2026年人教版中考数学二轮复习：二次函数（含答案）

2026年中考数学二轮复习之二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2026 海沧区校级一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间满足h＝﹣3t2+6at+12﹣3a2（0≤t≤2a）．则下列选项中正确的是（　　）
A．t＝0.5s和t＝3s时，小球离地面的高度相同
B．t＝2.5s时，小球到达最高点
C．t＝3.5s时，小球回到地面
D．2＜t＜3时，小球处于下降阶段
2．（2026 泸县校级一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点）．下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③；④3a+c＝0．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2026 哈尔滨模拟）抛物线y＝﹣（x+3）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
4．（2026 碑林区校级模拟）已知一个二次函数y＝ax2﹣4ax+4（a＜0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6，则当﹣2≤x≤3时，y的最小值是（　　）
A． B．﹣2 C． D．
5．（2026 西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026 周至县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论中不正确的是（　　）
A．abc＞0 B．c+5a＝0 C．5a+b＞0 D．a+b+c＞0
7．（2026 固镇县一模）抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0），若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是（　　）
A． B． C．1＜n＜2 D．2＜n＜3
8．（2026 泸县校级一模）对于抛物线y＝4（x﹣2）2﹣10，下列说法正确的是（　　）
A．可由抛物线y＝4x2﹣10向左平移2个单位长度得到
B．顶点坐标是（﹣2，﹣10）
C．与x轴无交点
D．当x＞2时，y随x的增大而增大
9．（2026 沁阳市模拟）定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3，则函数y＝（x+1）★2的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣21
10．（2025 山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小
B．当x＝2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000
D．当y＝0.4时，x＝600
二．填空题（共5小题）
11．（2026 沁阳市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点A（4，y1），B（b，y2），若y1＜y2，则b的整数值可以是　 　 ．（写出一个答案即可）
12．（2025 灌南县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　 　 ．
13．（2025 大连模拟）如图，抛物线yx2 x 2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　 　 ．
14．（2025 资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论：
①abc＜0；
②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；
③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为；
④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2．
其中，所有正确结论的序号为 　 　 ．
15．（2025 大洼区校级三模）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为 　 　 米．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 海沧区校级一模）已知点M为抛物线y＝x2+bx﹣1（b＜0）的顶点，其对称轴与x轴的交点为D，点N为抛物线所在平面内一点（不与M重合）．直线与抛物线分别交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点（2，﹣3），求b的值；
（2）若b≥﹣2，
①直线y＝﹣x﹣1与直线MD交于点P，求MP的最大值；
②点E与点B关于点D对称．当，∠END＝90°时，比较MN与DE的大小，并说明理由．
17．（2026 碑林区校级模拟）某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度OM＝10m，拱高EF＝4m，点M在x轴上，EF⊥OM，OF＝FM，要在拱门中设置高为3m（AB＝3m）的矩形框架ABCD，点A、D在抛物线上，边BC在OM上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求矩形框架ABCD的周长．
18．（2026 周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m．
（1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
19．（2026 西安校级一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系：，已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 　 　 ，点P的坐标是 　 　 ；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离．
20．（2025秋 南岸区期末）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
2026年中考数学二轮复习之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 海沧区校级一模）从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间满足h＝﹣3t2+6at+12﹣3a2（0≤t≤2a）．则下列选项中正确的是（　　）
A．t＝0.5s和t＝3s时，小球离地面的高度相同
B．t＝2.5s时，小球到达最高点
C．t＝3.5s时，小球回到地面
D．2＜t＜3时，小球处于下降阶段
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用．
【答案】D
由题意得，当t＝0时，h＝0，利用待定系数法可得h＝﹣3t2+12t＝﹣3（t﹣2）2+12（0≤t≤4），据此利用二次函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：由题意得，当t＝0时，h＝0，
∴0＝0+0+12﹣3a2，
∴a＝2或a＝﹣2（舍去）；
∴h＝﹣3t2+12t＝﹣3（t﹣2）2+12（0≤t≤4），
当t＝0.5s时，h＝﹣3×0.52+12×0.5＝﹣0.75+6＝5.25
当t＝3s时，h＝﹣3×32+12×3＝﹣27+36＝9，
∴t＝0.5s和t＝3s时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误；
∵﹣3＜0，
∴当t＝2s时，h有最大值，
∴t＝2s时，小球到达最高点，故B说法错误；
当t＝3.5s时，h＝﹣3×3.52+12×3.5＝﹣36.75+42＝5.25≠0，
∴t＝3.5s时，小球没有回到地面，故C说法错误；
∵h＝﹣3（t﹣2）2+12（0≤t≤4），﹣3＜0，
∴当2＜t＜3时，h随t的增大而减小，
∴当2＜t＜3时，小球处于下降阶段，故D说法正确；
故选：D．
本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
2．（2026 泸县校级一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点）．下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③；④3a+c＝0．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
①根据抛物线的对称性求出与x轴的另外一个交点，观察图形即可判断其正确性；②把抛物线的对称轴用含有a、b的代数式表示出来，其开口方向又向下，即可判断其正确；③根据抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有a的代数式表示出来，根据抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，即可求得a的取值范围；④由题可知二次函数过（﹣1，0），即a﹣b+c＝0，结合对称轴可得﹣b＝2a，代入即可求解．
【解答】解：①由条件可知抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），
当x＞3时，y＜0，故①正确，符合题意；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵对称轴为，
∴2a+b＝0，
∴3a+b＝2a+b+a＝a＜0，故②错误，不符合题意；
③设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令x＝0得：y＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得，故③正确，符合题意；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴为，
∴﹣b＝2a，
∴3a+c＝0，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有3个
故选：C．
本题是有关抛物线的一道综合性题目，主要考查了是抛物线的对称性、开口方向判断二次项系数的符号、抛物线解析式的多种表示方法等．熟练掌握抛物线的定义和性质和解析式是解决此题的关键．
3．（2026 哈尔滨模拟）抛物线y＝﹣（x+3）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可．
【解答】解：根据顶点式的坐标特点可知：
抛物线y＝﹣（x+3）2﹣1的顶点坐标是（﹣3，﹣1），
故选：A．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键．
4．（2026 碑林区校级模拟）已知一个二次函数y＝ax2﹣4ax+4（a＜0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6，则当﹣2≤x≤3时，y的最小值是（　　）
A． B．﹣2 C． D．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
首先求得对称轴，进而根据当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6求得a的值，然后利用二次函数的性质可求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+4，
∵对称轴为直线x2，
当x＝2时，y有最大值为y＝4a﹣8a+4＝4﹣4a，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6，
∴4﹣4a＝6，
∴a，
∴yx2+2x+4，
∴x＝﹣2时，y2×（﹣2）+4＝﹣2，
∴当﹣2≤x≤3时，y的最小值是﹣2，
故选：B．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，掌握二次函数的性质的关键．
5．（2026 西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3＝（x﹣m）2+2m+3，
∴图象开口向上，顶点为（m，2m+3），对称轴为直线x＝m，
∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴m．
故选：D．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握抛二次函数的性质是解题的关键．
6．（2026 周至县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论中不正确的是（　　）
A．abc＞0 B．c+5a＝0 C．5a+b＞0 D．a+b+c＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
由函数图象可得a＞0，c＜0，得出b＜0，即可判断A；根据对称轴得出b＝﹣4a，再结合当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，即可判断B、C；当x＝1时，a+b+c＜0，即可判断D．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2判断如下：．
由图象可知，a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线，
∴b＜0，
∴abc＞0，故选项A不符合题意；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∵，
∴b＝﹣4a，
∴a﹣（﹣4a）+c＝0，即c+5a＝0，故选项B不符合题意；
∵b＝﹣4a，
∴5a+b＝a＞0，故选项C不符合题意；
根据函数图象可知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2026 固镇县一模）抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0），若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是（　　）
A． B． C．1＜n＜2 D．2＜n＜3
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点A与点B关于直线对称，然后根据点A在（﹣1，0）与（0，0）之间可判断点B在（1，0）与（2，0）之间，从而得到n的取值范围．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0），
∴点A与点B关于直线对称，
∵﹣1＜m＜0，
即点A在（﹣1，0）与（0，0）之间，
∴点B在（1，0）与（2，0）之间，
∴若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是1＜n＜2，
故选：C．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的性质．
8．（2026 泸县校级一模）对于抛物线y＝4（x﹣2）2﹣10，下列说法正确的是（　　）
A．可由抛物线y＝4x2﹣10向左平移2个单位长度得到
B．顶点坐标是（﹣2，﹣10）
C．与x轴无交点
D．当x＞2时，y随x的增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
根据抛物线顶点式性质，分析顶点坐标、开口方向、平移关系及与x轴交点情况．
【解答】解：∵y＝4（x﹣2）2﹣10，
∴顶点坐标为（2，﹣10），a＝4＞0，开口向上，
对于A：y＝4x2﹣10向左平移2个单位得y＝4（x+2）2﹣10，与给定抛物线不符，
∴A错误，不符合题意；
对于B：顶点为（2，﹣10），不是（﹣2，﹣10），
∴B错误，不符合题意；
对于C：令y＝0，得4（x﹣2）2＝10，（x﹣2）2＝2.5＞0，方程有两个实数根，
∴与x轴有交点，C错误，不符合题意；
对于D：∵开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．（2026 沁阳市模拟）定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3，则函数y＝（x+1）★2的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣21
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
根据新定义运算，将函数化为二次函数，然后化为顶点式，根据二次函数性质求最小值即可．
【解答】解：定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3，
y＝（x+1）★2＝（x+1）[（x+1）+2×2]﹣3＝（x+1）（x+5）﹣3＝x2+6x+2，
化为顶点式得 y＝（x+3）2﹣7，
∵a＝1＞0，抛物线开口向上，
∴当x＝﹣3时，y有最小值，y最小＝﹣7．
故选：B．
本题考查了新定义运算的理解与二次函数的最值求解，将新定义运算转化为二次函数并利用配方法（顶点式）分析最值是解题的关键．
10．（2025 山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小
B．当x＝2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000
D．当y＝0.4时，x＝600
【考点】二次函数的应用．
【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
结合图象可得可得抛物线的对称轴为直线x＝2000，可得函数的最值，进而可得y随x的变化情况以及给定y的值或者取值范围所对应的自变量及自变量的取值情况．
【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意；
B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6），
∴抛物线的对称轴为：直线x2000，
∵抛物线的开口向下，
∴x＝2000时，y有最大值，
故B选项正确，符合题意；
C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000，
∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000，
故C选项错误，不符合题意；
D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
本题考查了二次函数的相关知识．采用数形结合的方法解决二次函数的相关问题是解决本题的主要方法．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 沁阳市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点A（4，y1），B（b，y2），若y1＜y2，则b的整数值可以是　5（答案不唯一）　 ．（写出一个答案即可）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】5（答案不唯一）．
把点A（4，y1），B（b，y2）代入y＝x2﹣2x﹣3，再结合y1＜y2，可得到关于b的不等式，即可求解．
【解答】解：由题意可得：，，
∵y1＜y2，
∴b2﹣2b﹣3＞5，
解得：b＜﹣2或b＞4．
∴b的整数值可以是5．
故答案为：5（答案不唯一）．
本题主要考查了二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．
12．（2025 灌南县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　﹣1＜x＜5　 ．
【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】﹣1＜x＜5
依据题意，由抛物线的对称轴是直线x＝2，且与x轴的一个交点为（5，0），从而另一个交点为（2﹣（5﹣2），0），即（﹣1，0），结合抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，进而不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，最后可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且与x轴的一个交点为（5，0），
∴另一个交点为（2﹣（5﹣2），0），即（﹣1，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．
故答案为：﹣1＜x＜5．
本题主要考查了二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
13．（2025 大连模拟）如图，抛物线yx2 x 2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　（﹣6，10）　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（﹣6，10）．
依据题意，由∠DCA＝2∠CAB，得到∠CAB＝∠CMA，则CA＝CM，进而求解．
【解答】解：延长DC交x轴于点M，
∵∠DCA＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠CMA．
∴CA＝CM．
∵抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
过点C作CQ⊥AM于点Q，
∴QM＝AQ＝8．
∴点M坐标为（14，0）．
由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：yx+7，
令yx+7x2x﹣2，
解得x＝﹣6或6（舍去），
∴x＝﹣6，y（﹣6）+7＝10．
∴点D坐标为（﹣6，10）．
故答案为：（﹣6，10）．
本题主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
14．（2025 资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A（0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论：
①abc＜0；
②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；
③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为；
④若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，则一定有y1＜y2．
其中，所有正确结论的序号为 　②③④　 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】②③④．
根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，O'A的长即为OP+AP的最小值，勾股定理求出O'A的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可．
【解答】解：由图象和题意可知：a＞0，，
当x＝0时，y＝c＝2，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，abc＞0；故①错误，
当x＝﹣1时，函数取得最小值为：a﹣b+c，
∴对于任意实数m，am2+bm+c+a≥a﹣b+c+a＝2a﹣b+c＝c＝2，
∴am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，
则：O'（﹣2，0），
∴当点P在O'A上时，OP+AP的值最小为O'A的长，
∵A（0，2），
∴，
∴OP+AP的最小值为，故③正确；
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x1＜x2且x1+x2+2＞0，
∴，
∴点（x2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，故④正确；
故答案为：②③④．
本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
15．（2025 大洼区校级三模）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为 　8　 米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】8．
根据实心球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：由题意可知，将y＝0代入，得：（x﹣3）2+2.5＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2（舍去），
小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故答案为：8．
本题考查了二次函数的应用，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 海沧区校级一模）已知点M为抛物线y＝x2+bx﹣1（b＜0）的顶点，其对称轴与x轴的交点为D，点N为抛物线所在平面内一点（不与M重合）．直线与抛物线分别交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点（2，﹣3），求b的值；
（2）若b≥﹣2，
①直线y＝﹣x﹣1与直线MD交于点P，求MP的最大值；
②点E与点B关于点D对称．当，∠END＝90°时，比较MN与DE的大小，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题．
【答案】（1）b＝﹣3；
（2）①MP的最大值为；
②MN≤DE，理由如下：
设点A（x1，y1），点B（x2，y2），
联立，
消y得，
∴，
∴点，点，
设E（x0，y0），
∵点E与点B关于点D对称，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得b＝﹣2，
此时A（0，﹣1），B（3，2），D（1，0），E（﹣1，﹣2），M（1，﹣2），
∴，
∵∠END＝90°，
∴点N在以DE为直径的圆上，圆心坐标为（0，﹣1），半径为，
M（1，﹣2）到圆心的距离为，
∴点M（1，﹣2）在圆上，
∴MN的最大值为直径，
∴MN≤DE．
（1）点（2，﹣3）代入抛物线解析式即可求解；
（2）①由题意得，，推出MP，即可求解；
②设点A（x1，y1），点B（x2，y2），联立，求出点A、B的坐标，设E（x0，y0），根据对称和点D坐标，求出b＝﹣2，进而得到D（1，0），E（﹣1，﹣2），M（1，﹣2），推出，根据∠END＝90°可得点N在以DE为直径的圆上，圆心坐标为（0，﹣1），半径为，点M（1，﹣2）在圆上，则MN的最大值为直径，进而得到MN≤DE．
【解答】解：（1）将点（2，﹣3）代入y＝x2+bx﹣1（b＜0）得4+2b﹣1＝﹣3，
解得b＝﹣3；
（2）①∵抛物线y＝x2+bx﹣1（b＜0）的顶点，
∴直线MD的解析式为，
联立，
解得，
∴，
∴，
∵﹣2≤b＜0，
∴当b＝﹣1时，MP取得最大值，其最大值为；
②MN≤DE，理由如下：
设点A（x1，y1），点B（x2，y2），
联立，
消y得，
∴，
∴点，点，
设E（x0，y0），
∵点E与点B关于点D对称，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得b＝﹣2，
此时A（0，﹣1），B（3，2），D（1，0），E（﹣1，﹣2），M（1，﹣2），
∴，
∵∠END＝90°，
∴点N在以DE为直径的圆上，圆心坐标为（0，﹣1），半径为，
M（1，﹣2）到圆心的距离为，
∴点M（1，﹣2）在圆上，
∴MN的最大值为直径，
∴MN≤DE．
本题考查了二次函数的图象与性质，对称的性质，中点坐标公式，圆的性质，解题的关键是掌握相关知识．
17．（2026 碑林区校级模拟）某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度OM＝10m，拱高EF＝4m，点M在x轴上，EF⊥OM，OF＝FM，要在拱门中设置高为3m（AB＝3m）的矩形框架ABCD，点A、D在抛物线上，边BC在OM上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求矩形框架ABCD的周长．
【考点】二次函数的应用；矩形的性质．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y（x﹣5）2+4；
（2）矩形框架ABCD的周长为16m．
（1）根据题意可得：点M为（10，0），顶点E为（5，4），然后利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：点M为（10，0），顶点E为（5，4），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣5）2+4，
把M（10，0）代入y＝a（x﹣5）2+4中得：0＝a（10﹣5）2+4，
解得：a，
∴y（x﹣5）2+4；
（2）当y＝3时，3（x﹣5）2+4，
解得：x1＝7.5，x2＝2.5，
∴A（2.5，3），D（7.5，3），
∴AD＝7.5﹣2.5＝5（m），
∴矩形框架ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2×（5+3）＝16（m），
即矩形框架ABCD的周长为16m．
本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（2026 周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m．
（1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标为（5，8），则可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8，又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8，求出a后即可判断得解；
（2）依据题意，由（1）y（x﹣5）2+8，从而可令x＝0，则y（0﹣5）2+8，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8），
∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8．
又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8，
∴0＝a（13﹣5）2+8．
∴a．
∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y（x﹣5）2+8．
（2）由题意，由（1）y（x﹣5）2+8，
∴可令x＝0，则y（0﹣5）2+8（m）．
答：这个装饰物的设计高度为m．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
19．（2026 西安校级一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系：，已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 　（0，70）　 ，点P的坐标是 　（40，30）　 ；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）（0，70），（40，30）；
（2）；
（3）18m．
（1）根据题意即可求解；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）求出直线BC的解析式，设到BC竖直方向上的距离最大，作MN∥y轴交抛物线和直线BC于点M、N，求出MN的关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解；
【解答】解：（1）由题意得，点A的坐标是（0，70），点P的坐标是（40，30），
故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入得，
，
解得，
∴；
（3）设直线BC的表达式为y＝kx+b，把C（0，60），P（40，30）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为，
设到BC竖直方向上的距离最大，作MN∥y轴交抛物线和直线BC于点M、N，
∴，
∴
，
∵，
∴当m＝18时，MN的值最大，
即当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为18m．
本题考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
20．（2025秋 南岸区期末）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　（60+10x）　 件；
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件，
故答案为：（60+10x）；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630，
整理可得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
由于要让利于游客，x＝1 舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x）
＝（10﹣x）（60+10x）
＝﹣10x2+40x+600
＝﹣10（x﹣2）2+640，
∵﹣10＜0，
∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键．