浙江浙南名校联盟2025-2026学年下学期高二数学3月开学考试卷（含答案）

高二数学练习
考生须知:
1. 本试卷共 4 页, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知 ,则
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 已知 ,且 ,则
A. -3 B. 0 C. 1 D. 3
3. 若 展开式中存在常数项,则 的值可以是
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 若双曲线的 的焦距是 4，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,且首项 ,公比为 ,则下列选项不正确的是
A. B. 若 ，则
C. D. 若 ，则
6. 有 6 位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3 人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高， 则不同的站法种数为
A. 90 B. 120 C. 270 D. 720
7. 已知 ，点 在椭圆 上，点 在双曲线 上，则 周长的最小值是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 函数 在区间 上极大值点个数为
A. 49 B. 50 C. 99 D. 100
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知 ， 两点到直线 的距离相等，则 的值为
A. -2 B. 0
C. D. 2
10. 如图,已知平行六面体 ,若空间中一点 满足 ,其中 , 则
第 10 题图
A. 存在 ,使得 在直线 上
F 当 时， 在平面 内
C. 当 时， 平面
D.存在 ,使得 平面
11. 已知正项数列 的前 项和为 ,则下列结论正确的是
A. 是递减数列 B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知过点 的直线 与过点 的直线 相交于点 ,若 的斜率与 的斜率的差是 2, 则 到坐标原点 的距离的最小值为_____.
14. 某校高一年级甲、乙、丙三位同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术共七门学科中选择三门作为高考选考科目，若其中任何两人恰有一门选考科目相同，则共有_____种不同的选科方法.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)已知点 ，圆 .
(I)求经过点 且斜率为 1 的直线被圆 截得的弦 的长；
(II) 求经过点 且与圆 相切于点 的圆的方程.
16.(15 分)如图，三棱柱 的各棱长均为 2，侧面 底面 ， 分别是棱 的中点.
第 16 题图
(I)求点 到直线 的距离；
(II) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)已知数列 ， 的前 项和为分别为 ， ，且满足 ，
(I)求数列 ， 的通项公式；
(II) 设 ,求数列 的前 项和 .
18.(17分)已知点 为抛物线 的焦点，过点 且斜率不为 0 的直线 交抛物线于 两点,过点 与 垂直的直线 与抛物线的另一交点为 ,过点 与 垂直的直线 与抛物线的另一交点为 .
(I) 求 的值及抛物线的准线方程;
(II) 证明 和 位于直线 的同侧;
(III) 设直线 与直线 的交点为 ,试问点 是否在一条定直线上 若是,求出该定直线方程; 若不是, 请说明理由.
19.(17 分)已知函数 .
(I)求函数 的最小值；
(II) 若实数 ,设函数 .
(i) 证明: 函数 有唯一极值点;
(ii) 设 是 的极值点,且 是 的最小零点, 为 的导函数,证明: .
高二数学参考答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C B A B A
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BD BC ACD
11. 提示: 由 知 ,故 单调递减, 正确;
由 知 ,故当 时,
,即 , 错误;
由 知 ,故 ,即 ,
进而 正确;
由条件知 ,
故 , D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. ;
13. ; 14. 5670;
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(I) 由题意得,直线 方程为 , 2 分
又圆 ,
所以圆心 到直线 距离为 , 4 分
故, . 6 分
(II) 设所求圆心为点 ,易知 是线段 的中垂线与直线 的交点,
又易求线段 中垂线的方程为 ,
直线 的方程为 , 8 分
联立方程求得 的坐标为 , 10 分
故所求圆的方程为 . 13 分
16.
第 16 题解图
(I) 取 中点 ,易知 ,
因为平面 平面 ,所以 平面 , 建立如图空间直角坐标系 ,则
所以 ,
所以点 直线 的距离为 . 7 分
(II) 易求 ,
设 是平面 的法向量,
则 ,
令 ,可得 , 11 分
设直线 与平面 所成角为 ,则
故,直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17.
(I) 由 ,得 .2 分
两式相减得, ,① 又 ,
①+②得 ，②-①得， ， 5 分
又 ,所以
故, 的通项公式为 . 7 分
(II) 由 (1) 知 ,
所以 ,③9 分
所以 .④11 分
由④-③得，
13 分
所以 15 分
18.
(I) 抛物线的焦点为 ,故 ,
抛物线的准线方程为 . .4 分
(II) 设 坐标分别为 ,直线 的方程为 ,
联立 与抛物线方程得 ,
设 ,直线 的方程为 与抛物线方程联立得
同理,设 ,则 , 8 分
要证 位于 的同侧,即证 ,
而 , 故 位于 的同侧. 11 分
(III) 直线 的方程为 ,即 ,
代入 与 得 ,
再代入韦达定理知该直线方程为 , 15 分
与 的方程联立得 ,故 在定直线 上. 17 分
19.
(I) ,
当 时, ,当 时, ,
故 在 时单调递减，在 时单调递增，
的最小值为 . 5 分
(II) (i) 由题意得, ,
所以 ,
令 ,
则 ,
由 (I) 知 ,故 在 时单调递增, 8 分
而 ,(用极限说明也可给分)
故存在唯一的正实数 ,使得 ,即 ,
且由 的单调性知当 时, ,当 时, ,
故 是 的唯一极值点. 11 分
(ii) 令 ,
则 ,
由 (I) 知 ,故 在 时单调递增, 14 分
而当 时,由 (I) 知
又有 ,故 ,(用极限说明 也可给分)
由 的单调性知 ,
所以 ,
又 ,
故 . 17 分