L＝0.5 m的细线悬挂在O点，O点距地面的高度H＝1 m。现使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动，已知细线的拉力T＝12.5 N，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。
(1)求小球的线速度大小v。
(2)在小球运动的过程中，若细线突然断裂，则细线断裂后小球做平抛运动的落地点与O′点之间的距离s为多少？
【变式7-3】如图所示,一根长L=0.5m的细绳悬于天花板上O点,绳的另一端挂一个质量为m=1kg的小球,已知绳能承受的最大拉力为12.5N,小球在水平面内做圆周运动,当速度逐渐增大,绳断裂后,小球将平抛后掉在地上.(g=10m/s2)
⑴绳刚断裂时小球的角速度为多大？
⑵若小球做圆周运动的平面离地高为h=0.6m,则小球经多长时间落地。
⑶在第⑵问中小球落地点离悬点在地面上的垂直投影的距离为多少？
参考答案
【题型1 向心力的理解】
【例1】(多选)如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是(　 )
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速率越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
解析：选BC　小球受重力、绳的拉力作用，二者合力提供向心力，由牛顿第二定律可得：Fcos θ＝mg，Fsin θ＝m，T＝，可求得v＝，T＝2π ，可见θ越大，v越大，T越小。B、C正确，A、D错误。
【变式1-1】如图所示，一个圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，角速度为ω，盘面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动，已知物块到转轴的距离为r，下列说法正确的是(　　)
A. 物块受重力、弹力、向心力作用，合力大小为mω2r
B.物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用，合力大小为mω2r
C.物块受重力、弹力、摩擦力作用，合力大小为mω2r
D.物块只受重力、弹力作用，合力大小为零
答案　C
解析　对物体进行受力分析可知物体受重力、圆盘对它的支持力及摩擦力作用。物体所受的合力等于摩擦力，合力提供向心力。根据牛顿第二定律有F合＝Ff＝mω2r，选项A、B、D错误，C正确。
【变式1-2】质量为m的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)
A．因为速率不变，所以木块的加速度为零
B．木块下滑过程中所受的合外力越来越大
C．木块下滑过程中所受的摩擦力大小不变
D．木块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心
答案　D
解析　由于木块沿圆弧下滑速率不变，故木块做匀速圆周运动，存在向心加速度，选项A错误；由牛顿第二定律得：F合＝man＝m，而v的大小不变，故合外力的大小不变，选项B错误；由于木块在滑动过程中与接触面的正压力是变化的，故滑动摩擦力在变化，选项C错误；木块在下滑过程中，速度的大小不变，所以向心加速度的大小不变，方向始终指向球心，选项D正确．
【变式1-3】雨天野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”．如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来．如图4所示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则(　　)
A．泥巴在图中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B．泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来
C．泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来
D．泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来
答案　C
解析　当后轮匀速转动时，由a＝Rω2知a、b、c、d四个位置的向心加速度大小相等，A错误．在角速度ω相同的情况下，泥巴在a点有Fa＋mg＝mω2R，在b、d两点有Fb＝Fd＝mω2R，在c点有Fc－mg＝mω2R.所以泥巴与轮胎在c位置的相互作用力最大，最容易被甩下来，故B、D错误，C正确．
【题型2 匀速圆周运动中的动态分析问题】
【例2】用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是选项中的(　　)
答案　C
解析　当角速度较小时，小球始终在圆锥面上运动，此时圆半径不变．角速度增大，细线拉力增大，当角速度增大到某一值时，小球会离开圆锥面，继续做圆周运动，此时拉力仍随角速度的增大而增大，但变化率较先前大，所以只有C符合题意．
【变式2-1】 (多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证除发动机推力外的其他力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T，则下列说法正确的是(　　)
A.若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大
B.若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大
C.若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大
D.若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变
答案　CD
解析　飞机盘旋时重力mg和机翼升力FN的合力F提供向心力，如图所示，因此有mgtan θ＝m，解得R＝，T＝＝。若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小，周期T减小，A、B项错误；若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大，C项正确；若飞行速率v增大，θ增大，如果满足＝，则周期T不变，D项正确。
【变式2-2】(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.B受到的静摩擦力一直增大
B.B受到的静摩擦力是先增大后减小再增大
C.A受到的静摩擦力是先增大后减小
D.A受到的合力一直在增大
答案　BD
解析　开始角速度较小时，两物体均靠静摩擦力提供向心力，角速度增大，静摩擦力增大，根据Ff＝mrω2，知ω＝，随着角速度的增大，A先达到最大静摩擦力，A先使绳子产生拉力，所以当绳子刚好产生拉力时，B受静摩擦力作用且未到最大静摩擦力，随着角速度的增大，对B，拉力和静摩擦力的合力提供向心力，角速度增大，则B的静摩擦力会减小，然后反向增大。对A，拉力和最大静摩擦共同提供向心力，角速度增大，静摩擦力不变，可知A的静摩擦力先增大达到最大静摩擦力后不变，B的静摩擦力先增大后减小，再增大，故A、C错误，B正确；根据向心力公式F＝m，在发生相对滑动前物体的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力就是物体受到的合力，故D正确。
【变式2-3】[多选]如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中(　　)
A．小球的向心加速度逐渐减小
B．小球运动的角速度逐渐减小
C．小球运动的线速度逐渐减小
D．小球运动的周期逐渐减小
解析：选CD　以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示。
由牛顿第二定律得：
＝ma＝＝mrω2
可知在A、B轨道的向心力大小相等，a＝，向心加速度不变，故A错误。角速度ω＝ ，由于半径减小，则角速度变大，故B错误。线速度v＝，由于半径减小，线速度减小，故C正确。周期T＝，角速度增大，则周期减小，故D正确。
【题型3 匀速圆周运动中的对比问题】
【例3】(多选)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若ω′＞ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　 )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
解析：选BD　对小球受力分析，设弹簧弹力为F弹，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球在竖直方向，F弹sin θ＝mg，而F弹＝k，可知θ为定值，F弹不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；当转速较小时，水平方向杆对小球的弹力FN背离转轴，则F弹cos θ－FN＝mω2r，即FN＝F弹cos θ－mω2r，当转速较大时，杆对小球的弹力指向转轴，F弹cos θ＋FN′＝mω′2r，即FN′＝mω′2r－F弹cos θ，则因ω′>ω ，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力的大小不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r，可知，因角速度变大，则小球所受合外力一定变大，D正确。
【变式3-1】天花板下悬挂的轻质光滑小挂钩可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地转动。一根光滑轻质细绳穿过挂钩，两端分别连接小球P和Q。两小球同时做匀速圆周运动，且在任意时刻两球均在同一水平面上，此时悬挂两球的细绳与竖直方向的夹角分别为45°和30°，则(　 )
A．两球向心加速度的大小相等
B．小球P、Q的质量之比为∶2
C．小球P、Q所受向心力的大小之比为∶1
D．两球线速度的大小相等
解析：选C　对小球受力分析可知，绳的拉力在水平方向的分力提供向心力，则有Fsin θ＝mgtan θ＝ma，得a＝gtan θ，P、Q两小球相连接的细绳与竖直方向的夹角的正切值不同，故它们的向心加速度大小不相等，故A错误；两小球由同一细绳连接，故细绳对小球的拉力大小相等，由受力分析可知Fcos θ＝mg，故两小球的质量之比为mP∶mQ＝cos 45°∶cos 30°＝∶，故B错误；两小球所受向心力由绳的拉力在水平方向的分力提供，有F向＝Fsin θ，故两小球所受向心力的大小之比为F向P∶F向Q＝sin 45°∶sin 30°＝∶1，故C正确；设挂钩到两小球做圆周运动的平面的距离为h，由圆周运动得mgtan θ＝m，得v＝tan θ，所以两小球做圆周运动的线速度大小之比为vP∶vQ＝tan 45°∶tan 30°＝∶1，故D错误。
【变式3-2】拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上，现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是(图中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)(　 )
[解析]　小球做匀速圆周运动，角速度相同，受力分析如图所示，
设绳长为L1，反向延长与拨浪鼓转轴交点为O，小球到O点的距离为L，鼓面半径为r。根据牛顿第二定律得mgtan γ＝mω2Lsin γ，整理得Lcos γ＝＝L1cos γ＋，则O点到小球转动平面的高度h＝Lcos γ相同，可知绳子长度L1越长，细绳与竖直方向的夹角γ越大，故绳子与拨浪鼓连接点A离小球做圆周运动平面的距离h1＝L1cos γ＝h－越大，即绳子长度L1越大，γ越大，h1越大。故C正确，A、B、D错误。
[答案]　C
【变式3-3】(多选)如图，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在水平的旋转圆盘上，座椅A离转轴的距离较近。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动，稳定后A、B都在水平面内做匀速圆周运动。则下列说法正确的是(　　)
A. 座椅B的角速度比A大
B.座椅B的向心加速度比A大
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂B的缆绳所承受的拉力比悬挂A的缆绳所承受的拉力大
答案　BD
解析　同轴转动角速度相同，由于座椅B的圆周半径比座椅A的半径大，由a＝ω2r得B的向心加速度比A的大，故选项A错误，B正确；设细线与竖直方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2r，解得tan θ＝，由于座椅B的圆周半径比座椅A的半径大，故B与竖直方向的夹角大，在竖直方向上有：FTcos θ＝mg，解得FT＝，悬挂B的缆绳所受到的拉力比悬挂A的大，故选项C错误，D正确。
【题型4 匀速圆周运动中有关绳的临界问题】
【例4】(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图8所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω＞，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案　AC
解析　小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故选项A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasin θ＝mg，计算得出Fa＝，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有＝mlω2，计算得出ω2＝，当角速度ω2＞，b绳将出现弹力，故选项C正确；因为b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。
【变式4-1】(多选)如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是(　 )
A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω
C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
D．仅增加角速度至ω′后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力
[解析]　根据题意可知，mgtan θ＝mrω2＝mω2Lsin θ，仅增加绳长后，小球需要向心力变大，则有离心趋势会挤压管壁外侧，小球受到玻璃管给的斜向下方的压力，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω，故A错误，B正确；小球质量可以被约去，所以仅增加小球质量，小球仍与管壁间无压力，故C错误；仅增加角速度至ω′后，小球需要向心力变大，则有离心趋势会挤压管壁外侧，小球受到玻璃管斜向下方的压力，故D正确。
[答案]　BD
【变式4-2】（多选）如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则(　　)
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而不变
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
答案　AC
解析　ω较小时，AP松弛，绳子BP的拉力随ω的增大而增大，故A选项正确，B选项错误．当ω达到某一值ω0时，AP刚好绷紧．物体P受力分析如图所示，其合力提供向心力，竖直方向合力为零．故FBP>FAP，C选项正确，D选项错误．
【变式4-3】水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r.一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有(即刚好没有)张力，
求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值．
答案　(1)　(2)
解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，
则μmg＝mrω12， 3分
解得：ω1＝. 2分
(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mgtan θ＝mω22r 3分
tan θ＝ 2分
联立解得：ω2＝ . 1分
【题型5 匀速圆周运动中摩擦力作用下的临界问题】
【例5】如图所示，细绳一端系着质量M＝8 kg的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝2 kg的物体，M与圆孔的距离r＝0.5 m，已知M与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现使物体M随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围时m会处于静止状态．(g＝10 m/s2)
答案　1 rad/s≤ω≤3 rad/s
解析　设角速度的最小值为ω1，此时M有向着圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径向外，由牛顿第二定律得：FT－μMg＝Mωr，设角速度的最大值为ω2，此时M有背离圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心，由牛顿第二定律得：FT＋μMg＝Mωr，
要使m静止，应有FT＝mg，
联立得ω1＝1 rad/s，ω2＝3 rad/s
则1 rad/s≤ω≤3 rad/s
【变式5-1】（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案　AC
解析　小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝ ；对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝ ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa【变式5-2】如图，有一倾斜的匀质圆盘(半径足够大)，盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体(可视为质点)与盘面间的动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为(　 )
A. B.
C.g D.g
[解析]　当物体在圆盘上转到最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度一定，由牛顿第二定律得：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2r，解得：r＝g，故A、B、D错误，C正确。
[答案]　C
【变式5-3】（多选）如图所示，用长为L的轻绳（轻绳不可伸长）连接的甲、乙两物块（均可视为质点），放置在水平圆盘上，圆盘绕过圆心O的轴线转动。甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O的距离也为L，甲物块质量为2m，乙物块的质量为3m。甲、乙与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，则下列说法中正确的是（　　）
A. 圆盘转动的最大角速度为 B. 圆盘转动的最大角速度为
C. 轻绳最大弹力为 D. 轻绳最大弹力为
【答案】AC
【解析】甲、乙始终相对圆盘静止，则甲乙的角速度相同，均为，甲物块圆周运动所需向心力
乙物块圆周运动所需向心力
甲物块的最大静摩擦力为
乙物块的最大静摩擦力为
在绳绷紧之前，绳的弹力为0，假设角速度逐渐增大时，甲物块先达到最大静摩擦力，则
此时，乙物块所需向心力
表明，在绳绷紧之前，绳的弹力为0，若角速度逐渐增大时，乙物块先达到最大静摩擦力，则
解得
当角速度在之上进一步增大时，绳绷紧，乙的弹力方向指向圆心，对甲的弹力方向背离圆心，当角速度增大到最大值时，甲物体也达到最大静摩擦力，绳的弹力亦达到最大，此时对甲乙分别进行受力分析有
，
解得 ，
AC正确，BD错误。
故选AC。
【题型6 联系实际问题】
【例6】如图所示，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动。甲运动的半径小于乙运动的半径，下列说法正确的是(　　)
A.甲的线速度大于乙的线速度
B.甲、乙两辆车的摩擦力相同
C.若角速度增大，乙先发生侧滑
D.甲的加速度大于乙的加速度
答案　C
解析　甲、乙两车以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动，甲运动的半径小于乙运动的半径，根据v＝ωr可得甲的线速度小于乙的线速度，故A错误；甲、乙两车做匀速圆周运动时，静摩擦力提供向心力，则有Ff＝mω2r，由于甲运动的半径小于乙运动的半径，所以甲车受到的摩擦力小于乙车受到的摩擦力，故B错误；车辆刚好发生侧滑时，则有μmg＝mω2r，解得ω＝，运动的半径越大，临界的角速度越小，越容易发生侧滑，所以若角速度增大时，乙先发生侧滑，故C正确；根据a＝ω2r可知，甲的加速度小于乙的加速度，故D错误。
【变式6-1】如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，桥面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800 N，汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是(　 )
A．汽车的速度越大，则汽车对桥面的压力也越大
B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800 N
C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力
D．如果某时刻汽车的速度增大到使汽车对桥面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
解析：选C　汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力提供汽车的向心力，则有G－FN＝m，v越大，则FN越小，由牛顿第三定律知汽车对桥面的压力越小，故A错误；同理对驾驶员受力分析可知B错误；因为驾驶员的一部分重力用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，所以驾驶员对座椅的压力小于他自身的重力，故C正确；如果汽车的速度增大到使汽车对桥面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误。
【变式6-2】游乐场有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，其简化模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ(0＜θ≤)，当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　)
A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力
B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直
C.旋臂对模型飞机的作用力大小为m
D.若夹角θ增大，则旋臂对模型飞机的作用力减小
答案　C
解析　当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，模型飞机受到重力和旋臂的作用力，它们的合力提供向心力，选项A错误；旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，这个作用力在水平方向的分力提供向心力，在竖直方向的分力与重力平衡，选项B错误；由力的合成可知，旋臂对模型飞机的作用力大小为F＝m，选项C正确；由C项分析可知，当夹角θ增大时，旋臂对模型飞机的作用力增大，选项D错误。
【变式6-3】的边缘上，绳子下端连接坐椅，人坐在坐椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和坐椅看作一个质点，则可简化为如图所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动．设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4 m．转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°.(不计空气阻力及绳重，绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)求质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及绳的拉力．
解析　半径R＝d＋lsin θ＝10 m
由受力分析图可知：
FT＝＝ N＝750 N
F＝mgtan θ＝450 N
由F向＝ma向得
a向＝＝7.5 m/s2，a向＝Rω2，ω＝ ＝ rad/s
答案　 rad/s　750 N
【题型7 圆周加平抛的问题】
【例7】(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆管轨道ABC竖直放置，轨道半径为R.O、A、D位于同一水平线上，A、D间的距离为R.质量为m的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A正上方由静止释放，要使小球能通过C点落到AD区，则球经过C点时(　　)
A．速度大小满足 ≤vC≤
B．速度大小满足0≤vC≤
C．对管的作用力大小满足mg≤FC≤mg
D．对管的作用力大小满足0≤FC≤mg
答案 AD
解析 小球离开C点做平抛运动，落到A点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：竖直方向有R＝gt2，水平方向有R＝vC1t，解得vC1＝ ；小球落到D点时水平位移为2R，则有2R＝vC2t，解得vC2＝，故速度大小满足 ≤vC≤，A项正确，B项错误；由于球的直径略小于圆管直径，所以过C点时，管壁对小球的作用力可能向下，也可能向上，当vC1＝，向心力F1＝＝＜mg，所以管壁对小球的作用力向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝，解得FN＝mg；当vC2＝，向心力F2＝＝2mg＞mg，所以管壁对小球的作用力向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN′＝，解得FN′＝mg；假设在C点管壁对小球的作用力为0时的速度大小为vC3，则由向心力公式可得mg＝，解得vC3＝，vC3在 ≤vC≤范围内，所以满足条件．所以球经过C点时对管的作用力大小满足0≤FC≤mg，C项错误，D项正确．
【变式7-1】一光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为74°，圆锥底面的圆心为O′。用一根长为0.5 m的轻绳一端系一质量为0.1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑圆锥顶上O点，O点距地面高度为0.75 m，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。
(1)当小球的角速度为4 rad/s时，求轻绳中的拉力大小。
(2)逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为 N时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与O′点间的距离。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：(1)当小球在圆锥表面上运动时，
据牛顿第二定律可得：
Tsin 37°－FNcos 37°＝mω2Lsin 37° ①
Tcos 37°＋FNsin 37°＝mg ②
小球刚要离开圆锥表面时，支持力为零，求得：ω0＝5 rad/s
T0＝1.25 N
当小球的角速度为4 rad/s时，小球在圆锥表面上运动，
根据公式①②可求得：T1＝1.088 N。
(2)当轻绳断裂时，绳中的拉力大于T0＝1.25 N，故小球已经离开了圆锥表面，设绳子断裂前与竖直方向的夹角为θ。
根据牛顿运动定律可得：T2sin θ＝m
T2cos θ＝mg，求得：θ＝53°，v＝ m/s
轻绳断裂后，小球做平抛运动，此时距离地面的高度为：h＝H－Lcos 53°＝0.45 m，据h＝gt2，求得：t＝0.3 s
如图所示：水平位移为：x＝vt＝ m
抛出点与OO′间的距离为：
y＝Lsin 53°＝0.4 m，＝0.8 m
0．8 m>0.75 m×tan 37°，即小球做平抛运动没有落到圆锥表面上，所以落地点与O′点间的距离为0.8 m。
答案：(1)1.088 N　(2)0.8 m
【变式7-2】如图所示，一质量m＝1 kg的小球用长L＝0.5 m的细线悬挂在O点，O点距地面的高度H＝1 m。现使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动，已知细线的拉力T＝12.5 N，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。
(1)求小球的线速度大小v。
(2)在小球运动的过程中，若细线突然断裂，则细线断裂后小球做平抛运动的落地点与O′点之间的距离s为多少？
解析：(1)设细线与竖直方向的夹角为α，
有Tcos α＝mg
对小球，根据牛顿第二定律得Tsin α＝m
联立解得v＝1.5 m/s。
(2)小球做平抛运动，在竖直方向上有
H－Lcos α＝gt2
水平方向上有x＝vt
落地点与O′点之间的距离s为
s＝＝0.6 m。
答案：(1)1.5 m/s　(2)0.6 m
【变式7-3】如图所示,一根长L=0.5m的细绳悬于天花板上O点,绳的另一端挂一个质量为m=1kg的小球,已知绳能承受的最大拉力为12.5N,小球在水平面内做圆周运动,当速度逐渐增大,绳断裂后,小球将平抛后掉在地上.(g=10m/s2)
⑴绳刚断裂时小球的角速度为多大？
⑵若小球做圆周运动的平面离地高为h=0.6m,则小球经多长时间落地。
⑶在第⑵问中小球落地点离悬点在地面上的垂直投影的距离为多少？
答案：（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）绳刚断裂时，拉力为．
根据牛顿第二定律得
又
得
（2）绳断裂后小球做平抛运动，则有
得
（3）小球平抛运动的初速度等于圆周运动的线速度为
则
由几何知识得到小球落点离悬点在地面上的垂直投影的距离为