2026年人教版中考数学二轮复习：反比例函数（含答案）

2026年中考数学二轮复习之反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．（2026 黄石一模）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10m3时，气体的密度是（　　）
A．1kg/m3 B．2kg/m3 C．5kg/m3 D．10kg/m3
2．（2026 西安一模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数图象的一个交点坐标为（2，b），则其另一个交点的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
3．（2026 柳州一模）如图，A为反比例函数的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C．若四边形OCAB的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
4．（2026 周至县一模）在同一平面直角坐标系中，函数（k为常数，且k≠0）和y＝kx﹣4的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．点（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
6．（2025 九台区一模）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当R＝4Ω时，I＝12A
D．当R≥3Ω时，0A＜I≤8A
7．（2025 新疆模拟）如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB．给出下列结论：
①k1k2＞0；
②mn＝0；
③S△AOP＝S△BOQ；
④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．
其中正确的结论有几个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025 海南一模）细胞的相对表面积（S/V）是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．生物学中，细胞的相对表面积（S/V）与细胞的半径（R）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（　　）
A．细胞的相对表面积（S/V）与细胞的半径（R）之间的函数关系式为
B．若细胞的相对表面积为0.5μm﹣1，则细胞的半径为6μm
C．细胞的半径每增大1μm，相对表面积的减少量相同
D．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小
9．（2025 东营校级一模）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 聊城模拟）反比例函数的图象上有A（a，y1），B（a+2，y2）两点．下列选项正确的是（　　）
A．当a＜﹣2时，y2＜y1＜0 B．当﹣2＜a＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣2＜a＜0时，0＜y1＜y2 D．当a＞0时，0＜y1＜y2
二．填空题（共5小题）
11．（2026 西安一模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B，C分别在x轴，y轴上，且AB⊥x轴．已知一个反比例函数的图象经过点A，S△ABC＝4cm2，则该反比例函数的表达式为　 　 ．
12．（2026 海沧区校级一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m）变化的大致图象（由线段AB与双曲线一部分BC组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为　 　 分钟．
13．（2026 大渡口区模拟）如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB＝2，则k的值为　 　 ．
14．（2026 哈尔滨模拟）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．若3≤V≤9，二氧化碳密度ρ的变化范围 　 　 ．
15．（2026 碑林区校级模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且AC＝OA，则△ABC的面积为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 黄石一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象，直接写出不等式的解集．
17．（2026 大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数（x＞0）的图象交于点C（1，m），与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）点P是直线l下方，反比例函数（x＞0）图象上一点，连接PA，PC，当S△PAC＝4S△AOB时，求点P的坐标；
（3）在（2）问求出点P的条件下，将点A向左平移3个单位长度得到点N，连接NB，点M是y轴上一点，且∠MNB＝∠PAO，请求出所有符合条件的点M的坐标（选一种情况写出解答过程）．
18．（2026 柳州一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A（﹣8，1），点B（n，﹣4）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
19．（2026 西安校级一模）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3），B（a，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求k和a的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
20．（2025 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y轴交于点C．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求△OAC的面积．
2026年中考数学二轮复习之反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 黄石一模）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10m3时，气体的密度是（　　）
A．1kg/m3 B．2kg/m3 C．5kg/m3 D．10kg/m3
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】A
根据图象可知点（5，2）在该反比例函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后代入V＝10m3时，求得对应的函数值即可．
【解答】解：设该反比例函数的解析式为，
由图象可知，点（5，2）在该反比例函数图象上，
则，即k＝10，
∴该反比例函数的解析式为，
∴当V＝10m3时，．
故选：A．
本题考查了反比例函数的应用，从图象获取信息求得反比例函数的解析式是解题的关键．
2．（2026 西安一模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数图象的一个交点坐标为（2，b），则其另一个交点的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
把点（2，b）代入即可求得b的值，然后根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数图象的一个交点坐标为（2，b），
∴b3，
∴交点为（2，﹣3），
∴另一个交点的坐标为（﹣2，3）．
故选：D．
本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
3．（2026 柳州一模）如图，A为反比例函数的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C．若四边形OCAB的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：设A点坐标为（x，y），
由条件可知AB＝|y|，OB＝|x|，
∴S矩形ACOB＝OB AB＝|xy|＝6，
∴|k|＝6，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴k＝﹣6．
故选：D．
本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为|k|是解题的关键．
4．（2026 周至县一模）在同一平面直角坐标系中，函数（k为常数，且k≠0）和y＝kx﹣4的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】D
分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：k＜0时，一次函数y＝kx﹣4的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合，
k＞0时，一次函数y＝kx﹣4的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合，
故选：D．
本题考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5．（2025 湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．点（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】D
根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y，1＝2不成立，故不符合题意；
B、k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意．
故选：D．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
6．（2025 九台区一模）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当R＝4Ω时，I＝12A
D．当R≥3Ω时，0A＜I≤8A
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
根据函数图象可设I，再将（3，8）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设I，
∵图象过（3，8），
∴k＝24，
∴I，故选项A正确，不符合题意；
在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小，故选项B正确，不符合题意；
当R＝4Ω时，I6A，故选项C错误，符合题意；
由图象知：当I≤5A时，R≥Ω，故选项C正确，不符合题意；
当R≥3Ω时，I8（A），
∴0A＜I≤8A，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
7．（2025 新疆模拟）如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB．给出下列结论：
①k1k2＞0；
②mn＝0；
③S△AOP＝S△BOQ；
④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．
其中正确的结论有几个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】C
根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，即可判断①；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y中得到mn＝0，即可判断②；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y＝k1x+b得到y＝﹣mx﹣m，求得P（﹣1，0），Q（0，﹣m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP＝S△BOQ；即可判断③；根据图象得到不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，即可判断④．
【解答】解：由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1k2＞0，故①正确；
把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y中得﹣2m＝n，
∴mn＝0，故②错误；
把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y＝k1x+b得，
∴，
∵﹣2m＝n，
∴y＝﹣mx﹣m，
∵已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），
∴OP＝1，OQ＝m，
∴S△AOPm，S△BOQm，
∴S△AOP＝S△BOQ；故③正确；
由图象知不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确，
故正确的有①③④三个；
故选：C．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
8．（2025 海南一模）细胞的相对表面积（S/V）是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．生物学中，细胞的相对表面积（S/V）与细胞的半径（R）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（　　）
A．细胞的相对表面积（S/V）与细胞的半径（R）之间的函数关系式为
B．若细胞的相对表面积为0.5μm﹣1，则细胞的半径为6μm
C．细胞的半径每增大1μm，相对表面积的减少量相同
D．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】C
根据反比例函数的性质逐一排除即可．
【解答】解：A、设细胞的相对表面积（S/V）与细胞的半径（R）之间的函数关系式为，
当R＝10，，
∴k＝3，
∴函数关系式为，原选项正确，不符合题意；
B、若细胞的相对表面积为0.5μm﹣1，则细胞的半径为，原选项正确，不符合题意；
C、细胞的半径每增大1μm，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意；
D、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意；
故选：C．
本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
9．（2025 东营校级一模）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴，，∠ACO＝∠ODB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选：A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
10．（2025 聊城模拟）反比例函数的图象上有A（a，y1），B（a+2，y2）两点．下列选项正确的是（　　）
A．当a＜﹣2时，y2＜y1＜0 B．当﹣2＜a＜0时，y2＜y1＜0
C．当﹣2＜a＜0时，0＜y1＜y2 D．当a＞0时，0＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可．
【解答】解：有反比例函数解析式可知双曲线过一，三象限，在每一个象限，y随x的增大而减小，
∵反比例函数的图象上有A（a，y1），B（a+2，y2）两点，a＜a+2，
∴当a＜﹣2时，则a＜a+2＜0，则：y2＜y1＜0；故选项A正确；
当﹣2＜a＜0时，则a＜0＜a+2，则：y1＜0＜y2；故选项B，C错误；
当a＞0时，则0＜a＜a+2，则：0＜y2＜y1；故选项D错误；
故选：A．
本题考查比较反比例函数的函数值大小，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2026 西安一模）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B，C分别在x轴，y轴上，且AB⊥x轴．已知一个反比例函数的图象经过点A，S△ABC＝4cm2，则该反比例函数的表达式为y　 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】y．
连接OA，由AB⊥x轴，可知AB∥y轴，S△AOB|k|，根据同底等高的三角形面积相等可知S△AOB＝S△ABC＝4cm2，利用系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，S△AOB|k|，
∴S△AOB＝S△ABC＝4cm2，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8，
∴该反比例函数的表达式为y．
故答案为：y．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，明确S△AOB＝S△ABC是解题的关键．
12．（2026 海沧区校级一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m）变化的大致图象（由线段AB与双曲线一部分BC组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为　31.5　 分钟．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】31.5．
用待定系数法分别求直线AB和曲线BC的解析式，分别求解当y＝40时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间．
【解答】解：设直线AB解析式为：y＝kx+b，则，
解得：，
∴温度上升段（AB）的解析式为：，
当y＝40时，即，
解得x＝3.5；
设反比例函数的表达式为：，
将点B（14，100）的坐标代入上式得：，
解得：k＝1400，
故温度下降段（BC段）函数表达式：，
当y＝40时，即，
解得x＝35；
则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为35﹣3.5＝31.5（分钟），
故答案为：31.5．
本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．
13．（2026 大渡口区模拟）如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB＝2，则k的值为　﹣4　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣4．
根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可．
【解答】解：由条件可得，
故或k＝4．
由图象分布二四象限，
故k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
本题考查了反比例函数的图象分布，k的几何意义，熟练掌握几何意义是解题的关键．
14．（2026 哈尔滨模拟）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．若3≤V≤9，二氧化碳密度ρ的变化范围 　1.1≤ρ≤3.3　 ．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】1.1≤ρ≤3.3．
设，由V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3求出k的值，得到解析式，求出V＝3m3和V＝9m3时对应的ρ的值，即可得到结果．
【解答】解：∵密度ρ与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3，
∴，
∴k＝1.98×5＝9.9，
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为：，
观察函数图象可知，ρ随V的增大而减小，
当V＝3m3时，ρ3.3（kg/m3），
当V＝9m3时，ρ1.1（kg/m3），
∴当3≤V≤9时，1.1≤ρ≤3.3（kg/m3），
即二氧化碳密度ρ的变化范围是1.1≤ρ≤3.3（kg/m3），
故答案为：1.1≤ρ≤3.3．
本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
15．（2026 碑林区校级模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且AC＝OA，则△ABC的面积为　12　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】12．
依据题意，由AC＝OA，作AH⊥OC，可得OC＝2OH，进而设A（a，）（a＞0），从而OC＝2a，B（﹣a，），再列式即可得解．
【解答】解：如图，作AH⊥OC，垂足为H．
∵AC＝OA，
∴OC＝2OH．
设A（a，）（a＞0），
∴AH，OC＝2a，B（﹣a，）．
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOCOC AH×2＝2a 12．
故答案为：12．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并理解，学会待定系数转化是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2026 黄石一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象，直接写出不等式的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）A（1，4），B（﹣2，﹣2）；
（2）y＝2x+2；
（3）﹣2＜x＜﹣1．
（1）运用反比例函数解析式求出点A、B的坐标即可；
（2）使用待定系数法求出一次函数的解析式；
（3）根据图象判断不等式的解集即可．
【解答】解：（1）将x＝1代入得y＝4，
∴点A坐标为（1，4），
将y＝﹣2代入得x＝﹣2，
∴点B坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）由条件可得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x+2；
（3）不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在x轴下方，
将y＝0代入y＝2x+2，得0＝2x+2，
解得：x＝﹣1，
由图象可知，不等式的解集为﹣2＜x＜﹣1．
本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键．
17．（2026 大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数（x＞0）的图象交于点C（1，m），与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）点P是直线l下方，反比例函数（x＞0）图象上一点，连接PA，PC，当S△PAC＝4S△AOB时，求点P的坐标；
（3）在（2）问求出点P的条件下，将点A向左平移3个单位长度得到点N，连接NB，点M是y轴上一点，且∠MNB＝∠PAO，请求出所有符合条件的点M的坐标（选一种情况写出解答过程）．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝3x+3；
（2）P（2，3）；
（3）或（0，28）．
（1）先求出C（1，6），再利用待定系数法求直线l的函数表达式即可；
（2）先求出B（0，3），得到，，取点N（0，﹣3），则OB＝ON＝3，连接AN，CN，得到S△NAB＝2S△AOB，S△NAC＝2S△NAB＝4S△AOB，过N作NP∥AC交的图象于点P，此时S△NAC＝S△PAC＝4S△AOB，求出直线NP的函数表达式，再与反比例函数联立求解即可；
（3）将点A（﹣1，0）向左平移3个单位长度得到点N，则N（﹣4，0），则ON＝4，过P作PQ⊥x轴于Q，得到∠MNB＝∠PAO＝45°，过B作BE⊥BN交直线MN于E，过E作EF⊥y轴于F，证明△BFE≌△NOB（AAS），BF＝ON＝4，OB＝EF＝3，再根据当M与B的位置分情况讨论，分别求出E点坐标，再求出直线MN解析式即可．
【解答】解：（1）直线l与反比例函数（x＞0）的图象交于点C（1，m），与x轴交于点A（﹣1，0），将点C的坐标代入得：，
∴C（1，6），
设直线l解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入代入得：
，
解得：，
∴直线l的函数表达式为y＝3x+3；
（2）直线l：y＝3x+3与y轴交于点B，
当x＝0时，得：y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，，，
∴，AB＝BC，
∴S△PAC＝4S△AOB＝6，
如图1，取点N（0，﹣3），则OB＝ON＝3，连接AN，CN，
∴S△NAB＝2S△AOB，S△NAC＝2S△NAB＝4S△AOB，
过N作NP∥AC交的图象于点P，此时S△NAC＝S△PAC＝4S△AOB，
∵直线l的函数表达式为y＝3x+3，
设直线NP的函数表达式为y＝3x+b1，将点N（0，﹣3）代入得：b1＝﹣3，
∴直线NP的函数表达式为y＝3x﹣3，
联立得：，
解得：（负值舍去），
∴P（2，3）；
（3）将点A（﹣1，0）向左平移3个单位长度得到点N，则N（﹣4，0），则ON＝4，
过P作PQ⊥x轴于Q，如图2，
由（2）得P（2，3），A（﹣1，0），
∴PQ＝AQ＝3，
∴∠PAQ＝∠QPA＝45°，即∠PAO＝45°，
∴∠MNB＝∠PAO＝45°，
当M在B点下方时，过B作BE⊥BN交直线MN于E，过E作EF⊥y轴于F，
∴∠MNB＝∠BEN＝45°，
∴BE＝BN，∠EBN＝∠EFB＝∠BON＝90°，
∴∠EBF＝∠BNO＝90°﹣∠OBN，
在△BFE和△NOB中，
，
∴△BFE≌△NOB（AAS），
∴BF＝ON＝4，OB＝EF＝3，
∴OF＝BF﹣OB＝4﹣3＝1，
∴E（3，﹣1），
设直线MN解析式为y＝k2x+b2，把E（3，﹣1），N（﹣4，0）代入得：
，
解得：，
∴直线MN的函数表达式为，
当x＝0时，得：，
∴；
当M在B点上方时，过B作BE⊥BN交直线MN于E，过E作EF⊥y轴于F，如图3，
∴∠MNB＝∠BEN＝45°，
∴BE＝BN，∠EBN＝∠EFB＝∠BON＝90°，
∴∠EBF＝∠BNO＝90°﹣∠OBN，
在△BFE和△NOB中，
，
∴△BFE≌△NOB（AAS），
∴BF＝ON＝4，OB＝EF＝3，
∴OF＝BF+OB＝4+3＝7，
∴E（﹣3，7），
设直线MN解析式为y＝k3x+b3，把E（﹣3，7），N（﹣4，0）代入得：
，
解得：，
∴直线MN的函数表达式为y＝7x+28，
当x＝0时，得：y＝7x+28＝28，
∴M（0，28）；
综上所述，或（0，28）．
本题属于反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，灵活运用以上知识点，添加合适的辅助线构建全等三角形求得对应点的坐标是解题的关键．
18．（2026 柳州一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A（﹣8，1），点B（n，﹣4）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）x＜﹣8或0＜x＜2．
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【解答】解：（1）把点A（﹣8，1）代入，得，
解得m＝﹣8，
∴，
把点B（n，﹣4）代入，得，
解得n＝2，
∴B（2，﹣4），
把A（﹣8，1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b得
∴解得
∴；
（2）当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为x＜﹣8或0＜x＜2，
∴关于x的不等式的解集为x＜﹣8或0＜x＜2．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
19．（2026 西安校级一模）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3），B（a，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求k和a的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）﹣3，3．
（2）8．
（1）把A点代入反比例函数表达式求出K，然后再利用反比例表达式求出a即可；
（2）通过A，B点求出直线AB表达式，然后得到C坐标，利用对称性求出D，最后求出△ABD面积．
【解答】解：（1）将A（﹣1，3）代入y中，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数表达式为y，
将B（a，﹣1）代入反比例函数表达式中，
得﹣1，
∴a＝3；
（2）∵a＝3，
∴B（3，﹣1），
设直线AB表达式为：y＝mx+n，
将A（﹣1，3）和B（3，﹣1）分别代入y＝mx+n中，
得，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵C与D关于原点对称，
∴D（0，﹣2），
作AE⊥y轴，BF⊥y轴，垂足分别为E，F，如图，
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴AE＝1，BF＝3，
∵C（0，2），D（0，2），
∴DC＝4，
∵S△ABD＝S△ACD+S△BCD，
∴S△ABD8．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．
20．（2025 常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y轴交于点C．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求△OAC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝2x+4；；
（2）2．
（1）先将B（﹣3，﹣2）代入求出反比例函数解析式，再将A（1，n）代入，求出A（1，6），将A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b，求解即可；
（2）先求出C（0，4），再利用求解即可．
【解答】解：（1）将B（﹣3，﹣2）代入，
得，
解得m＝6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（1，n）代入，
得：n＝6，
∴A（1，6），
由条件可得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x+4；
（2）当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∴．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法．