浙江强基联盟2025-2026学年下学期高二数学3月开学考试卷（含答案）

浙江强基联盟 2026 年 3 月高二联考 数学 试题
考生注意:
1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 椭圆 的焦距为
A. 2 B. 3 C. D.
2. 已知数列 为等比数列,若 ,则
A. B. 4 C. -4 D. 2
3. 下列求导数运算正确的有
A. B. C. D.
4. 已知数列 满足 ,则
A. B. C. 3 D. 2
5. 在平面直角坐标系中,圆 与圆 有公共点,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
6．已知数列 满足 ,若数列 是递增数列,则
A. B. C. D.
7. 设双曲线 ，其左、右焦点分别为 ，点 是 上一点，且 ,若 的面积为 ,则双曲线 的离心率为
A. B. 2 C. D. 3
8. 曲线 过坐标原点的两条切线与直线 围成的三角形面积 为
A. B. e
C. D. 2e
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在空间直角坐标系中,已知点 ,则下列结论正确的是
A. B. 三点共线
C. D.
10. 已知抛物线 ,过焦点 的直线交 于点 ,则
A. 的坐标为 B.
C. 的最小值为 2 D.
11. 设函数 ,则
A. B. 当 时,存在 ,使得
C. 当 时, D.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 双曲线 的渐近线方程为_____▲_____.
13. 已知函数 ,则函数 _____▲_____.
14. 已知数列 是首项为 1 的正项等差数列,且 ,数列 的前 项和为 , 若 恒成立，则 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (13 分)
在三棱锥 中, 为 的中点, 为 的三等分点 (靠近 点).
(1)证明: 平面 ;
(2)求线段 的长.
16. (15 分)
在平面直角坐标系 中,点 ,动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且与轨迹 相切,求直线 的方程.
17. (15分)
已知数列 、 ， ，若数列 是等比数列，且满足 .
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)令 ，求 的前 项和 .
18. (17 分)
已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)当 ,对任意的 恒成立,求实数 的取值范围;
(3)证明: .
19.(17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，长轴长与短轴长的差为 2，点 都在 上, 为坐标原点,且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当点 异于椭圆顶点时,
( i )求直线 与 的斜率之积;
(ii) 证明: 的面积 为定值,并求 的值.
浙江强基联盟 2026 年 3 月高二联考
一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C A C A B
1. ,所以焦距为 ,故选 D.
2. A 由等比数列的性质可得, ,所以 ,故选 A.
3. 下列各式求导分别为 ,故选 .
4. C 因为 ,所以 ,所以 是以 3 为周期的数列,则 ,故选 C.
5. A 依题意,两圆有公共点,则 ,两边平方得 ,解得 ,故选 A.
6. 由 ,可得 ,所以 ,两式相减得 ,所以 ,当 时, ,适合上式,故 ,所以,数列 是 的等差数列，又因为数列 是递增数列. 故选 C.
7. ,故 ,所以 ,故选 .
8. 因为 ,当 时 ,设切点为 ,由 ,所以 ,所以切线方程为 ,又切线过坐标原点,所以 ,解得 ,所以切线方程为 ,即 ; 由 为偶函数,得 ,故 ,故选 B.
二、多项选择题:本大题共 3 小题, 每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9 10 11
AC ABD ACD
9. ,故 正确; 无解,故 错误; ,故 正确; ，故 错误. 故选 AC.
10. ABD 抛物线 ,故 的坐标为 ,故 正确; 设直线 ,联立 ,得 ,故 ,故 B 正确; 最短弦 为通径 4,故 C 错误; 由 ,得 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11. ACD 对于 ,由 有意义可得 ,当 , ,所以 ,当 ,所以 ,故 正确; 因为 ,所以 ,所以当 时, ,函数 在 上单调递减,当 时, ,函数 在 上单调递增,且 ,故 错误; 当 时, ,由单调性易知, ,故 C 正确; 若 有两个解 ,则 ,即 , ,令 ,则 ,即 在 上递增, ,即在 上, ,若 即 ,故 ,有 ,所以当 时, ,故 ,故 D 正确. 故选 ACD.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 13. 14.8
12. 由 ,故渐近线方程为 .
13. 由题意得 ,且 ,令 ,得 ,故 .
14. 8 设等差数列 的公差为 ,因为 ,所以 ,解得 或 (舍去),即 . 所以 ,则 ,解得 ,即 ,则 的最大值为 8 .
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解: (1) ,同理可得 .
又 为 的中点, .
为 的中点, .
平面 平面 平面 . 6 分
(2)法一: 9 分
.
代入得 . 13 分
法二: .
,可得 .
为 的三等分点 (靠近 点), ,
在直角 中, .
法三: 由法二得 ,又 平面 ,
平面 . 如图,以 为原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 .
为 的三等分点 (靠近 点),
.
(法二,法三酌情给分.)
16. 解: (1) 因为 ,由 ,得 , 4 分化简得 ,即 ,
所以 点的轨迹 的方程为 . 7 分
(2)由(1)知，轨迹 表示圆心为 ，半径为 2 的圆，
当直线 的斜率不存在时,方程为 与 相切,满足题意; 9 分
当直线 的斜率存在时,设 ,即 ,
于是 , 11 分
解得 ,因此直线 的方程为 ,即 ,
所以直线 的方程为 或 . 15 分
17. 解: (1) 当 时, ,故 ;
当 时, ,由数列 是等比数列,得 ,
所以, ; 3 分
当 时, ,故 ,
由累加法可得: ,
又当 时, 也适合上式, . 7 分
(2) , 9 分
所以, ①,
11 分
①-②得: ,
. 15 分
另解: , 12 分
所以, . 15 分
18. 解: (1) ,令 ,所以切线方程为 . 5 分
(2)因为 恒成立，即 恒成立，
令 , 7 分
,令 ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
故 的最大值为 . 9 分
因为 恒成立,所以 ,
所以 ,即实数 的取值范围为 . 11 分
(3)法一:由(2)得当 时， 恒成立，
即 , 14 分
令 ,所以 ,
令 ,则 ,故 在 上单调递增,所以 ,即 成立,得证. 17 分
法二: 令 ,
先证 ,即证 . 令 ,
当 单调递增; 当 单调递减.
所以 ,所以 ,即 得证.
因为 ,所以 , 14 分
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,又因为 ,
所以 使得 ,即 ,
所以 时, 单调递减; 所以 时, 单调递增,
所以 ,
代入 得, ,
,所以 成立,所以 得证. 17 分
(其它方法酌情给分.)
19. 解: (1) 由题意得 2 分且 ,得 ,所以 . 5 分
(2)(i)设 . 因为点 在 上，
所以 . 又因为 ,
所以 . 7 分
所以 ,
即 ,
整理得 , 9 分
又因为 ,即 ,
所以 ,即 ,因为 ,
所以 . 11 分
(ii) 法一: 设直线 ,
则点 到直线 的距离 ,又因为 ,
所以 , 13 分
又因为 , 15 分
所以 ,则 . 17 分
(出现结果定值 3,不论过程如何得 2 分; 直接给出 没有推导过程不得分.)
法二: 当直线 斜率不为 0 时,设直线 ,令 ,则 ,
所以直线 与 轴的交点为 .
联立 得 ,
由韦达定理得 , 13 分
由 得 ,因为
,
化简得 . 14 分
又因为 ,
代入 得 .
所以 . 15 分
当直线 斜率为 0 时,此时 ,又因为 ,
不妨设直线 ,直线 ,与椭圆方程联立解得
或 . 此时 .
综上所述， . 17 分
(出现结果定值 3 , 不论过程如何得 2 分.)