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课题：多边形和圆的初步认识
教学目标：
一、 知识与技能目标：
1. 从现实世界中抽象出平面图形，感受图形世界的丰富多彩。
2. 在具体情境中认识多边形、正多边形、圆、扇形并能根据扇形和圆的关系求扇形的圆
心角的度数。
二、过程与方法目标：
1. 发展学生有条理的思考和表达能力
2. 培养学生的自主探究能力
三、情感态度与价值观目标：
感受数学与现实世界的结合，体会数学的乐趣。
重点：
掌握多边形、圆、扇形的相关概念及相关性质
难点
探索分割平面图形的一些规律
教学流程：
情景导入
同学们观察这些图片，看看他们有哪些熟悉的平面图形？
三角形、六边形、梯形、长方形、圆等
二、讲授新知
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。21·cn·jy·com
如图，在多边形ABCDE中，点A,B,C,D,E是多边形的顶点；线段AB,BC,CD,DE,EA是多边形的边，∠EAB,∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEA是多边形的内角（可称多边形的角）；AC,AD都是连接不相邻两个顶点的线段，这样的线段叫多边形的对角线。21·世纪*教育网
做一做：试着画出图中其他的对角线。
思考探究
1、n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
2、过n边形的每一个顶点有几条对角线？
三角形有3个顶点
n边形 顶点个数 边数 内角个数 对角线
3 3 3 0
4 4 4 2
5 5 5 5
6 6 6 9
多边形一个顶点与它不相邻的顶点的连线叫对角线,一个顶点有两个相邻的顶点加上本身共三个点,所以从一个顶点出发可以画n-3条对角线,所以n个顶点可以画n（n-3）条对角线,但每两条就有一条重复,所以一个n边形可以画[n(n-3)]/2条对角线.
四、随堂练习
请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线，想一想：依此规律可以把10边形分成______个三角形，可以把n边形分成______个三角形。21cnjy.com
解：四边形可分割成4-2=2个三角形；
五边形可分割成5-2=3个三角形；
六边形可分割成6-2=4个三角形；
七边形可分割成7-2=5个三角形
∴10边形可分割成10-2=8个三角形21教育网
n边形可分割成n-2个三角形
五、做一做
上面的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？www.21-cn-jy.com
如图平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。www-2-1-cnjy-com
圆上任意两点A,B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作
读作“圆弧AB”或“弧AB”，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。
六、实例讲解
将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。
解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：
360°×1/6 =60°，360°×1/3 =120°，360°×1/2 =180°
七、议一议
如图，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？与同伴进行交流。21世纪教育网版权所有
画一个半径是2cm的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。【来源：21cnj*y.co*m】
解：（1）360÷3=120 每个扇形占整个圆面积的三分之一。
（2）面积= π×2×2×60°/360°
=2π/3
≈2.09cm
1.因为一个圆被分成了大小相同的扇形，所以每个扇形的圆心角相同，又因为圆周角是360 ，所以每个扇形的圆心角是360 ÷3=120 ，每个扇形的面积为整个圆的面积的三分之一。
2．先求出这个圆的面积S=πR =4π，60÷360=1/6扇形面积=4π×1/6=2π/3
八、达标测评
1.在同一个圆中,扇形A,B,C,D的面积之比为2∶3∶ 3∶4,则最大扇形的圆心角为( )
A.80° B.100° C.120° D.150°【出处：21教育名师】
2.如图是比例尺为1：200的铅球场地的示意图，铅球投掷圈的直径为2.135m，体育课上，某生推出的铅球落在投掷区的点A处，他的铅球成绩约为 _____m（精确到0.1m）．
3.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为____．
解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4；
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5；
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6；
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7；
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
则由正十边形“扩展”而来的多边形的边数为：
10×（10+1）=110．
九、拓展提升
1.如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．4 B．5 C．6 D．10
解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．另外五边形的外角和是360°，所有小圆在五个角处共滚动一周．
因此，总共是滚动了6周．【来源：21·世纪·教育·网】
2.如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B=______．2-1-c-n-j-y
解：连接DE、CE，则∠2=θ，∠5=∠6=2θ，
∵∠6是△BDE的外角，
∴∠6=∠2+∠ABC=2θ，
∵∠5+∠6+∠1=180°，
∴4θ+∠1=180°①，
在△ACE中，
∵AE=CE，
∴∠3=∠CAE=63°，
∴∠4=180°-∠3-∠CAE=180°-63°-63°=54°，
∵∠4+∠1+∠2=180°，即54°+∠1+θ=180°②，
①②联立得，θ=18°．
故答案为：18°． 21*cnjy*com
十、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.多边形、正多边形
2.圆、扇形
十一、布置作业
课本第125页1、 3题
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
多边形和圆的初步认识
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题8分，共40分)
1. 如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（ ）
A、4 B、 5 C、 6 D、7
2. 用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分割成5个三角形的多边形是（ ）
A、五边形 B、六边形 C、七边形 D、八边形
3. 一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（ ）21世纪教育网版权所有
A．14 B．15 C．13 D．16
4. 如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）21cnjy.com
A、 B、 C、 D、
5. 下列说法中，结论错误的是（）
A、直径相等的两个圆是等圆
B、长度相等的两条弧是等弧
C、由不在一直线上四条线段首尾顺次连接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形 21·cn·jy·com
D、相等的圆心角所对的弧相等
二、填空题(每小题8分，共40分)
6. 用48米长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成 ________ （圆形、正方形两者选一）场地面积较大．www.21-cn-jy.com
7. 从七边形的一个顶点出发可以画出______条对角线．
8. 下图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位，求阴影部分的面积________。
9. 已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，此多边形的边数为_______2·1·c·n·j·y
10. 请利用圆规，找出图中的扇形（不要添加其他线）．图（1）中有_____个扇形，图（2）中有______个扇形21·世纪*教育网
三、解答题（共20分）
11. 已知扇形AOB的圆心角为240°,其面积为8㎝ .求 扇形AOB所在的圆的面积。
12．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a=7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
参考答案
一、选择题
1.B
【解析】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题：【来源：21·世纪·教育·网】
360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2，
因此n的所有可能的值共五种情况。
故选B。
2.C
【解析】5边形最少分成3个三角形，6边形最少分成4个三角形，8边形最少分成6个三角形，要分割成最少三角形，就要尽可能多的利用已有多边形的边（最多只能利用2条边）．
故至少分割成5个三角形的多边形是7边形．
故选C
3. A
【解析】由题意可知，n-2=12，
解得n=14．
∴这个多边形的边数为14．
故答案为：14．
故选A
4.C
【解析】由于图3的虚线不平行与底边，剪去的三角形后，展开的是四边形，余下的部分两条对角线上到顶点的距离不相等．21教育网
故选C
5.B
【解析】A直径相等的两个圆是等圆，正确；在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧是等弧，所以长度相等的两条弧是等弧，B错误；C选项由不在一直线上四条线段首尾顺次连接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形.正确；D选项，相等的圆心角所对的弧相等，正确。www-2-1-cnjy-com
故选B
二、填空题
6.圆形
【解析】围成的圆形场地的面积较大．理由如下：
设正方形的边长为a，圆的半径为R．
∵竹篱笆的长度为48米
∴4a=48，则a=12．即所围成的正方形的边长为12；2π×R=48
∴R= ，即所围成的圆的半径为
∴正方形的面积S1=a2=144．圆的面积S2=π×（ ）2=
∵144＜
∴围成的圆形场地的面积较大．
故答案是：圆形．
7.4
【解析】∵n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，
∴从七边形的一个顶点出发可以画出7-3=4条对角线．
故答案是：4．
8.18.5
【解析】解：图形内部格点数为16，图形周界上格点数为7。
图形的面积为：16+7÷2-1=18.5(面积单位)。
9.6
【解析】设这个多边形的边数为N条边。
列式：N=2（N-3）。
注：一个多边形的顶点，除了它本身和相邻二个点之外，可与其它点连成对角线，所以要边数减3
N=2N-6
N=6
这个多边形为6边形
10.3 6
【解析】（1）在图中不是每一个弧都对应一个扇形，由此可得图形中有3个扇形；
（2）根据扇形的定义可得图中有6个扇形．
三、解答题
11.解：S扇形=n·π·r ／360°
∴240°·π·r ／360=8 ∴r=
S圆O=π·r =12cm
12. 解：（1）根据题意得：第二条边是3a-5，第三条边是a+3a-5=4a-5，
则第四条边是46-a-（3a-5）-（4a-5）=56-8a．
答：第四条边长的式子是56-8a．
（2）当a=7cm时不是四边形，
因为此时第四边56-8a=0，只剩下三条边，
三边长为：a=7cm，3a-5=16cm，4a-5=23，
由于7+16=23，所以，图形是线段．
答：当a=7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．
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多边形和圆的初步认识
【义务教育教科书北师版七年级上册】
学校：________
教师：________
情景导入
有哪些熟悉的
平面图形？
讲授新知
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
讲授新知
如图，在多边形ABCDE中，点A,B,C,D,E是多边形的顶点；
线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边，∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可称多边形的角）
AC,AD都是连接不相邻两个顶点的线段，这样的线段叫多边形的对角线。
做一做：试着画出图中其他的对角线
活动探究
1、n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
2、过n边形的每一个顶点有几条对角线？共有多少条对角线？
n边形有n个顶点，n条边，n个内角
探究结果
多边形条数 过一个顶点的
对角线条数
4
5
6
7
8
n
多边形从一个顶点出发可以画_____条对角线,所以n个顶点可以画_________条对角线,但每两条就有一条重复,所以一个n边形可以画____________条对角线。
n-3
n（n-3）
1
2
3
4
5
n-3
议一议
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴交流。
各边相等，各角也相等
讲授新知
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正三角形
正四边形
正五边形
正六边形
随堂练习
请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线，想一想：依此规律可以把10边形分成______个三角形，可以把n边形分成______个三角形。
8
n-2
随堂练习
2
3
4
5
四边形可分割成4-2=2个三角形；
五边形可分割成5-2=3个三角形；
六边形可分割成6-2=4个三角形；
七边形可分割成7-2=5个三角形
∴10边形可分割成10-2=8个三角形
n边形可分割成n-2个三角形
做一做
上面的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
圆规画圆
讲授新知
平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。
O
A
讲授新知
O
A
B
圆上任意两点A,B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作
读作“圆弧AB”或“弧AB”，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。
⌒
AB
实例讲解
例：将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。
解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：
360°× =60° 360°× =120°
360°× =180°
议一议
如图，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？与同伴进行交流。
2.画一个半径是2cm的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。
议一议
解：1. 360÷3=120每个扇形占整个圆面积的三分之一
2.面积= π×2×2×60°/360°=2π/3 ≈2.09cm
①因为一个圆被分成了大小相同的扇形，所以每个扇形的圆心角相同，又因为圆周角是360 ，所以每个扇形的圆心角是360 ÷3=120 ，每个扇形的面积为整个圆的面积的三分之一。
②先求出这个圆的面积S=πR =4π，60÷360=1/6扇形面积=4π×1/6=2π/3
达标测评
1.在同一个圆中,扇形A,B,C,D的面积之比为2∶3∶ 3∶4,则最大扇形的圆心角为( )
A.80° B.100° C.120° D.150°
C
达标测评
2.如图是比例尺为1：200的铅球场地的示意图，铅球投掷圈的直径为2.135m，体育课上，某生推出的铅球落在投掷区的点A处，他的铅球成绩约为 _____m（精确到0.1m）．
6.1
达标测评
解：∵3.6÷≈720cm=7.2m
∴7.2-2.135÷2=7.2-1.0675=6.1325≈6.1m．
故答案为：6.1m．
达标测评
3.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为____．
110
达标测评
解：
∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4；
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5；
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6；
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7；
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
则由正十边形“扩展”而来的多边形的边数为：
10×（10+1）=110．
拓展提升
1.如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．另外五边形的外角和是360°，所有小圆在五个角处共滚动一周．
因此，总共是滚动了6周．
C
拓展提升
2.如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B= ．
18°
拓展提升
解：连接DE、CE，则∠2=θ，∠5=∠6=2θ，
∵∠6是△BDE的外角，
∴∠6=∠2+∠ABC=2θ，
∵∠5+∠6+∠1=180°，
∴4θ+∠1=180°①，
在△ACE中，
∵AE=CE，
∴∠3=∠CAE=63°，
∴∠4=180°-∠3-∠CAE=180°-63°-63°=54°，
∵∠4+∠1+∠2=180°，即54°+∠1+θ=180°②，
①②联立得，θ=18°．
故答案为：18°．
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.多边形、正多边形
2.圆、扇形
布置作业
教材125页习题第1、 3题。
